2025年中考数学冲刺《函数选填压轴题》含答案解析

试题试题抢分秘籍14函数选填压轴题（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）目录【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）【题型一】二次函数的图象和性质【题型二】一次函数与反比例函数【题型三】反比例函数与特殊四边形【题型四】几何图形中动点之函数问题【误区点拨】点拨常见的易错点易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误：函数选填压轴题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。1．从考点频率看，一次函数常考图象性质、实际应用；反比例函数侧重k的几何意义、与几何综合；二次函数聚焦图象性质、最值、与方程结合，三者均高频，二次函数更甚，常为压轴核心。2．从题型角度看，多为含参讨论、函数与几何动态结合题，如交点存在性、图形面积最值，需数形结合与分类讨论，选项/空设计具迷惑性，考验综合分析能力。：在中考数学备考中，熟背函数基础性质与图象，针对综合题分类型训练（如含参函数、函数几何综合），强化数形结合思维，总结解题模型（如设参表示变量、利用几何性质列方程），提升计算准确性与逻辑严密性。【题型一】二次函数的图象和性质【例1】（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：x…0…y…4004…下列说法正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大C．当时， D．二次函数的最小值是紧抓图象三要素（开口、对称轴、顶点），结合参数符号（a、b、c）分析趋势。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位关键点，借助判别式判断交点情况。善用对称性与最值特征，对含参问题通过临界值或代入选项验证，结合排除法缩小范围，数形结合直观破题。【例2】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论：①无论取何值，总是负数；②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小．下列说法正确的是（

）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确【变式1】（2025·陕西渭南·一模）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下：…………四位同学根据表格得到结论如下：甲：该函数图象的对称轴为直线；乙：当时，随的增大而减小；丙：；丁：图象开口向下．针对四人的说法，其中不正确的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【变式2】（2025·湖南·二模）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（

）A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则【题型二】一次函数与反比例函数【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3．（1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围；（2）用含k的代数式表示的面积：．紧抓一次函数斜率（k）与截距（b）的几何意义，通过图象趋势分析增减性；反比例函数聚焦k的几何意义（面积不变性），联立方程转化为代数问题。遇动点或面积题，设参表示坐标，结合几何性质（如相似、面积公式）列等式，选项代入或临界值验证快速破题。【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函数的图象与直线交于点，点在线段上，过点作直线轴，直线与交于点，，则点的坐标为．【变式1】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为．【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为．【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点．（1）．（2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为．【题型三】反比例函数与特殊四边形【例1】（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有个．抓反比例函数点坐标特征（设为(a,k/a)），利用特殊四边形性质（如平行四边形对角线中点重合、菱形邻边相等）建立代数关系。通过中点坐标公式、距离公式联立方程，结合k的几何意义（面积）列等式，对动点问题分类讨论，代入选项或利用对称性简化运算。【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为．【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为．【变式2】（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点．（1）；（2）点的横坐标为．【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点.（1）若点是的中点，则；（2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是.【变式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸绕着原点旋转，当旋转至如图所示位置时，点恰好落在反比例函数的图象上，边与反比例函数图象交于点，边与轴交于点，且．（1）的值为；（2）的值为．【变式5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点．（1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为．（2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为．【题型四】几何图形中动点之函数问题【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，分别为边上的动点，且．设的长为的周长为，图2为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（

）A．2 B．4 C． D．设动点参数（如时间t），用几何性质（相似、勾股定理等）表示坐标，建立函数关系式（常为面积、长度关于t的表达式）。抓临界位置（起点、终点、特殊位置）确定定义域，结合图象趋势分析增减性或最值。选填题可代入特殊值验证，或利用几何直观（如对称、极值）快速排除选项，注意分类讨论动点路径分段情况。【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·甘肃金昌·一模）如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（

）A．B．C．D．【变式3】（2025·河南驻马店·一模）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【变式4】（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式5】（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为．【题型五】二次函数与其他函数综合问题【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线．（1）当时，抛物线的顶点坐标为；（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是．联立函数方程化为一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理分析坐标关系。结合二次函数图象开口、对称轴，通过特殊值（如顶点、端点）定位交点范围，对含参问题取临界值代入选项验证，数形结合快速排除错误答案，注意区间内交点存在性的分类讨论。【例2】（2025·辽宁·一模）如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为．【变式1】（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交．（1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为；（2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是．【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，，（1）抛物线的对称轴为；（2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是．【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为．易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误求反比例函数k值时，图象所在象限是符号判断的核心：1.

