小学奥数教程-分数应用题教师手册

分数应用题（三）

目褐

1.分析题目确定单位“1”

2.准确找到量所对应的率，利用量+对应率=单位“1”解题

3.抓住不变量，统一单位“1”

领识隔拨

一、知识点概述:

分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一

方面，它有其自身的特点和解题规律.在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间

的对应是解题的关键.

关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量.也称

为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的

关系

例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”.

（2）甲比乙多上，乙比甲少几分之几？

8

19191

方法一：可设乙为单位“1”，则甲为1+—二一，因此乙比甲少一子一二,

88889

方法一：可设乙为8份，则甲为“份，因此乙比甲少l+9=g.

二、怎样找准分数应用题中单位“1”

（一）、部分数和总数

在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那

么总数就是单位“1”。

例如：

我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单

位T。

解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。

（二）、两种数量比较

分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有

指向性特征的“占”、“是”、“相当于"在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，

也就是单位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），

解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我位通常找到分率，看“占”谁的，"目当于"

谁妁，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。

（三）、原数量与现数量

有的关犍句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数

应用题的单位“1”比莪难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分新C

例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。

完善后：水结成冰后体积增加了T“水结成冰后体积比原来增加了”f原来的水是单位“1”

冰融化成水后，体枳减少了一“冰融化成水后，体枳比原来减少了"-原来的冰是单位I”

解题关键：要结合语文知识符题目简化的文字丰富后在分析

例题睛讲

单位T变化

【例1］养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的J倍.鸭比鸡少几分之几？

4

【考点】分数应用题【难度】1星【题型】解答

【解析】方法一：把鸭看成单位"1"，那么鸡就是J,鸭比鸡少：（J-l）+J=,（此时的单位“1”是鸣的

4445

只数）.

方法二：设鸭有4份，则鸡有5份，所以鸭比呜少1+5=」.

5

【答案】|

【巩固】某校男生比女生多,，女生比男生少几分之几？

【考点】分数应用题【难度】1星【题型】解答

33103103

【解析】方法一：男生比女生多二，则男生有1+士=、，女生比男生少士+'

7777710

方法二：设女生有7份，则男生有10份，所以女生比男生少3川0=得.

3

【答案】—

1

【例2】一炉铁水凝成铁块，其体积缩小了34,那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增

加了几分之几？

【考点】分数应用咫【难度】1星【题型】解咎

133

【解析】方法一：设铁水的体积为1,则铁块为1——=—.现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位

3434

3334341

1,则铁水的体积就为1・二=二，故体积增加了：（一—1）-1=—.

34333333

方法二：体积缩小是铁块比铁水缩小，所以可以设铁水为34份，则铁块为33份,铁块又熔化成铁水,

体积增加是比铁块增加，所以用差的1份除以铁块的33份就是答案」

33

【巩固】水结成冰后体积增大它的白.问：冰化成水后体积减少它的几分之几？

【考点】分数应用题【难度】1星【题型】解答

【解析】设水的体积是10份，则结成冰后体积为11份，冰化成水后比冰减少1+11='.

【答案】t

【例3］磁悬浮列车的能耗很低。它的每个座位的平均能耗是汽车的70%,而汽车每个座位的平均能耗

是飞机的坐，则飞机每个座位的平均能耗是磁悬浮列车每个座位的平均能耗的倍。

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】磁悬浮列车每个座位的平均耗能是飞机每个座位的平妁耗能的故飞机每个座位的平

10213

均能耗是磁悬浮列车每个座位的平均能耗的3倍。

【答案】3倍

【例4］在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少;；在上升的电梯中称重，显示的重■比实

际体重增加，.小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际

6

体重的比是.

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【关键词】2008年，清华附中

【解析】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的亨,小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体

7

重的一，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，所以小明和小刚实际体

6

重的比是：（1司:11用=49:36.

【答案】49:36

4

【例5］学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占］，后来又有几名女生来言书，这时女生人数占

所有看书人数的言9.问后来又有几名女生来看书？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

4

【解析】把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答.男生人数是36x（1-§）=20人，后来阅览室的

9

总人数是20+（1-历）=38（名），后来有38-36=2（名）女生进来.

【客案】2名

【巩固】工厂原有职工128人，男工人数占总数的!,后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总

4

2

人数的（,这时工厂共有职工人.

