2018-2022高考真题 圆锥曲线 解答题全集 （学生版 解析版）

2018-2022高考真题圆锥曲线解答题全集(学生版解析版)

一.解答题(共60小题)

1.(2022•全国)已知椭圆C的左、右焦点分别为Fi(-c,0),Fi(c,0),直线y=孥*

交C于A,B两点，|AB|=2V7,四边形AF1BF2的面积为4次.

(1)求c；

(2)求C的方程.

22

2.(2022•天津)椭圆X方+V匕=1的右焦点为尸、右顶点为A,上顶点为8,且

a2b2

满足黑=T-

(1)求椭圆的离心率e；

(2)直线/与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于N(N异于M).记O为坐标原点，

若QM=QN，且△OMN的面积为b，求椭圆的标准方程.

%2y2

3.(2022•上海)设有椭圆方程1'：—+—=1Ca>b>0),直线/：x+y-4&=0,「下端

点为A,例在/上，左、右焦点分别为Q(-V2,0)、尸2(V2,0).

(1)a=2,AM中点在x轴上，求点例的坐标；

3

(2)直线/与y轴交于B,直线AM经过右焦点尸2,在中有一内角余弦值为口

求b；

(3)在椭圆「上存在一点P到/距离为d,使|PFI|+|PF2|+"=6,随a的变化，求”的最

小值.

工4

4.(2022•浙江)如图，已知椭圆n+y2=i.设48是椭圆上异于P(0,1)的两点，且

点。(0，在线段AB上，直线用,PB分别交直线)，=一%+3于C,。两点.

(I)求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(II)求|CD|的最小值.

xy

5.(2022•新高考I)已知点A(2,1)在双曲线C：—-=\(«>1)上，直线/交

a2az-l

C于P,。两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求/的斜率；

(2)若tanN%Q=2e,求△以。的面积.

6.(2022•乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2),

3

B(-,-1)两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段

A8交于点T,点，满足而=强.证明：直线HN过定点.

%2y2

7.(2022•北京)已知椭圆E：—+—=1(a>Q0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2百.

a2b2

(I)求椭圆E的方程；

(II)过点尸(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,

AC分别与x轴交于点M,N.当|加=2时，求k的值.

8.(2022•甲卷)设抛物线C：y1=2px(p>0)的焦点为尸，点。(p,0),过尸的直线交C

于M,N两点.当直线MO垂直于x轴时，|MQ=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD,N£>与C的另一个交点分别为4,B,记直线MN,A2的倾斜角分别

为a,p.当a-0取得最大值时，求直线A8的方程.

xy

9.(2022•新高考H)已知双曲线C：--1T=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐

a2t)z

近线方程为y=±岳.

(1)求C的方程；

(2)过尸的直线与C的两条渐近线分别交于4,8两点，点P(xi,yi),Q(X2,”)

在C上，且xi>x2>0,yi>0.过P且斜率为-我的直线与过。且斜率为行的直线交于

点从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①M在AB匕©PQ//AB-,®\MA\^\MB\.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

42

10.(2022•上海)已知椭圆「：—+/=1(a>l),A、B两点分别为［,的左顶点、下顶点，

C、。两点均在直线/：x=a±,且C在第一象限.

(1)设P是椭圆1'的右焦点，且求1'的标准方程；

(2)若C、。两点纵坐标分别为2、1,请判断直线A。与直线BC的交点是否在椭圆「

上，并说明理由；

(3)设直线A。、BC分别交椭圆I,于点P、点Q,若P、Q关于原点对称，求|CD|的最

小值.

x2y2

11.(2021•全国)设椭圆G：—+—=1(a>*>0)与y轴正半轴的交点为8,右焦点为

F.已知8,F在OC：Ay2-lx-2y=0±.

(1)求G的方程；

(2)若直线/过点C,交G于M,N两点，且C为线段的中点，求|MN|.

%2y2

12.(2021•新高考II)已知椭圆C的方程为=+匕=1(a>b>0),右焦点为尸(VL0),

a2b2

V6

且离心率为三

(I)求椭圆C的方程；

(H)设M,N是椭圆C上的两点，直线与曲线/+》2=廿G>0)相切.证明：M,

N,F三点共线的充要条件是|加=遮.

%2

13.(2021•上海)已知「：—+y2=\,Fi,尸2是其左、右焦点，直线/过点P(m,0)(m<

-V2),交椭圆于A,B两点，且A,B在x轴上方，点A在线段8尸上.