定象限，判符号：图象在一、三象限⇒k＞0；二、四象限⇒k＜0，勿混淆符号与象限对应关系。2.

点坐标验符号：若点在某象限，其横纵坐标同号（一、三）或异号（二、四），代入y=k/x后符号与k一致，避免忽略坐标符号直接计算。3.

含参问题需讨论：若k含参数（如k=m+1），先由象限定k范围（如k＜0），再解参数不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符号约束。易混点：误将单一象限图象当作双支，或忽略多象限点的符号矛盾，需结合图象或坐标严格推导。例1．（2025·陕西渭南·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是．变式1：（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为．变式2：（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为．变式3：（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是．易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误图像共存易错点拔：1.

符号一致性：一次函数k与b、反比例函数k、二次函数a/b/c符号需统一。如二次函数开口向上（a＞0），若一次函数过一、三象限，则k＞0，勿出现矛盾（如反比例函数k＜0却在一、三象限）。2.

特殊点验证：x=0时，一次函数截距b与二次函数c值需对应；反比例函数无原点，勿误判图像过原点。3.

对称轴与一次函数关联：二次函数对称轴x=-b/(2a)需与一次函数斜率k逻辑一致（如a＞0且对称轴在y轴左侧，则b＞0，对应一次函数若k=b，需k＞0）。4.

象限分布矛盾：反比例函数双支象限需与一次函数、二次函数最值位置匹配，避免出现“二次函数最小值在第四象限，而反比例函数在一、三象限”的冲突。例1．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（

）A．B．C．D．变式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（

）A．B．C．D．变式2：（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（

）A．B．C．D．变式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误1.开口方向定a：开口向上⇒a＞0，向下⇒a＜0，勿颠倒。2.对称轴判ab符号：对称轴x=-b/(2a)在y轴左⇒ab同号，右⇒异号，忌单独看b。3.与y轴交点定c：交点在正半轴⇒c＞0，负半轴⇒c＜0，过原点⇒c=0，勿与a混淆。4.特殊点代入易漏符号：x=1时y=a+b+c，x=-1时y=a-b+c，注意b的符号；对称轴x=1⇒b=-2a，勿算反。5.判别式与交点数错联：Δ=b²-4ac＞0⇒两交点，易漏平方或符号，多结合图像验证系数逻辑链。例1．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法：①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5变式1：（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（

）个①；②；③；④若方程两根为，则．A．1 B．2 C．3 D．4变式2：（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式3：（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（

）A． B． C． D．变式4：（2025·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4抢分秘籍14函数选填压轴题（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）目录【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）【题型一】二次函数的图象和性质【题型二】一次函数与反比例函数【题型三】反比例函数与特殊四边形【题型四】几何图形中动点之函数问题【误区点拨】点拨常见的易错点易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误：函数选填压轴题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。1．从考点频率看，一次函数常考图象性质、实际应用；反比例函数侧重k的几何意义、与几何综合；二次函数聚焦图象性质、最值、与方程结合，三者均高频，二次函数更甚，常为压轴核心。2．从题型角度看，多为含参讨论、函数与几何动态结合题，如交点存在性、图形面积最值，需数形结合与分类讨论，选项/空设计具迷惑性，考验综合分析能力。：在中考数学备考中，熟背函数基础性质与图象，针对综合题分类型训练（如含参函数、函数几何综合），强化数形结合思维，总结解题模型（如设参表示变量、利用几何性质列方程），提升计算准确性与逻辑严密性。【题型一】二次函数的图象和性质【例1】（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：x…0…y…4004…下列说法正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大C．当时， D．二次函数的最小值是【答案】C【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为．A、，抛物线开口向上，A不正确；B、，∴抛物线的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，B不正确；C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上，∴当时，，故C正确；D、，二次函数的最小值是，D不正确；故选：C．紧抓图象三要素（开口、对称轴、顶点），结合参数符号（a、b、c）分析趋势。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位关键点，借助判别式判断交点情况。善用对称性与最值特征，对含参问题通过临界值或代入选项验证，结合排除法缩小范围，数形结合直观破题。【例2】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论：①无论取何值，总是负数；②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小．下列说法正确的是（

