平面向量的数量积

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能力·思维·办法

延伸·拓展误解分析第4学时平面对量的数量积要点·疑点·考点2.平面对量的数量积的运算律(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λ·b)(3)(a+b)·c＝a·c+b·c1.平面向量的数量积的定义

(1)设两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影.(2)|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.(3)几何意义是：a·b等于|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的积.

3.平面向量的数量积的性质设a、b是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ(2)a⊥b

a·b＝0(3)a·b＝±|a|·|b|(a与b同向取正，反向取负)(4)a·a＝|a|2或|a|＝√a·a(5)(6)|a·b|≤|a||b|返回4.平面向量的数量积的坐标表示

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2+y1y2，|a|2＝x21+y21，|a|＝√x21+y21，a⊥b<=>x1x2+y1y2＝0(2)(3)设a起点(x1，y1)，终点(x2，y2)则1.若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则a·b等于()(A)-5(B)5(C)7(D)-12.若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则()(A)(a)2·(b)2=(a·b)2(B)|a+b|＞|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直(D)(a·b)·c-(b·c)·a=0

3.设有非零向量a,b,c，则以下四个结论(1)a·(b+c)=a·b+a·c；(2)a·(b·c)=(a·b)·c;(3)a=ba·c=b·c；(4)a·b=a·b.其中正确的是()(A)(1)、(3)(B)(2)、(3)(C)(1)、(4)(D)(2)、(4)课前热身ACA4.设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是()(A)2(B)0(C)1(D)-1/25.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·(b/5)＝-36，则a与b的夹角是()(A)60°(B)120°(C)135°(D)150°

DB返回能力·思维·办法【解题回想】运用夹角公式待定n，运用垂直充要条件求c.1.已知a=(1,2),b=(-2,n)，a与b的夹角是45°(1)求b；(2)若c与b同向，且c-a与a垂直，求c2.已知x＝a+b，y＝2a+b且|a|＝|b|＝1，a⊥b.(1)求|x|及|y|；(2)求x、y的夹角.

【解题回想】(1)向量模的计算办法惯用的有两种，一是用距离公式，一是用a2＝|a|2把模的问题转化为平面对量的数量积的问题.(2)向量夹角的取值范畴是[0，π].【解题回想】本题中，通过建立恰当的坐标系，赋予几何图形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为对应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.应深刻领悟到其中的形数结合思想.另外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁与简.3.如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明：(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.

返回延伸·拓展4.已知向量a=(x,x-4)，向量b=(x2,3x/2),x∈[-4，2](1)试用x表达a·b(2)求a·b的最大值，并求此时a、b夹角的大小.【解题回想】本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体，考察知识的综合应用.返回【解题回想】(1)是用数量积给出的三角形面积公式，(2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式.5.在△ABC中，(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC的面积(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求证：△ABC的面积

1．数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中结合律及消去律不成立