五年级奥数-简单列举（剖析版）

第28讲简单列举

教学目标

M用列举解决简单实际问题，能不重复、不遗漏的找到符合要求的答案。

/发展学生思维的条理性和严密性。

知识梳理

养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿，边拿边数筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋

也就数清了，这种计数的方法就是枚举法。一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达

到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。运用枚举法解决应用题时，必

须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。

典例分析

例1、从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同

的走法？

【解析】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。

小华家文峰公园

学校

我们把小华的不同走法一一列举如下：

第一种走法：家生学校q文峰公园

第二种走法：家①学校⑤文嵯公园

第三种走法：豆堂学校"才文峰公园

第四种走法：式或学板车r峰公园

第五种走法：嬴聋学校q文蟆公园

第六种走法：家&学校/文嵯公园

第七种走法：礼章学校高土峰公园

第八种走法：家看学校守文峰公园

第九种走法：家一多学校或支嵯公园

第十种走法：家&学校多文嵯公园

第H--种市注；家③生而苍中磴公阮I

根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也

有4种不同走法，共有4x3=12种不同走法。

例2、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？

【解析】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。

可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号；

绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号；

黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，

因而共有3个2种不同排列方法，即2x3=6种。

例3、一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？

【解析】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。

下面列举出符合这个条件的各种长方形：

长（米）109876

宽（米）12345

面积（平方米）1018242830

这个长方形的面积共有5种可能。

例4、有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？

【解析】把4个小朋友分别编号：A、B、C、D,A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应

打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3x4=12次。但题目要求两个小朋友之间

只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A,照这

样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3x4：2=6次。

例5、一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那

么这样的车票共有多少种？

【解析】我们可以利用列举的方法：

如果起点站是1.那么终点站只能是7、8、9或10；

如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或10：

如果起点站是3.那么终点站只能是9或10；

如果起点站是4,终点站只能是10；

如果起点站是5、6时，就找不到与它至少相隔5站的终点站了;

如果起点站是7,终点站只能是1；

如果起点站是8,那么终点站是2或1；

如果起点站是9,那么终点站是3、2或1；

如果起点站是10,那么终点站是4、3、2或1。

所以，起点到终点至少相隔5个车站的车票有：4+3+2+1+0+0+1+2+3+4=20种。

例6、有一张5元、4张2元和8张1元的人民币，从中取出9元钱，共有多少种不同的取法？

【解析】如果不按一定的顺序去思考，就可能出现遗漏或重复的取法。因此，我们可以按照从大到小、从

少到多的顺序，先排5元的，再排2元的，最后排I元的，把可以组成9元的情况一一列举出来。

5兀N兀1兀

1O4

112

12O

O17

O25

O33

O41

从上面的列举中可以看出：取9元钱共有7种不同的取法.

例7、有1、2、3、4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成多少个奇数？

【解析】要组成的数是奇数，它的个位上应该是1或者3。当个位是1时，把能组成的三位数一一列举出来:

321,421,231,431,241,341共6个；同样，个位是3的三位数也是6个，一共能组成6x2=12个。

例8、在一张圆形纸片中画10条直线，最多能把它分成多少小块？

【解析】我们把所画直线的条数和分成的块数列成表进行分析：

OG㊉

直线的条数012-a-10

所分块数11+11+1+21+1+2+31+1+2+3+...+10

1+1+2+3+…+10=56（块）

3、一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：

①这个长方形的面积有多少可能值？

②面积最大的长方形的长和宽是多少？

【解析】这个长方形的长和宽之和是22:2=11（米），面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是

30平方米。长方形周长一定，长和宽越接近，面积越大。这是有名的“等周问题”的特例.：

长（米）109876

宽（米）12345

面积（平方米）1018242830

4、一个学生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城市.假如他第一天在A市,

第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不同的方案？

【解析】请看树形图.可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是：

①A-®A->C->A-B->A

1②A—>B―>A->C->A।⑤A->C-►A->C->A

③A—BTCTBTA⑥A—CTBTC—A.

5、下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点.行进中甲虫只能向右、

向下或向右下方运动.问这只甲虫芍多少种不同的走法？

【解析】经过E点的有3条路线，不经过E点的有2条路线，共有5条不同的路线，见下.图.

1、下图中有多少个正方形？

【解析】根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。

第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个；

第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；

第3类：由9个小正方形组成的正方形有4个；

第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。

24+13+4+1=42图中有42个正方形。

2、在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？

【解析】根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：

第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505,550；

第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101,110,200：

第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成310,301,以），103,600。

可以表示101,105,110,150,200,501,505,510,550,600共10个三位数。

3、用数字7,8,9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？

【解析】根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：

第1类：百位上的数字为7,有789,798；

第2类：百位上的数字为8,有879,897；

第3类：百位上的数字为9,有978,987o

可以组成789,798,879,897,978,987共6个三位数。

4、往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准

备多少种车票？

【解析】我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类（注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、

锡、苏、沪）：

在第一大类中，我们乂可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类。

第1类：从宁出发：宁一＞常，宁——A锡，宁_►苏，宁一►沪，4种；

第2类：从常出发：常►锡，常►苏，常---A沪，3种；

第3类：从锡出发：锡一~►苏，锡一►沪，2种；

第4类：从苏出发：苏----►沪，1种。

我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，它的种数与第一大类完全相同。

（4+3+2+1）x2=20（种）

铁路部门要准备20种车票。

5、五个学生友1,友2,友3,友4,友5一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了

个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错

拿书包的情形有多少种不同方式？

【解析】数一数，共有11种不同的错拿方式.

友

发

友

23友5

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