湖南省永州市宁远一中崇德学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（含详解）

宁远一中崇德学校2025年7月高一期末考试数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若幂函数y=xα的图像经过点2,2A．16 B．2 C．116 D．2．计算logA．8 B．6C．－8 D．－63．函数y=1A．关于原点成中心对称B．关于y轴对称C．既关于原点成中心对称又关于y轴对称D．既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称4．下列命题是真命题的是（）A．函数f(x)=−B．函数f(x)=−C．函数f(x)D．函数f(x)5．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（）A．如果a>b,b>c，那么a>c B．如果a>b>C．对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当6．2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7,若ΔABC的内角A满足sinAcosA．153 B．−153 C．58,已知函数fxA．函数fx的最小正周期为B．函数fx的值域为C．点π6,0是函数D．f多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9．已知函数fxA．fB．fC．fx的最小值为D．fx的图象与x10．已知关于x的不等式a≤xA．不等式a≤x2−B．不等式a≤x2−4x−C．存在实数a,b，使得不等式a≤xD．存在唯一一对实数对a,b，使得不等式a≤x11．若函数y=sinωx+φω>A．5 B．4 C．3 D．210．已知函数f(x)A．fx在区间0,B．π12,0为C．fD．要得到gx=2cosx+π4填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合M=yy=x,x≥013．已知fx=ax2021+bx9−x214．里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（1）已知θ是第二象限角，试判断tan(sinθ（2）若sin(cosθ)⋅16．已知函数f（x）＝ax+x−2x+1（1）求证：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）.17，在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知，.求，的值.18.（1）已知向量，，若，求的最小值.（2），，与的夹角为2π3，求的最小值某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，求sin∠PAC=；（2）若AC∶AB∶BC=6∶5∶4，则PA+PB+PC的值为.

答案1．若幂函数y=xα的图像经过点2,2A．16 B．2 C．116 D．【答案】D【解析】由题知：2α=22=当x=4时，y=故选：D2．计算logA．8 B．6C．－8 D．－6【答案】C【解析】log故选：C.3．函数y=1A．关于原点成中心对称B．关于y轴对称C．既关于原点成中心对称又关于y轴对称D．既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称【答案】A【解析】设f(由题得x≠0所以f(所以f(所以f(−x)=−f(所以其图象关于原点成中心对称，不关于y轴成轴对称.故选：A4．下列命题是真命题的是（）A．函数f(x)=−B．函数f(x)=−C．函数f(x)D．函数f(x)【答案】D【解析】选项A，由一次函数的单调性知，f(x)=−3选项B，由反比例函数的单调性可知，f(x)=−1选项C，函数f(x)=−x2+选项D，函数f(x)=x2−2x故选：D5．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（）A．如果a>b,b>c，那么a>c B．如果a>b>C．对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当【答案】C【解析】ABD选项是不等式的性质.对于C选项，设小正方形的边长为a,b，大正方形的边长为大正方形的面积为a2+b2，由图可知a2+b故选：C6．2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市的一名务工人员,但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件.故选：B.7,若ΔABC的内角A满足sinAcosA．153 B．−153 C．5【答案】A【解析】∵sinA•cosA=13>0，又A∴sinA＞0，cosA＞0，∴（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA=5则sinA+cosA=15故选：A8,已知函数fxA．函数fx的最小正周期为B．函数fx的值域为C．点π6,0是函数D．f【答案】D【解析】因为fx所以函数fx的最小正周期T=由正切函数的图像和性质可知函数fx的值域为R由2x−π3得x=kπ4+当k=0时，x=所以点π6,0是函数因为f2f3所以f2故选：D.多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9．已知函数fxA．fB．fC．fx的最小值为D．fx的图象与x【答案】AD【解析】令t=x−1≥−1，得x故fx=2x2fx=2x2fxmin=f−1故选：AD10．已知关于x的不等式a≤xA．不等式a≤x2−B．不等式a≤x2−4x−C．存在实数a,b，使得不等式a≤xD．存在唯一一对实数对a,b，使得不等式a≤x【答案】CD【解析】fx=x2−若不等式a≤x2−4x−根据二次不等式解与系数的关系，需满足−8+12取a=−10，b=−6，得到−10a≤x2−4x−故只能是a≤x2−4x−6恒成立，故a6+b=4a6故选：CD.11．若函数y=sinωx+φω>A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B∵由题中图象可知x0+π4−x0=T210．已知函数f(x)A．fx在区间0,B．π12,0为C．fD．要得到gx=2cosx+π4【答案】AB【解析】解：f(A:令2x−π6=kπ,解得−16<k<116B:令2x−π6=kπ,k∈ZC:f2π3+x=f2π3−x等价于直线x=2π3是函数f(xD:y=f(x)向左平移π横坐标缩短为原来的12可得ℎ故选:AB.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合M=yy=x,x≥0【答案】0,2【解析】M=yN=x所以M∩N=x故答案为：0,2.13．已知fx=ax2021+bx9−x2【答案】−【解析】设gx=ax2021+bx因为g−x所以函数g(所以fxf(故答案为：−14．里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍．【答案】6，10000根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴xy故答案耿：6，10000．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（1）已知θ是第二象限角，试判断tan(sinθ（2）若sin(cosθ)⋅【答案】（1）tan(sinθ)⋅tan(cosθ)<【解析】（1）∵θ是第二象限，∴0<∴tan(sinθ∴tan(sinθ（2）∵−π∴cos(sinθ故要使sin(cosθ)⋅∴cosθ<0，即θ为第二、三象限角或角θ终边在16．已知函数f（x）＝ax+x−2x+1（1）求证：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）.【答案】（1）证明见解析；（2）0.3125.【解析】证明：（1）设−1∴fx∵−1<x∴3x∵−1<x1<x2，且a∴fx1−f∴函数fx在−（2）由（1）知，当a＝3时，fx=3故在0，+∞上也单调递增，由于f以下用二分法求这一正根，由于f0∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点中点函数值（0，1）0.50.732（0，0.5）0.25﹣0.084（0.25，0.5）0.3750.322（0.25，0.375）0.31250.124由于|0.3125﹣0.25|＝0.0625＜0.1，∴原方程的近似解可取为0.3125.17，在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知，.求，的值.【答案】答案见解析.【解析】选择条件①，，，，，选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，.18.（1）已知向量，，若，求的最小值.（2），，与的夹角为2π3，求的最小值解析：（1），则，当时，取得最小值.（2）2319，某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，求sin∠PAC=；（2）若AC∶AB∶BC=6∶5∶4，则PA+PB+PC的值为.

答案74解析设外接圆半径为R，则R=2，由正弦定理，可知ABsin∠ACB=3sin∠ACB即sin∠ACB=34由于∠ACB是锐角，故cos∠ACB=74又由题意可知P为△ABC的垂心，即AP⊥BC，故∠PAC=π2-∠ACB所以sin∠PAC=cos∠ACB=74设∠CAB=θ，∠CBA=α，∠ACB=β，则∠