）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确【答案】C【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案．【详解】解：，，，无论取何值，总是负数，故①正确；抛物线与交于点，当时，，即，解得：，，可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确；，随着的增大，的值减小；故③错误．故选：C．【变式1】（2025·陕西渭南·一模）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下：…………四位同学根据表格得到结论如下：甲：该函数图象的对称轴为直线；乙：当时，随的增大而减小；丙：；丁：图象开口向下．针对四人的说法，其中不正确的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可．【详解】解：将、代入得：，解得：，二次函数的解析式为，该函数图象的对称轴为直线，故甲正确；又，函数图象的对称轴为直线，二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确；当时，，即，故丙正确；故选：B．【变式2】（2025·湖南·二模）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合)【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，当时，解得：∴当时，∴设直线为，∴∴直线为设，则∴，当时，的长度随增大而减小∴的取值范围是故选：D．【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（

）A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则【答案】C【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)【分析】本题主要考查抛物线与一次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线与一次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线与一次函数的图像与性质进行判断即可．【详解】解：A．因为抛物线的顶点横坐标是1，故A错误；B．方程的解是或．当时，，故B错误；C．关于的方程在的范围内有两个整数解，即是整数，所以可以等于．所以满足条件的的值有3个．C正确；D．时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误．故选C．【题型二】一次函数与反比例函数【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3．（1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围；（2）用含k的代数式表示的面积：．【答案】或；【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式．（1）根据图象找到反比例函数在一次函数上方部分，可得答案；（2）由题意知，，，设直线的解析式为，将，代入，得直线的解析式为，分别令，即可得，，再根据三角形面积公式即可得解．【详解】解：（1）由图象可知，写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为：或；故答案为：或；（2）由题意知，，，由图象可知，，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，∴直线的解析式为，令得，，即，令得，，即，∴，，∴，故答案为：．紧抓一次函数斜率（k）与截距（b）的几何意义，通过图象趋势分析增减性；反比例函数聚焦k的几何意义（面积不变性），联立方程转化为代数问题。遇动点或面积题，设参表示坐标，结合几何性质（如相似、面积公式）列等式，选项代入或临界值验证快速破题。【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函数的图象与直线交于点，点在线段上，过点作直线轴，直线与交于点，，则点的坐标为．【答案】【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求出反比例函数解析式；设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可．【详解】解：将代入得，解得，∴反比例函数表达式为；∵点在上，∴设点，那么点，由可得，所以，解得（舍去），∴．故答案为：．【变式1】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为．【答案】【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标，求出，结合，得到，即可求出，再求出直线的解析式为，设，代入，求出m的值即可．【详解】解：∵点A的坐标为，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，设，代入，得：，即，解得或（舍去），∴，故答案为：．【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为．【答案】【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键．先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可．【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点，当时，，当时，∴，∴，∵为线段的中点，∴点，∵直线是第一象限的角平分线，且，∴直线垂直直线，∵对于，当时，，∴在直线上，∴当时，线段最小，此时点P在直线上，∵点P在反比例函数的图象上，联立与得：，解得：或，∴点，∴，，∴的最小值为．故答案为：【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点．（1）．（2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为．【答案】【知识点】y=ax²+bx+c的最值、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，准确列出二次函数解析式是关键．（1）求出点和点的坐标，利用勾股定理即可求出答案；（2）设点C的坐标为，证明四边形是矩形，得到，则，得到四边形的面积为，利用二次函数的性质即可求出答案．【详解】解：（1）当时，，解得，∴点的坐标为，联立得到，解得或，∴,∴，故答案为：（2）设点C的坐标为，∵过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，∴四边形是矩形，∴，∴，∴四边形的面积当时，四边形的面积取得最大值，故答案为：【题型三】反比例函数与特殊四边形【例1】（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有个．【答案】9【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式【分析】本题考查反比例函数与几何图形交点问题，反比例函数比例系数等．根据题意先求出，后将和均代入中即可得到和，继而得到取值范围及整数个数．【详解】解：∵正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，∴，∵反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），∴将代入中得：，将代入中得：，∴的取值范围为，其中共有9个的整数值，故答案为：9．抓反比例函数点坐标特征（设为(a,k/a)），利用特殊四边形性质（如平行四边形对角线中点重合、菱形邻边相等）建立代数关系。通过中点坐标公式、距离公式联立方程，结合k的几何意义（面积）列等式，对动点问题分类讨论，代入选项或利用对称性简化运算。【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为．