备战2025年高考数学二轮复习-题型专项练5解答题组合练(B)

题型专项练5解答题组合练(B)1.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,满足6Sn=an·an+1+2(n∈N*),a1<2,(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nlg(an·an+1),记数列{bn}的前n项和为Tn,求T33.2.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形.如图,已知AB=2,O为BC中点,点P,Q分别在AC,AB上,设∠PBC=∠ACQ=(1)当θ=π6时,求|PQ|(2)求OP·OQ3.向“新”而行,向“新”而进,新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例,人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora),能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响,某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查,结果如下表所示.Sora的应用情况视频从业人员合计减少未减少应用7075没有应用15合计100120(1)根据所给数据完成上表,依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关?(2)某公司视频部现有员工100人,公司拟开展Sora培训,分三轮进行,每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23,12,1①求员工经过培训能应用Sora的概率;②已知开展Sora培训前,员工每人每年平均为公司创造利润6万元;开展Sora培训后,能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元;Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要,计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门,然后开展Sora培训,现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润,则视频部最多可以调多少人到其他部门?附:χ2=n(ad-α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.8284.定义:若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1),B(x2,y2)满足x1x2a2+y1y2b2=0,则称A,B为该椭圆的一个“共轭点对”,记作[(1)求椭圆C的标准方程;(2)求“共轭点对”[A,B]中点B所在直线l的方程;(3)设O为坐标原点,点P,Q在椭圆C上,且PQ∥OA,(2)中的直线l与椭圆C交于两点B1,B2,且点B1的纵坐标大于0,设四点B1,P,B2,Q在椭圆C上逆时针排列.证明:四边形B1PB2Q的面积小于83.5.已知函数f(x)=a(x2-x)-lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,2e

题型专项练5解答题组合练(B)1.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则由6Sn=an·an+1+2,得6Sn-1=an-1·an+2(n≥2),相减得6(Sn-Sn-1)=an(an+1-an-1),即6an=an·2d(n≥2).又an>0,所以d=3.由6S1=a1·a2+2,得6a1=a1·(a1+3)+2,解得a1=1(a1=2舍去),由an=a1+(n-1)d,得an=3n-2.(2)bn=(-1)nlg(an·an+1)=(-1)n(lgan+lgan+1),T33=b1+b2+b3+…+b33=-lga1-lga2+lga2+lga3-lga3-lga4+…-lga33-lga34=-lga1-lga34=-lg100=-2.2.解(1)当θ=π6时,BP与CQ交于点M,连接OQ,OP,则∠QMP=∠BMC=2π3,BM=23=2所以QP=3(2-233)=23-2,即|PQ|=23-(2)OP·OQ=(OB+BP)·(OC+CQ)=-1+OB·CQ+BP·OC+BP·CQ=-1+2cos(π=2(12cosθ+32sinθ)+2cosθ-3=3sinθ+3cosθ-3=23sin(θ+π3)-3,θ∈因为θ+π3∈[π3,2π3],故sin(θ+π3)∈[32,1],则OP·OQ∈[0,233.解(1)依题意,2×2列联表如下.Sora的应用情况视频从业人员合计减少未减少应用70575没有应用301545合计10020120零假设H0:Sora的应用与视频从业人员的减少无关,由列联表中数据得,χ2=120×(70×15-30×5)2100×根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.(2)①设Ai=“员工第i轮获得优秀”(i=1,2,3),且Ai相互独立,设B=“员工经过培训能应用Sora”,则P(B)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)故员工经过培训能应用Sora的概率是12②设视频部调x人至其他部门,x∈N,X为培训后视频部能应用Sora的人数,则X~B(100-x,12),因此E(X)=100调整后视频部的年利润为100-x2×10+(1-12)(100-x)×6-(100-x)=(700-7令700-7x≥100×6,解得x≤1007≈14.3,又x∈N,所以xmax=14因此,视频部最多可以调14人到其他部门.4.(1)解依题意,椭圆C:x2a2+y2b2=1(因此2a=|AF1|+|AF2|=(3+22)2+12+(3-2于是a=23,b=(23)2-(22)2(2)解设“共轭点对”[A,B]中点B的坐标为B(x,y),由(1)知,点A(3,1)在椭圆C:x212+y24=1上,依题意,直线l的方程为3x12+y4(3)证明由(2)知,直线l:x+y=0,由y=-则B1(-3,3),B2(3,-如图,设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),则xP212+又PQ∥OA,于是yP则yP+yQ=-(xP+xQ),有yP+yQ2=-xP+设点P到直线x+y=0的距离为d,则四边形B1PB2Q的面积S四边形B1PB2Q=2S△PB1B2而|B1B2|=(-3-3)2+(3+3)设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为x+y=m,则当l1与C相切时,d取得最大值,由x+y=m,x212+y24=1,消去y令Δ=36m2-48(m2-4)=0,解得m=±4,当m=±4时,此时方程为4x2±24x+36=0,即(x±3)2=0,解得x=±3,则此时点P或点Q必有一个和点A(3,1)重合,不符合条件PQ∥OA,从而直线l1与C不可能相切,即d小于平行直线x+y=0和x+y=4(或x+y=-4)的距离42=22所以S四边形B1PB2Q=26d<265.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a(2x-1)-1x令g(x)=2ax2-ax-1.①当a=0时,g(x)=-1<0,f'(x)=g(x)x<0,故f(x)在(0,+②当a≠0时,g(x)为二次函数,Δ=a2+8a.若Δ≤0,即-8≤a<0,则g(x)的图象为开口向下的抛物线且g(x)≤0,所以f'(x)≤0,故f(x)在(0,+∞)内单调递减;若Δ>0,即a<-8或a>0.令g(x)=0,得x1=a-a2+8a4当a<-8时,g(x)图象为开口向下的抛物线,0<x2<x1,所以当x∈(0,x2)或x∈(x1,+∞)时,g(x)<0,所以f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,x1)时,g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增;当a>0时,g(x)图象为开口向上的抛物线,x1<0<x2,所以当x∈(0,x2)时,g(x)≤0,所以f'(x)<0,故f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a<-8时,f(x)在区间0,a+a2+8a4a和区间(a-a2当a>0时,f(x)在区间0,a+a2+8当-8≤a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递减.(2)证明由(1)知,当a=1时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,因此对任意x>1恒有f(x)>f(1),即x2-x>lnx.因为0<lnx<x2-x,若2ex-1≥x2+1成立,则2ex令φ(x)=ex-1-12(x2+1)(x≥则φ'(x)=ex-1-x,φ″(x)=ex-1-1.因为x≥1,所以φ″(x)≥0,所以φ'(x)在[1,+∞)内单调递增,又φ'(1)=0,所以当x≥1时,φ'(x)≥0,所以φ(x)在[1,+∞)内