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【关键词】2009年，五中，入学测试

【解析】在调入的前后，女职工人数保持不变.在调入前，女职工人数为128x（1-3=96人，调入后女

4

233

职工占总人数的1--=-，所以现在工厂共有职工96+-=160人.

555

【答案】160人

【巩固】学校派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占!.正式比赛时

4

2

有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的j.正式参赛的女选手有多

少名？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解.把总人数视为“1”，男

17

选手人数是60X（1・一）二45（人），男选手人数占正式参赛选手总数的1-二，所以正式参赛选手总数

4II

97

是：45+（1-j）=55（人），正式参赛的女选手人数是55乂1=10（人）。

【答案】10人

【巩固】某公司有J的职员参加新产品的开发工作，后来又有2名职工主动参加，这样参加新产品开发

的职工人数是其余人数的;，原来有多少职工参加开发工作？

【考点】分数应用题【难度】2星【题理】解答

【解析】后来参加新产品开发的职工人数是总人数的」一二1，所以新加入的2个人占总人数的

1+34

那么职工总人数为2+」-=40人，原来参加开发的职工数是40x-=8人.

4520205

【答案】8人

［例6］春天幼儿园中班小朋友的平均身高是115厘米，其中男孩比女孩多二，女孩的平均身高比男孩

高10%,这个班男孩的平均身高是厘米。

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【关犍词】希望杯，六年级，一试

【解析】设男生有6人，女生有5人，则男生的平均身高为：115x（5+6）+［（l+10%）x5+6xl］=110（厘

米）

【率案】110厘米

【例7］有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的|倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质

4

■是乙桶的，倍，乙桶中原有油千克.

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】原耒甲桶油的质量是两桶油总质量的一9一二』，甲桶中倒出5千克后剩下的油的质量是两桶油总

5+27

4454

质量的----=-,由于总质量不变，所以两桶油的总质量为5+(----)=35千克，乙桶中原有油

4+3777

35x2=10千克.

7

【答案】10千克

【例8】(1)某工厂二月份比元月份增产10%,三月份比二月份减产10%.问三月份比元月份增产了

还是减产了？(2)一件商品先涨价15%，然后再降价15%，问现在的价格和原价格比较升高、

降低还是不变？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】(1)设二月份产量是1,所以元月份产量为：1+(1+10%)=耳，三月份产量为：1-10%=0.9,

因为号>0.9,所以三月份比元月份减产了

(2)设商品的原价是1,涨价后为1+15%=1.15,降价15%为：1.15x(l-15%)=0.9775,现价和

原价比较为：0.9775V1,所以价格比较后是价降低了。

【客案】(1)减产(2)降低

【巩固】某工厂二月份比元月份增产'，三月份比二月份减产2•问三月份比元月份增产了还是减产

7?

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】工厂二月份比元月份增产白，将元月份产量看作1,则二月份产量为：lx(l+^)=《，三月

111199

比二月减产一，则三月份产量为：一x(l-一)=—<1,所以三月份比元月份减产了.

101()1010<)

【答案】减产

【巩固】一件商品先涨价!，然后再降价?，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】lx(l+1)x(l—1)=0.96〈l,所以现在的价格比原价降低了.

【客案】降低

【例9】某校三年级有学生240人，比四年级多I，比五年级少二.四年级、五年级各多少人？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】比四年级，可以设四年级为4份，(一般情况下可设“比”、“是”、等词后面的实际量的份数为分数的

分母)，则三年级为5份恰有240人，所以一每份就是240+5=48,所以四年级就有48X4=192

人，同理可设五年级有5份，则三年级有4份恰是240人，所以五年级就有300人.

【客案】300人

【巩固】把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1g倍，一队人数是三队人数的1（倍，那么四队

有多少个人？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

1314

【解析】方法一：设一队的人数是1T',那么二队人数是：1+1-=一，三队的人数是：1+1-=一，

3445

1+~+~=~~,因此，一、二、三队之和是：一队人数x?因为人数是整数，一队人数一定

452020

是20的整数倍，而三个队的人数之和是51x（某一整数），因为这是100以内的数，这个整数只能

是1.所以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20,15,16人.而四队有：100-51=49（人）.

方法二：设二队有3份，则一队有4份：设三队有4份，则一队有5份.为统队所以设一队有

[4,5]=20份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为15+16+20=51份，而四个队的

份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有

100-51=49（人）.