(1)若8是上顶点，=求机的值；

tt14V15

(2)若尸1小尸24=静，且原点。到直线/的距离为求直线/的方程；

D15

(3)证明：对于任意〃?〈一企，使得心〃尸；%的直线有且仅有一条.

X2V2

14.(2021•北京)已知椭圆氏—+77=1(a>/?>0)的一个顶点A(0,-2),以椭圆E

a2b2

的四个顶点围成的四边形面积为4V5.

(1)求椭圆E的方程；

(II)过点P(0,-3)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线A3、

4c分别与直线y=-3交于点M、N,当|PM+|P'W15时，求A的取值范围.

x2y22V5

15.(2021•天津)已知椭圆丁+J7=l(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为：

a25

且逐月=V5.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线/与桶圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与B尸垂直的直

线交x轴于点P.若MP〃BF,求直线/的方程.

16.(2021•浙江)如图，已知F是抛物线y2=2px(P>0)的焦点，M是抛物线的准线与x

轴的交点，且|MW=2.

(I)求抛物线的方程：

(II)设过点尸的直线交抛物线于A,8两点，若斜率为2的直线/与直线MA,MB,

A8,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|/?辞=|呐・。川，求直线/在x轴上截距的取

值范围.

17.(2021•新高考I)在平面直角坐标系xOy中，己知点Fi(-V17,0),Fi(旧，0),

点〃满足IMFilTM尸2|=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点7在直线上，过7的两条直线分别交C于A,B两点和P,0两点，且|划

•\TB\=\TP\'\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

18.(2021•甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,

Q两点，且OPLOQ.已知点M(2,0),且。M与/相切.

(1)求C,OM的方程；

(2)设4,42,43是C上的三个点，直线AIA2,4A3均与。M相切.判断直线AM3

与OM的位置关系，并说明理由.

19.(2021•乙卷)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点下到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足々=9诵，求直线OQ斜率的最大值.

20.(2021•甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线C的极坐标方程为p=2鱼cosS.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点A的直角坐标为(1,0),“为C上的动点，点P满足&=夜薪，写出P

的轨迹。的参数方程，并判断C与Ci是否有公共点.

21.(2021•乙卷)已知抛物线C：F=2py(p>0)的焦点为尸，且尸与圆M：/+()，+4)2

=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p；

(2)若点尸在M上，PA,P8为C的两条切线，4,B是切点，求△BAB面积的最大值.

22.(2021•上海)(1)团队在。点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现

一点P满足|必|TPB|=20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以。点为原点，东

侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双

曲线标准方程和P点坐标.

(2)团队又在南侧、北侧15千米处设有C、。两站点，测量距离发现|QA|-|Q8|=30千

米，|QC|TQD|=10千米,求IOQ(精确到1米)和。点位置(精确到1米，1°)

23.(2020•全国)经过点A(-2,4)且倾斜角为135°的直线与抛物线y2=2px(p>0)

交于M,N两点，且京=入加AN=^MN,入>0.求"和人.

22

xy、

24.(2020•天津)已知椭圆万+77=1(。>匕>。)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,

a2b2

且|OA|=|O月，其中。为原点.

(I)求椭圆的方程；

(II)已知点C满足3鼠=后，点8在椭圆上(8异于椭圆的顶点)，直线AB与以C

为圆心的圆相切于点尸，且尸为线段A3的中点.求直线4B的方程.

x2y2

25.(2020•北京)已知椭圆C：石+9=1过点A(-2,-1),且〃=24

Q2匕2

(I)求椭圆。的方程；

(II)过点8(-4,0)的直线/交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-

4于点尸，Q.求■的值.

%2y2

26.(2020•上海)已知双曲线门：一一J=1与圆「2：，+/=4+/0>0)交于点4(XA,

4b2

)%)(第一象限)，曲线r为「1、r2上取满足X>g］的部分.

(1)若用=逐，求人的值；

(2)当b=期,「2与x轴交点记作点Fl、F1,尸是曲线「上一点，且在第一象限，且

|P尸1|=8,求/FiP尸2；

(3)过点。(0,—+2)斜率为一3的直线/与曲线r只有两个交点，记为M、N,用。

24

表示OM，ON,并求OM・ON的取值范围.

x2y2

27.(2020•江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1+三=1的左、右焦点分别

为Fi、下2,点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2±FIF2,直线AFI与椭圆E相交于另

一点B.

(1)求△AQF2的周长；

(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求而•诵的最小值；

(3)设点M在椭圆E上，记△0A8与△M48的面积分别为Si,Si,若S2=3SI,求点

M的坐标.

