预习第01讲空间向量及其线性运算2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019）（原卷版）

第01讲空间向量及其线性运算本讲义亮度：1构建知识体系明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；2例题经典力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；【题型一】空间向量的概念【题型二】空间向量的线性运算【题型三】共线向量【题型四】共面向量3课后分层练习进一步巩固所学内容.1.掌握空间向量的概念；2.掌握空间向量的线性运算；3.理解空间共线向量和共面向量，并会证明空间四点共面.【题型一】空间向量的概念相关知识点讲解在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母a、bPS(1)空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；(2)向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a(3)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；(4)向量具有平移不变性.(5)在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.【典题1】（2425高二上·山东·阶段练习）给出下列命题：①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足a=b，则④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）．A．4 B．3 C．2 D．1变式练习1（2024高一下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形的平行六面体ABCD-A'B'C'A．0个 B．3个 C．7个 D．9个2（2024高三·全国·专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（）A．单位向量都相等B．若|a|=|bC．若向量AB，CD满足|AB|>|D．相等向量其方向必相同3（2425高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．向量AB与向量BA是相等向量B．与实数类似，对于两个向量a，b，有a=b，a>C．向量的模是一个正实数D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合4（2425高二·全国·课后作业）给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体ABCD-A1B③a=b是向量④若空间向量m,n,p满足m∥其中正确的命题的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【题型二】空间向量的线性运算相关知识点讲解(1)定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).OA=OB+OC=(2)运算律①加法交换律:a+②加法结合律:(a③数乘分配律:λ(a运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.PS平行六面体法则:在平行六面体ABCD－A1【典题1】（2425高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体OABC中，设OA=a,OB=b,OC=c，G为A．16a-C．16a-变式练习1（2425高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形ABCD中，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，则MG-AB+A．32DB B．3MG C．GM2（2425高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C①AB+BC+C③AB+BB1A．1 B．2 C．3 D．43（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点．若A．a+b+12c B．a4（2425高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，AE→=4AFA．DF→=14C．DF→=-145（2425高二上·辽宁丹东·期末）在四面体O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点D满足BD=xBC，E为A．16 B．13 C．12【题型三】共线向量相关知识点讲解(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b(2)共线向量定理：空间任意两个向量a，b(b≠0)，(3)三点共线：A、B、(4)与a共线的单位向量为±a【典题1】（2425高二·甘肃武威·课后作业）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（

）A．AB+BC=C．|AB|=|BC【典题2】（2324高一下·河北邢台·期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱VA上，且VP=14VA，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和A．6 B．8 C．12 D．16变式练习1（2425高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A．A1B B．DC1 C．2（2425高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（

）A．AB+BC=ACC．AB=-2BC D3（2425高二上·天津河西·期中）设空间四点O, A, B, P满足A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上C．点P不一定在直线AB上 D．以上答案都不对4（2425高二上·上海·课后作业）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3eA．-2 B．-4 C．-8 D．85（2324高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，PA．当λ=0时，点P在棱BB1上B．当λ=μ时，点P在线段C．当μ=1时，点P在棱B1C1上D．当λ+μ=1时，点P6（2324高二上·辽宁大连·期末）在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则AFAG=（A．12 B．23 C．34【题型四】共面向量相关知识点讲解(1)定义一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.(2)共面向量定理如果两个向量a,b不共线，p与向量a,(3)四点共面方法1若要证明A、B、C、方法2若要证明A、B、C、P证明若x+y+z=1，则OP=x=OC∴OP-OC即CP,CA,CB【典题1】（2223高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量e1，e2不共线，AB=e1+eA．AB与AC共线 B．AB与CD共线C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面【典题2】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，H为CC1的中点，AF=λAH，λ∈0,1A．12 B．25 C．13变式练习1（2324高二上·北京·期中）已知MA,MB是空间两个不共线的向量，MC=5A．MA,MC共线 B．C．MA,MB,MC共面2（2425高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：5PA=PBA．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面3（2425高二上·浙江金华·期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点，PF=2FB,PG=λGC，D，E，F，GA．1 B．12 C．23 D【A组基础题】1（2425高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．若a=b，则a，C．若向量AB，CD满足AB>CDD．相等向量其方向必相同2（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，若AB+DC=λEF，则A．12 B．1 C．2 D．3（2425高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，D为BC的中点，3AG=2AD，且P为OG的中点，则OPA．16OA+1C．13OA+4（2425高二下·福建龙岩·期中）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+2e2A．-3 B．1 C．2 D．35（2425高二下·江苏扬州·阶段练习）下列条件中，使点M与点A､B､A．MA+MB+C．OM=3OA+26（2223高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，E是棱PD上的点，且PE=3ED，若PF=λPC，且满足BF//平面ACE，则λ=（A．23 B．32 C．337（多选）（2425高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AB=AA1=4，∠BAD=60°，M为线段D1C1的中点，A．若μ=1，则三棱锥P-DBC的体积为定值B．若λ=12，则有且仅有一个点PC．若λ+μ=12，则PND．若λ=0，μ=12，则平面DPM8（2425高一下·浙江·期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，9（2425高二上·安徽·阶段练习）已知向量a,b,(1)若AB=mAC,m∈R(2)若O,A,B,C四点共面，求3p+5q的值.【B组提高题】1（2025·