【客案】49人

2

【例10】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的、，美术班人

3

数相当于另外两个班人数的,,体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

22

【解析】条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的——=-,美术班的学生人数是所有班人数的

5+27

33239Q29

——=—,所以体育班的人数是所有班人数的1-------二一，所以所有班的人数为58+—=140

7+3107107070

23

人，其中音乐班有14（%二40人，美术班有140x6=42人.

【客案】42人

【巩固】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的5，李先

生的年龄是另外三人年龄和的3,赵先生的年龄是其他三人年龄和的7,杨先生26岁，你知

道王先生多少岁吗？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】方法一：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少.而题目中出现了三个“另外

三人”所包含的对象并不同，即三个单位T'是不同的，这就是所说的单位“1”不统一，因此，解答

此题的关键便是抓不变量，统一单位“1”.题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的年龄

总和为单位“[”，则单位“1”就统一了.那么王先生的年龄就是四人年龄和的一匚二」，李先生的

1+23

年龄就是四人年龄和的一!一二’,赵先生的年龄就是四人年龄和的一匚二!（这些过程就是所谓的

1+341+45

转化单位则杨先生的年龄就是四人年龄和的1-1-=上.由此便可求出四人的年龄和：

34560

26+11-七一占一占卜120（岁），王先生的年龄为：120xg=40（岁）.

方法二：设王先生年龄是1份,则其他三人年龄和为2份，则四人年龄和为3份，同理设李先生年龄

为1份，则四人年龄和为4份，设赵先生年龄为1份，则四人年龄和为5份，不管怎样四人年龄和应是

相同的，但是现在四人年龄和分别是3份、4份、5份，它们的最小公倍数是60份，所以最后可

以设四人年龄和为60份，则王先生的年龄就变为20份，李先生的年龄就变为15份，赵先生的

年龄就变为12份，则杨先生的年龄为13份，恰好是26岁，所以1份是2岁，王先生年龄是20

份所以就是40岁.

【客案】40岁

【巩固】四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只的总数的;，第二只小猴吃的是另外三只吃的总数

的;，第三只小猴吃的是另外三只的总数的），第四只小猴将剩下的46个桃全吃了.问四只小猴

45

共吃了多少个桃？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】根据题意知前三只小猴分别吃了总数的,，所以四只小猴共吃了46+（1-!■-4-1）二120

456456

（个）

【答案】120个

【巩固】兄弟四人去买电视，老大带的钱是另外三人的一半，老二带的钱是另外三人的1/3,老三带的钱是另

外三人总钱数的1/4,老四带91元，兄弟四人一共带了多少钱？

【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】老大带的钱是另外三人的一半，也就说老大带的钱是一共带钱的1/3,同理老二带的钱是一共带

钱的1/4,老三带的钱是一共带钱的1/5,所以老四带的钱是一共带钱的：1-1/3-1/4-1/5=13/60

四人一共带的钱：91除以13/60=420（元）

【答案】420元

【例11】小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的:,第二次运了50块，这时已运来的恰好是没运来

O

的，.问还有多少块蜂窝煤没有运来？

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】方法一:运完第一次后，还剩下?没运，再运来50块后，已运来的恰好是没运来的也就是说

87

7571

没运来的占全部的一，所以，第二次运来的50块占全部的：------=—,全部蜂窝煤有：

1281224

17

50・五=1200（块），没运来的有：I200x;=700（块）.

方法二：根据题意可以设全部为8份，因为已运来的恰好是没运来的1•，所以可以设全部为12份，

为了统一全部的蜂窝煤，所以设全部的蜂窝煤共有[8,12]=24份，则已运来应是24x_9_=10份，

7+5

没运来的24x」一=14份，第一次运来9份，所以第二次运来是10-9=1份恰好是50块，因此

7+5

没运来的蜂窝煤有50x14=700（块）.

【答案】700块

【巩固】五（一）班原计划抽!的人参加大扫除，临时又有2个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余

人数的g.原计划抽多少个同学参加大扫除？

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】又有2个同学参加扫除后，实际参加扫除的人数与其余人数的比是1:3,实际参加人数比原计划

多一!一-.即全班共有2+」-=40（人）.原计划抽40x'=8（人）参加大扫除.

1+3520205

【答案】8人

【巩固】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的!，后来又有20名同学参加大扫除，实际参

4

加的人数是未参加人数的g，这个学校有多少人？

【考点】分数应用题【难度】2里【题型】解答

【解析】20+（-!--------"1=400（人）.

