2024-2025学年北京市海淀区高二下学期学业水平调研数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区高二下学期学业水平调研数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列an满足a1=1,an+1=−2A.−16 B.16 C.−32 D.322.已知函数fx=cosxxA.xcosx−sinxx2 B.−x3.已知1−2x5=a0+A.−10 B.−40 C.10 D.404.某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条．学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为(

)A.36 B.72 C.108 D.2165.已知函数fx的导函数f′x=ax+2x−12A.函数fx有2个极值点

B.函数fx在区间1,3上没有零点

C.函数fx在区间−2,3上单调递减

D.曲线y=f6.已知等差数列an和等比数列bn，a1=b1=−4,A.有且仅有1个值 B.有且仅有2个值 C.有且仅有3个值 D.有无数多个值7.甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为35(没有平局).则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是(

)A.18125 B.36125 C.358.设an是所有项都不为0的无穷等差数列，则“1an为递减数列”是“anA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数fx的定义域为D，若对任意的x1∈D，都存在唯一的x2∈D，使得f′x1=−f′x2A.fx=sinx B.fx=x10.已知函数fx=x3−3x,x≤a,−x+a,x>a,A.当a=0时，函数fx在−1,+∞单调递减

B.当−1≤a≤2时，函数fx有最大值2

C.当a≥3时，函数fx有3个极值点

D.当a>0时，直线y=x−a二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知数列an的通项公式为an=2n−1，则a3=

；记an的前n项和为Sn，则12.已知函数fx=ln2x+2，则其定义域为

，f′x13.现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为45,34,14.已知函数fx=x3+ax2+4在区间15.已知无穷数列an的前n项和Sn满足Sn=12①实数k>0；②数列Sn③当a1=1时，对任意M>0，存在n0>0，当④当an>0恒成立时，其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分已知函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)求函数fx的单调区间．17.(本小题11分AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示：公司甲乙丙丁AI模型1234567891011121314幻觉率1.3%1.8%2.9%1.5%1.9%2.9%0.7%0.9%1.6%2.4%0.8%1.6%2.4%2.8%(1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率；(2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量X表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量X的分布列和数学期望;(3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?(结论不要求证明)18.(本小题12分)已知函数fx(1)当a=1时，直线l是曲线y=fx的一条切线，求l的斜率的最小值(2)当a<0时，求证：函数fx(3)若存在实数m，使得关于x的不等式fx<1的解集为{x∣0<x<m}，直接写出a19.(本小题12分)给定正整数nn≥3，若数列An:a1,a2,⋯,an同时满足下列两个性质，则称数列An为Pn数列：(1)写出两个P3数列A(2)若An为Pn数列，求(3)求bn+1bn参考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.C

6.A

7.C

8.A

9.D

10.D

11.5；100

12.−1,+∞

；113.596014.−3,+∞

15.①②③④

16.(1)因为fx=e因为f′=e所以f′(0)=e所以y=fx在点0,f0处的切线方程为即2x−y+1=0；(2)函数f(x)的定义域为R，因为ex>0恒成立，x2−x+1所以令f′(x)>0，解得x>2或x<1，令f′(x)<0，解得1<x<2，所以函数fx的单调增区间为−∞,1和2,+∞，单调递减区间为1,2

17.(1)14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个，所以幻觉率低于2%的概率为1−(2)幻觉率低于2%的AI模型中共有9个，其中幻觉率低于1.3%的模型有3个，故X=0,1,2,3，PX=0X0123P2045181，故E(3)来自于乙公式的概率大，理由如下：M=“模型来自于乙公司”，N=

“模型来自于丙公司”，Mi=“AI模型的编号为i”，i=4,5,6，Nj=“AI模型的编号为B=“AI模型产生了AI幻觉”

则PM则PP则PB由于M=所以P(M|B)=P(N|B)=由于917

18.(1)函数f(x)的定义域为0,+∞．当a=1时，fxf′x设g(x)=2x−ln则g′令g′(x)=0，因为x>0，所以解得x=1所以当0<x<12时，g′(x)<0，g(x)在当x>12时，g′(x)>0，g(x)在所以当x=12时，g(x)取到最小值即切线l的斜率的最小值为ln2(2)函数f(x)的定义域为0,+∞．f′x令ℎ(x)=2x−alnx−ax>0因为a<0，所以−a>0，又因为x>0，所以ℎ′(x)=2x−a所以ℎ(x)在0,+∞上单调递增．又因为ℎ(1)=2×1−aln当x→0+时，−aln又因为ℎ(x)=2x−alnx−a在所以存在x0∈0,1，使得ℎ(所以当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即f′(x0)<0当x>x0时，ℎ(x)>0，即f′(x0)>0所以x=x0是f(x)的极小值点，函数(3)fx<1等价于x2令p(x)=x−1若存在实数m，使得关于x的不等式fx<1，即p(x)<0的解集为p′(x)=1+1x2(i)当a≤2时，m(x)=x2−ax+1所以m(x)≥0在x>0时恒成立，即p′(x)≥0在x>0时恒成立，即p(x)在0,+∞上单调递增．因为p(1)=1−1−aln1=0，所以当0<x<1时，p(x)<0；当x>1时，p(x)>0，能满足使p(x)<0的解集为{x∣0<x<1}，符合题意；(ii)当a>2时，m(x)=x2−ax+1故m(x)=0有两个不相等的实数根，由韦达定理可知，x1+x则可知p(x)在0,x1上单调递增，在x1所以p(x)在x=x1时取到极大值，在又因为p(1)=1−1−aln1=0，所以p(x又当x→0+时，p(x)→−∞，所以在0,x在x2,+∞上存在另外一个零点所以p(x)<0的解集为0,x与p(x)<0的解集为{x∣0<x<m}相矛盾，故不符合题意．综上可知，a的取值范围为a≤2．

19.(1)P(3)数列A3：①1，2，3；②1，3，2；③3，1，2；④3，2，1(任取两个)(2)当n=3时，因为a1,a所以a1,a所以a1当n≥4时，因为1,2,⋯,n；2,1,3,4,5,⋯,n；n,n−1,n−2,⋯,1；n−1,n,n−2,n−3,n−4,⋯,1均是P(n)数列，所以a1可以为1,2,n−1,n假设存在3≤a1≤n−2记B=a1记C=a1由条件(2)，a1−2之后必有直到集合B中某一个数出现在数列An同理集合C中必有某一个数出现在数列An由于集合B，C中的数均与a1同奇偶，所以an−1,考虑数列An中最后一项偶数，必不能满足条件(2)所以a1(3)设x=由(2)知，an−1考虑{1,3,5,⋯,x}在数列An中出现的先后顺序，与(2)同理，首次