第2

28.(2020•浙江)如图，已知椭圆C1：—+/=1,抛物线C2：/=2px(p>0),点A是椭

圆Ci与抛物线C2的交点，过点A的直线I交椭圆Ci于点B,交抛物线C2于点M(B,

M不同于4).

(I)若夕=白，求抛物线Q的焦点坐标；

(II)若存在不过原点的直线/使〃为线段AB的中点，求p的最大值.

XV

29.(2。20•海南)已知桶圆C：-+-=1(«>/,>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,

1

且AM的斜率为

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

xzy2V2

30.(2020•山东)已知椭圆C：—+=1(a>b>0)的离心率为一，且过点A(2,1).

a2b22

(1)求C的方程；

(2)点M,N在C上，且AD±MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。。|

为定值.

_x2y2

31.(2020•新课标H)己知椭圆Ci：—+—=1(a>/>>0)的右焦点尸与抛物线C2的焦

点重合，。的中心与C2的顶点重合.过户且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点，交

C2于C,。两点，且|CD|=4AB|.

(1)求Ci的离心率；

(2)若Ci的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求。与C2的标准方程.

X2V2

32.(2020•新课标II)已知椭圆Ci：—+77=1(a>b>0)的右焦点尸与抛物线C2的焦

a2b2

点重合，。的中心与C2的顶点重合，过尸且与x轴垂直的直线交。于A,B两点,交

C2于C,D两点,且|8|=如同.

(1)求C1的离心率；

(2)设M是Ci与C2的公共点.若|MQ=5,求Cl与C2的标准方程.

%2y2J15

33.(2020•新课标III)已知椭圆C：—+--=1(0</??<5)的离心率为--，A,5分别

25m24

为C的左、右顶点.

(1)求。的方程；

(2)若点P在。上，点Q在直线工=6上，且14Pl=|BQ|,BPLBQ,求△APQ的面积.

x2

34.(2020•新课标I)已知A,B分别为椭圆E：—+/=1(«>1)的左、右顶点，G为E

的上顶点，AG'GB=8.P为直线x=6上的动点，附与E的另一交点为C,PB与E的

另一交点为D.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线C。过定点.

35.(2020•上海)已知抛物线尸=》上的动点M(xo,和)，过M分别作两条直线交抛物线

于产、。两点，交直线％=/于4、8两点.

(1)若点M纵坐标为迎，求”与焦点的距离；

(2)若f=-1,P(1,1),Q(1,-1),求证：y/CyB为常数；

(3)是否存在f,使得/UBUI且yp・yQ为常数？若存在，求出，的所有可能值，若不

存在，请说明理由.

X2V2

36.(2019•新课标H)已知为，尸2是椭圆C：—+—=1(«>/?>0)的两个焦点，P为C

a2b2

上的点，。为坐标原点.

(1)若放为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P,使得PFIJ_PF2,且△尸1PF2的面积等于16,求6的值和a的取值

范围.

37.(2019•全国)已知点Ai(-2,0),A2(2,0),动点P满足Rh与以2的斜率之积等

于一记尸的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设过坐标原点的直线/与C交于M,N两点，且四边形M4M12的面积为2位，求

/的方程.

38.(2019•江苏)如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖

上有桥ABCAB是圆O的直径).规划在公路/上选两个点P,Q,并修建两段直线型道

路PB,QA,规划要求：线段尸2,QA上的所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.已

知点A,8到直线/的距离分别为AC和8。(C,0为垂足)，测得AB=10,AC=6,BD

=12(单位：百米).

(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在。处？并说明理由；

(3)在规划要求下，若道路P8和QA的长度均为“(单位：百米)，求当d最小时，尸、

Q两点间的距离.

x2y2

39.(2019•上海)已知椭圆石+7=1,八放为左、右焦点，直线,过放交椭圆于A,B

两点.

（1）若直线/垂直于x轴，求|AB|；

（2）当/A4B=90°时，A在x轴上方时，求A、8的坐标；

（3）若直线AF｝交y轴于M,直线BF1交y轴于N,是否存在直线I,使得

SAFp4B=SA&MN，若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

X2V2

40.（2019•天津）设椭圆+77=1（a>b>0）的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已

a2b2

知次10Al=2|。8|（。为原点）.

（I）求椭圆的离心率；

3

（II）设经过点尸且斜率为一的直线/与椭圆在无轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和

4

直线/相切，圆心C在直线x=4上，且OC〃4P.求椭圆的方程.

x2y2

41.（2019•天津）设椭圆二++=1（。>6>0）的左焦点为尸，上顶点为用已知椭圆的

a2b2

短轴长为4,离心率为弓.

（I）求椭圆的方程；

（II）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线P8与x轴的交点，点

N在y轴的负半轴上.若|ON=|OQ（O为原点），且OP_LMM求直线P8的斜率.

丫21

42.（2019•新课标III）已知曲线C：）=号，力为直线产一段上的动点，过。作C的两条切

线，切点分别为A,B.

（1）证明：直线A8过定点.

（2）若以E（0,I）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的

方程.

43.（2019•浙江）如图，己知点尸（1,0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直

线交抛物线于A,2两点，点C在抛物线上，使得AABC的重心G在x轴上，直线AC

交x轴于点Q,且。在点尸的右侧.记△AFG,Z\CQG的面积分别为Si,52.

（I）求p的值及抛物线的准线方程；

（ID求3■的最小值及此时点G的坐标.

0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线4M与8M

的斜率之积为号.记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,。两点，点P在第一象限，PE_Lx轴，垂足为E,连

结QE并延长交C于点G.

(/)证明：△PQG是直角三角形；

(ii)求△PQG面积的最大值.

45.(2019•北京)已知抛物线C：?=-2py经过点(2,-1).

(I)求抛物线C的方程及其准线方程；

(II)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,N,

直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的

两个定点.

x2y2

46.(2019•北京)已知椭圆C：方+匕=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).

a2b2

(I)求椭圆C的方程；

(II)设。为原点，直线/：y=kx+t(/W±1)与椭圆C交于两个不同点P、Q,直线

AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若10M，1。川=2,求证：直线/经过定点.

47.(2019•江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：—+^-=1(a>h>0)的焦

点为乃(-1,0),F2(1,0).过尸2作x轴的垂线/,在x轴的上方，/与圆尸2：(x-1)

2+)2=4/交于点A,与椭圆C交于点。.连结AFi并延长交圆尸2于点B,连结8尸2交椭

圆C于点E,连结DFi.已知DF\=

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求点E的坐标.

21

48.(2019•新课标Ill)已知曲线C：尸号r，。为直线尸一壮的动点，过。作C的两条切

线，切点分别为A,B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形

AOBE的面积.

49.(2019•新课标I)已知点A,8关于坐标原点O对称，|4B|=4,G>M过点A,B且与直

线x+2=0相切.

(1)若A在直线x+y=0上，求O"的半径；

(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由.

3

50.(2019•新课标I)已知抛物线C：)2=3x的焦点为F,斜率为]的直线/与C的交点为A,

B,与x轴的交点为P.

(1)若|Af]+|5网=4,求/的方程；

(2)若前=3病，求|AB|.

51.(2019•上海)已知抛物线方程/=4为F为焦点、,P为抛物线准线上一点，。为线段

P厂与抛物线的交点，定义：d(P)=后金.

(1)当P(—l,泗求d(P)；

(2)证明：存在常数小使得2d(P)=\PF\+ci；

(3)P1,尸2,P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|=|P2P3],判断d(Pl)+d(P3)与2d(P2)

的关系.

XV

52.(2018•全国)双曲线石一7=1,Q、放为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的

圆.

(1)求C的轨迹方程；

(2)动点P在C上运动，M满足尸》=2诂，求例的轨迹方程.

x2y2

53.(2018•新课标HD已知斜率为上的直线/与椭圆C：一+二=1交于A,B两点，线段

43

A8的中点为M(l,w)(m>0).

1

(1)证明：k<-今

(2)设尸为C的右焦点，P为C上一点，且而+总1+品=G.证明：|总1|,|届|,|藁|成

等差数列，并求该数列的公差.

x2y2

54.(2018•新课标m)已知斜率为4的直线/与椭圆C：一+二=1交于A,8两点，线段

43

4B的中点为M(1,w)(m>0).

(1)证明：kV-今

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且6+品+而=0,证明：2\FP\^\FA\+\FB\.

%2

55.(2018•新课标I)设椭圆C：3+)?=1的右焦点为尸，过尸的直线/与C交于A,B

两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA—ZOMB.

56.(2018•新课标II)设抛物线C：)2=4x的焦点为凡过尸且斜率为左">0)的直线/

与C交于4,8两点，\AB\=S.

(1)求/的方程；

(2)求过点A,8且与C的准线相切的圆的方程.

57.(2018•新课标I)设抛物线C：/二级，点A(2,0),8(-2,0),过点A的直线/

与C交于M,N两点.