13+14+1J

【客案】400人

【例12】小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少g；如果小刚

给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少W，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？

O

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

434

【解析】小莉给小刚24个时，小莉是小刚的亍（=1-y）,即两人球数和的丁：小刚给小莉24个时，小

88844

莉是两人球数和的表（二8十85），因此24+24是两人球数和的五一不二万.从而，和是（24+24）+

4

斤二132（个）.

【答案】132个

【例13】某班一次集会，请假人数是出席人数的"，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出

席人数的《，那么，这个班共有多少人？

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为总人数未变，以总人数作为"T'.原来请假人数占总人数的」一，现在请假人数占总人数的

1+9

331

,这个班共有：1+（----------------）=50（人）.

3+223+221+9

【答案】50人

【巩固】小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数3,他今

天比昨天多读了14页，这时已经读完的页数是还没读的页数的g，问题是，这本书共有多少页？”

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的一,而前二天小明一共读了全书的

i+_L1。

9

-2-=-,所以第二天比第一天多读的14页对应全书的所以整本书一共有

―1441020

3

14^—=28（）（页）。此外，如果对分数的掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的

20

方法：把这本书看作2（）份，那么昨天他看了2份，而今天他看了2份还多14页，两天一共看了4

份还多14页，或者可以表示成20+（1+3）=5（份）。那么每份是14+（5—4）=14（页），这本书共

14x20=280（页）。两种方法都可以得到相同的结果。

【答案】280页

【例14】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的:与原二班的;组成新一班，将

34

原一班的与原二班的g组成新二班，余下的30人组成新三班.如果新一班的人数比新二班的

43

人数多《，那么原一班有多少人？

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】新三班人数占原来两班人数之和的1-』-』二」，所以，原来两班总人数为：30+上=72（人），

341212

新一班与新二班人数之和为：72-30=42（人），斯二班人数是：42+（1+*+1）=20（人），新一班

人数为：42-20=22（人），新一班与新二班人数之差为22-20=2,而新一班与新二班人数之差

为（原一班人数—原二班人数）xg-；）,故：原一班人数—原二班人数=2+g-；）=24（人），原

一班人数—（72+24）4-2=48（人）.

【答案】48人

【巩固】某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的1和二车间人数的?分到一

23

车间，将原来的一车间人数的;和二车间人数的;分到二车间，两个车间剩余的140人组成劳

动服务公司，现在二车间人数比一车间人数多*,现在一车间有人，二车间有

人.

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】由“将一车间人数的■!"和二车间人数的,分到一车间，将一车间人数的L和二车间人数的L分到

2332

二车间”可知，现在一、二两车间的人数之和为总人数的1=所以劳动服务公司的140人

236

占总人数的1一』=』，那么总人数为：140+,=840人，现在一、二两车间的人数之和为

666

840x*=700人.由于现在二车间人数比一车间人数多,所以现在一车间人数为

617

7（乂）+（1+1+\）=340人，现在二车间人数为700-340=360人.提示：可以继续求出原来一车

间和二车间的人数.由于现在二车间比一车间多20人，所以原来二车间人数的二，比一车

236

间人数的1多20人，那么原来二车间人数比乙车间人数多20+,=120人，原来一车间有

66

（840-120>2=36人，原来二车间有360+120=480人.

【答案】48（）人

【例15】林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了g,然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又

喝了!，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀,重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯

纯牛奶总■的（用分数表示）。

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【关犍词】华杯赛，决赛

【解析】大家要先分析清毙的是不论是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的1,要是能想清楚

3

这一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。

喝掉的牛奶剩下的牛奶

£,12

第一次

333

212224

—X—=——X—=—

339339

第二次

4122

（喝掉剩下一的一）（剩下是第一次剩下一的一）

9333

414428

—X-=一—X—=一

93279327

第三次

41（剩下是第一次轲下金的2）

（喝掉剩下7•的一）

9393

81881.

第四次—x-=一（Z喝掉A剩下一的一）

27381273

所以最后喝掉的牛奶为一■1--1----1-----

39278181

【答案】

121

［例16］参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人.其中光明区占：，中心区占：，朝阳区占玄，剩余

的全是远郊区的学生.比赛结果洸明区有去的学生得奖，中心区有」的学生得奖期阳区有［

1618

的学生将奖，全部获奖者的号;远郊区的学生.那么参赛学生有多少名？获奖学生有多少名？

【考点】分数应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】如下表所示，我们将题中所给的条件列在表格内: