2018年高考数学（人教理科）总复习训练课时规范练42

课时规范练42空间向量及其运算一、基础巩固组1.已知空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则MN=()A.ab1223+12cB.aB23+C.a12+12b12cD.aD23+2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,2,1),则|AB|等于()A.18 B.12 C.32 D.233.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若AE=AA1+xAB+yAD,则x,yA.x=1,y=1B.x=B1,y=1C.x=12,y=12D.x=D124.向量a=(2,3,1),b=(2,0,4),c=(4,6,2),下列结论正确的是()A.a∥b,a∥cB.aB∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥b D.以上都不对5.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M为BC中点,则A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定6.(2017浙江舟山模拟)平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,A.5 B.6 C.4 D.87.已知空间向量a,b,满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为π3,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足OA=2a+b,OB=3ab,则△OAB的面积为.8.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.

9.(2017宁夏银川模拟)已知点A(1,2,1),B(1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|的值是.

10.如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C⊥平面BC1D.〚导学号〛二、综合提升组11.已知AB=(2,2,2),BC=(1,y,z),若AB∥BC,BP=(x1,y,1),且BP⊥AB,则实数x,y,zA.5,1,1 B.1,1,1C.3,1,1 D.4,1,212.(2017安徽合肥质检)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,点M是BC的中点,点P∈AC1,Q∈MD,则PQ长度的最小值为()A.1 B.43 C.23313.(2017内蒙古包头模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<DP,AE>=33,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为.〚导学14.在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD.(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB.若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由.三、创新应用组15.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.

16.如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1,在其底面三角形ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的模;(2)求cos<BA1,(3)求证:A1B⊥C1M.〚导学号〛课时规范练42空间向量及其运算1.BMN=ON-OM=12(OB+OC)2.C|AB|=(1-23.C如图,AE=AA4.C因为c=(4,6,2)=2(2,3,1)=2a,所以a∥c.又a·b=(2)×2+(3)×0+1×4=0,所以a⊥b.5.C∵M为BC中点,∴AM=∴AM·AD=1∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.6.A设AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a+b+c,|AC1|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,7.534由OA=2a+b,OB=3a|OA|=(2a+b)2=7,|OB|=(3a-∴cos∠BOA=OA·∴sin∠BOA=5∴S△OAB=12|OA||OB|sin8.2由题意知AB·AC=0,|AB|=|AC|.∵AB=(6,2,3),AC=(∴6(x-9.773设P(x,y,z),则AP=(x1,y2,z1),PB=(1x,3y,4z).由AP=2PB,得点P坐标为-13,83,10.证明(1)CA1=CB=13(CB+∴CG∥CA1,即A1,(2)设CB=a,CD=b,CC1=则|a|=|b|=|c|=a,且a·b=b·c=c·a=0.∵CA1=a+b+c,BC∴CA1·BC1=(=c2a2=0.因此CA即CA1⊥BC1.同理CA1⊥BD.又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C⊥平面BC1D.11.B∵AB∥BC,∴12=y2=∵BP⊥AB,∴2(x1)+2y2=0,解得x=1.12.C根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设P(x0,2x0,33x0),Q(x1,2x1,3),x0∈[0,1],x1∈[0,1],所以PQ=(x当且仅当x0=29,x1=89时,PQ取得最小值,即PQmin13.(1,1,1)由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(a>0),则E1,1,a2,所以DP=(0,0,a),AE=-1,又cos<DP,AE>=33,所以0×(-1)+0×1+a2214.(1)证明如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,a2,0,PEF=-a2,∵EF·DC=即EF⊥CD.(2)解假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z),则FG=x-a2,-a则由FG·CB=

xa2,a2,za2

·(由FG·CP=

xa2,a2,za2

·(0,a,a)=∴点G坐标为a2,0,0,即存在满足条件的点G,且点15.25以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x,y,z轴的正半轴,设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0≤y≤2).所以AF=(2,1,0),EM=(1,y,2).所以AF·EM=2+y,|AF|=5,|EM所以cosθ=|=|-令2y=t,则y=2t,且t∈[0,2].所以cosθ=t=t当t=0时,cosθ=0.当t≠0时,cosθ=1=15由t∈(0,2],得1t所以9≥所以0<cosθ≤即cosθ的最大值为216.(1)解如图,建立空间直角坐标系.依题意得B(0,1,0)