(1)当/与x轴垂直时，求直线8M的方程：

(2)证明：NABM=NABN.

58.(2018•浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：丁=以上存在

不同的两点A,B满足力，PB的中点均在C上.

(I)设A8中点为证明：PM垂直于)，轴；

(II)若尸是半椭圆了+1=1(x<0)上的动点，求△以B面积的取值范围.

?4

xV

59.（2018•天津）设椭圆=1的左焦点为R上顶点为反已知椭圆的

离心率为/，点A的坐标为（6,0）,S.\FB\-\AB\=6^2.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线/：y=kjc（k>0）与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直线AB交于点Q.若

=¥^sinNAOQ（O为原点），求火的值.

60.（2018•北京）已知抛物线C：«=2px经过点尸（1,2）,过点。（0,1）的直线/与抛

物线C有两个不同的交点A,B,且直线必交），轴于M,直线尸8交y轴于N.

（I）求直线/的斜率的取值范围；

—>—>—>—>1]

（II）设。为原点，QM=XQO,QN=nQ0,求证：；+一为定值.

2018-2022高考真题圆锥曲线解答题全集（学生版解析版）

参考答案与试题解析

一.解答题（共60小题）

1.（2022•全国）已知椭圆C的左、右焦点分别为Fi（-c,0）,F2（C.0）,直线y=挚

交C于4,B两点，|AB|=2V7,四边形AF1BF2的面积为4V1

（1）求C；

（2）求C的方程.

【解答】解：（1）由对称性知，\OA\=^AB\=V7,

'_2同

不妨取点4在第一象限，设A（x,y）,贝=,解得x=g,y=2,

\OA\=J/+y2—小

因为四边形AF1BF2的面枳为4V3,

所以2x•国F2|=2・2c=46,

所以c=V3.

、x2y2

(2)设椭圆C的方程为/■+加=1

由(1)知，A(V3,2),

34

代入椭圆方程有W=1，

a2b2

又c=y/3=y/a2—b2,

所以cP=9,廿=6,

、x2y2

故椭圆C的方程为大+—=1.

96

x2y2

2.（2022•天津）椭圆二++=1（4>8>0）的右焦点为尸、右顶点为A,上顶点为B,且

a2b2

）两足77二7=二"・

\AB\2

（1）求椭圆的离心率e；

（2）直线/与椭圆有唯一公共点M,与），轴相交于N（N异于M）.记。为坐标原点,

若QM=QM，且△OMN的面积为B，求椭圆的标准方程.

..1阴_a_V3a?_3

【解答】解:

'\AB\—Va2+fe2-2a2+b24'

22

.\a=3bf

.,.02=3(a2-c2),2a2=3c2,

*J滔-也一丁

x2y2

(2)由(1)可知椭圆为一+--2=1，

3

即/+3)2=〃2,

设直线/：y=kx+m,联立/+3)2=〃2,消去),可得：

(3F+1)/+6左雁什(3病一〃2)=o,又直线/与椭圆只有一个公共点,

，△=36必〃?2-4(39+1)(3m2-a}=0,.\3m1=a1(3Z?+1),

—3km—3k2mm

又%M­'-y=kx+m+m=-n—,

3必+TMM3/C2+13/cJl

又|OM=|CW],.-.(r^l)2+(^L)2=62,

3k+13k+1

:.T

解得/

3

「wt11-3km

又XOMN的面积为；•\ON\-\xM\="-|m|•|

zz3y十JL

.18/J.，A

•-----=73,・・〃r=4,

22

22

又左=坐，3n^=aOX^+l),a=6f序=2,

x2y2

・,・椭圆的标准方程为+.=L

62

%2y2

3.(2022•上海)设有椭圆方程「：—4--=1(a>b>0),直线/：x+y-4V2=0,「下端

点为A,M在/上，左、右焦点分别为Fi(-V2,0)、Fi(V2,0).

(1)a=2,AM中点在x轴上，求点M的坐标；

3

(2)直线/与y轴交于B,直线AM经过右焦点尸2,在△A8M中有一内角余弦值为g,

求b；

(3)在椭圆「上存在一点P到/距离为d,使|PFi|+|Pf2|+"=6,随a的变化，求4的最

小值.

【解答】解：(1)由题意可得a=2,b=c=y[2,

r：1+-i,a(o,—V^),

的中点在x轴上，

的纵坐标为VL

代入x+y-4夜=0得M(3VLV2).

