四川省内江市2024–2025学年高一数学上学期第一次月考试卷【含答案】

/考试时间：120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.已知命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题，是存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，即，，故选：C2.下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；选项B：定义域不是，值域为，故错误；选项C：定义域和值域均为，故正确；选项D：不满足函数的定义，故错误；故选：C.3.单位圆上一点绕坐标原点O逆时针方向转动后，到达点，则点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先用三角函数表示点坐标，然后通过旋转可求出点坐标，利用诱导公式计算即可.【详解】单位圆上一点，即，其绕坐标原点O逆时针方向转动后，到达点，则，又，，所以.故选：A.4.已知，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别从充分性和必要性角度去判断即可.【详解】由得，由得，当，时，满足，但不满足；当，时，满足，但不满足；故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D5已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可.【详解】由得，所以，解得，故选：A.6.已知，，则的终边在（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限【答案】D【解析】【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限.【详解】因为，，所以为第二象限角，即，所以，则的终边所在象限为所在象限，即的终边在第一、二、四象限.故选：D.7.已知，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件结合数量积的运算性质求，再由向量夹角公式求，的夹角.【详解】因为，所以，故，又，，所以，所以，又，所以，即，的夹角为，故选：B.8.已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为a、b，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】作出函数图像，利用反函数的性质判断即可.【详解】设，，，，因为与互为反函数，图像关于对称，设它们与的交点坐标分别为，可知交点坐标也关于直线对称，所以，即.故选：B二、多选题（本大题共3小题，共18分）9.若非空集合M，N，P满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先根据交集、并集运算的结果得到，然后再逐项进行判断.【详解】因为，，所以，所以，对于A：因为，所以，故正确；对于B：因，所以不一定成立，故错误；对于C：因为，所以，故正确；对于D：因为，，所以，故正确；故选：ACD.10.已知是上的增函数，那么实数的值可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先分析各段函数在对应区间上单调递增，然后结合分段点处函数值大小关系确定出的可取值.【详解】当时，，若单调递增，则，解得，当时，，若单调递增，则，解得，又，解得，综上可知，，可得AC符合.故选：AC.11.已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（）A.的取值与有关 B.为定值C. D.【答案】BD【解析】【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则，进而求得的取值范围.【详解】令，则可化为，不妨设的解集为，即，，即，故，又，且，，且，，且，故，解得，故选项A错误，选项B正确；，，有解，，即或，是方程的两个根，即是方程的两个根，故，即，解得：，，故选项C错误，选项D正确.故答案选：BD.【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】采用常数分离法转化为恒成立，只需求的最小值即可.【详解】对任意正实数，不等式恒成立，即恒成立，因为，当且仅当即时取“＝”.所以故答案为：13.在中，，，平面外一点满足，则三棱锥外接球表面积是_________．【答案】【解析】【分析】因为，所以点在平面上的射影是的外心，即为中点，而三棱锥的外接球球心一定在上，由此计算出球半径后可得表面积．【详解】因为，所以点在平面上的射影是的外心，又，所以是中点，如图，由平面，平面，得，三棱锥的外接球球心在上，，，设，则由得，，所以外接球表面积为．故答案为：．14.已知函数在区间恰有2025个零点，则的一个可能取值是__________．【答案】2024．（答案不唯一）【解析】【分析】由题意可得的范围，进而求出的范围，求出其中的一个可得值．【详解】令，可得，要使函数在区间恰有2025个零点，即有2025个根，因为,，，所以,，则，可得．故答案为：2024．（答案不唯一）四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.设不等式的解集为，不等式的解集为，集合.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先化简集合，再结合集合交集和补集的运算即可；（2）由，得，再结合包含关系列出不等式组，即可解.【小问1详解】由，得，由，得，则，；【小问2详解】若，则，当时，，此时，解得：；当时，，此时，解得：，则，综上：16.已知函数的周期为．（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）由周期计算公式求出然后根据正弦函数单调递减区间可得答案；（2）由题可得，后由正弦函数图象和性质可得答案.【小问1详解】因为函数的周期为，所以，，即，所以，令，，即，，函数的单调递减区间为.【小问2详解】因为，所以，所以，即，在区间上的最大值为，最小值为.17.已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．（1）求的解析式；（2）求在区间上的最小值；（3）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；（2）分和讨论即可；（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出的范围.【小问1详解】因为对都有，所以的图象关于直线对称，又因为二次函数的最小值为，所以可设二次函数的解析式为，又因为是其一个零点，所以，解得，所以的解析式为.【小问2详解】由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，.【小问3详解】因为关于的不等式在区间上有解，即不等式在上有解，所以，记，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，所以，即，故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为.18.已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）如图，若，在外取点D.且，.求四边形ABCD面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【小问1详解】∵，由正弦定理得，∴，∴.根据三角形内角和定理得，∵，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】∵，且，∴为等边三角形.设，则在中，由余弦定理得.∴，.∴四边形ABCD的面积，∴当，即时，.∴四边形ABCD的面积的最大值为.19.已知函数，，设．（1）求的值；（2）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出的取值集合；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接代值计算即可；（2）首先确定函数为奇函数，并观察出函数为单调减函数，然后利用单调性和奇偶性去掉，将恒成立问题转化为最值问题求