(2)由直线方程可知8(0,4^2),

Q44

①若cosNBAM=U，则tcm/BAM=可即tan/OAFz=可,

OO

：.OA=^OF2=^y[2,

:・b=V2.

QA

②若cos/BMA=耳,贝Ijsin/BMA=耳,

ZMBA=与，/.cos^ZMBA+^AMB)=芋'|一孝x&=一磊

F5

:.cosNBAM=卷，・・・tanN8AM=7.

6/7

即tan/OA尸2=7,：.0A=%：.b=%

综上力=，行或

(3)设P(acos0,加in。),

由点到直线距离公式可得3^3=6』，

acos0+bsin0—4yf2

很明显椭圆在直线的左下方,质6—2Q,

即4夜—y/a24-b2sin(0+9)=6y/2—2V2a,

・.・。2=从+2,・・・/2Q2-2sin(。+口)=2y[2a-2VL

据此可得W—+0)=2Q—2,|sin(8+(p)|=-214

Ja2-1

整理可得(Q-1)(3〃-5)WO,即IWQW

从而d=6—2a>6—2x^=^,

即d的最小值为*

%2

4.（2022•浙江）如图，已知楠圆一+y2=l.设A,8是椭圆上异于P（0,1）的两点，且

12

点。（0,在线段AB上，直线B4,P8分别交直线），=一1+3于C,。两点.

（I）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

【解答】解：(I)设椭圆上任意一点M(%,y),则|PM|2=W+<y-1)2=12-12/+/

-2y+l=-11/-2y+\3,>€[-1,1J,

而函数z=-lly?-2y+13的对称轴为y=—白G[—1/1],则其最大值为-11X(—j^)2+

1144

2xYj+13=]],

••\PM\max=J卑=号誓，即点P到椭圆上点的距离的最大值为斗?；

(II)设直线A3：y=kx+*,%),8(久2,、2)，

y=kx+5

2”,消去y并整理可得，(12必+1)/+12履-9=0,

{务+/=1

由韦达定理可得，Xi+X2=--警一，%1%2=-----1>

12F+112kz+l

2

...r(~一——L12k366jl6fc+l

—相="石+幻2-422=(一^^)2+7^=

设C(A3,>3),D(%4,泗)，直线AP：y=——-%4-1,直线8P：y=­―-x+1,

X1x2

(y=~―-x4-1(y=-—-x+1

联立，彳以及《彳,

ly=-2^+3卜=一尹+3

可得为二(2遥11一1，%4=(2fc44)x2-r

1

•••由弦长公式可得卬=J1+(-刎叼-x4|=fl3袋「1-(2k柒2-1

_厂X1-X2厂%1-%2

[(2/c+l)%i—1][(2k+1)%2-if1(24+1)2汽1%2-(2Zc+l)(%i+%2)+/

3V5J16/c2+l6V5J16/C2+1-J5+1J(4/cx|+lxl)2__

r13/c+l1--5|3FH|--5-X|3FHL|一丁

当且仅当时等号成立，

10

...|。。|的最小值为誓.

,x2y2

5.(2022•新局考I)已知点A(2,1)在双曲线C：--^―=1(«>1)上，直线/交

azaz-l

C于P,。两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

⑴求/的斜率：

(2)若tan/B4Q=2Vl,求△雨。的面积.

【解答】解：(1)将点4代入双曲线方程得之一"一=1，

azaz-l

x2

化简得屋-4『+4=0,，/二？，故双曲线方程为了一、2=1,

由题显然直线/的斜率存在，设/：y=kx+mf设P(xi,y\)Q(%2,”)，

则联立双曲线得：(29-1)7+4切优+2m2+2=0,

如I4km27n2+2

故％]+x=-?后],工1%2=

22k2-1'

丫]-1丫2.1_1kQ+m-1_0

^AP+^AQ

%】一2%2—2%]—2%2—2

化简得：2fca%2+(m-\-2k)(xi+%2)-4(m-1)=0,

2fc(2m2+2)47czn

故(m-1-2/0(--)-4(m-1)=0,

2k2-l+

即(Hl)2k-1)=0,而直线/不过A点，故％=-1；

(2)设直线4P的倾斜角为a,由tcm/PAQ=2企,

2“tan―ZP4Q

2=20,得tan=孝

1-tan2“4Q

2

由2a+N%Q=e：.a=.一答夕

得k/p=tana=V2,BP——=V^，

%i-2

联立M=6及?_.=］得罕，

代入直线/得m=今故

2068

%1+%2=$，xlx2=可

而|HP