【答案】【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，反比例函数的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．过作，交于，过作于，设，，由题意可知：，，，，证明，，，然后根据相似三角形的性质和解方程求出点坐标即可．【详解】解：过作，交于，过作于，设，，由题意可知：，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴（负值已舍去）∴，，∴的坐标为，∴，∴经过的双曲线的解析式就是，故答案为：．【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为．【答案】/【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系的特点，待定系数法反比例函数解析式，勾股定理等知识的综合运用，掌握菱形的性质，勾股定理得到，待定系数法的运用是解题的关键．根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示，可得，，即，则，运用待定系数法即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，在中，，∴，∵对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，即，解得，（负值舍去），∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数解析式为，故答案为：．【变式2】（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点．（1）；（2）点的横坐标为．【答案】【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、中点坐标【分析】（1）由，可得，根据，可得，求出，再根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解；（2）根据对称的性质求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后联立直线和反比例函数的解析式，即可求解．【详解】解：（1），，在中，，，，点是的中点，，即，，（2）点关于的对称点为点，，，设直线的解析式为，将、代入得：，解得：，直线的解析式为，由（1）可得反比例函数的解析式为，联立，解得：（负值已舍去），点的横坐标为；故答案为：；．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，对称的性质，解题的关键是掌握相关知识．【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点.（1）若点是的中点，则；（2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是.【答案】18【知识点】反比例函数与几何综合、最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键．（1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可；（2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点，∴点的坐标为，∴，即；（2）∵正方形的边长是6，∴，，∴，，∵的面积为16，∴，∴或（舍去），∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，∵，∴，又，∴，即的最小值为.【变式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸绕着原点旋转，当旋转至如图所示位置时，点恰好落在反比例函数的图象上，边与反比例函数图象交于点，边与轴交于点，且．（1）的值为；（2）的值为．【答案】【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查了矩形与反比例函数图像的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；分别过点作轴的垂线，垂足分别为，得出，根据相似三角形的性质以及点的坐标得出点的坐标，进而求得；延长交轴于点，过点作于点，求得直线的解析式，进而求得点的坐标，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，∴∴∴∵∴又∵，则∴∴∴∴；则反比例函数解析式为如图，延长交轴于点，过点作于点，∵∴，∴又∵四边形是矩形∴，，∴∴∴设直线的解析式为，代入，∴解得：∴直线的解析式为，联立解得：或（舍去）∴∴，∵∴∴故答案为：，．【变式5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点．（1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为．（2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为．【答案】【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）由点的坐标为可得，，设点的纵坐标为，则点的横坐标为，得到，求出值即可求解；（2）设，得以得到点的坐标为，然后可以得到点的坐标为，然后得到点的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题．【详解】解：（1）点的坐标为，，是的中点，，设点的纵坐标为，则点的横坐标为，，解得：，（舍去），，点的坐标为，故答案为：；（2）设，，，，都是等腰直角三角形，点的坐标为，是的中点，点的坐标为，，阴影部分的面积等于，，，点的坐标为，，，，故答案为：．【题型四】几何图形中动点之函数问题【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，分别为边上的动点，且．设的长为的周长为，图2为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【知识点】动点问题的函数图象、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半【分析】本题考查的是动点形成的函数图象及全等三角形判定与性质，勾股定理，数形结合解决问题是解题关键，连接，先证明，得出，设，则，根据勾股定理求出，得出表达式，再根据图象代入求出a值，即可求出结论．【详解】解：连接，等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，，，，，即，，，设，则，在中，，的周长为，由图2知，当时，，，解得：，，故选：C．设动点参数（如时间t），用几何性质（相似、勾股定理等）表示坐标，建立函数关系式（常为面积、长度关于t的表达式）。抓临界位置（起点、终点、特殊位置）确定定义域，结合图象趋势分析增减性或最值。选填题可代入特殊值验证，或利用几何直观（如对称、极值）快速排除选项，注意分类讨论动点路径分段情况。【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】动点问题的函数图象、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，根据题意可得，的最大面积是，此时点与点重合，根据三角形的面积即可求出，进而求出的长，即可解答，根据图象得到的最大面积是是解题的关键．【详解】解：根据题意可知：的最大面积是，此时点与点重合，如图，在中，，设，则，，，解得（负值舍去），，，，，故选：C．【变式1】（2025·甘肃金昌·一模）如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．连接，过点作于，根据函数图象可知：，，，所以，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答．【详解】解：连接，过点作于，如图所示：由图象可知，，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，故选：D．【变式2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（

）A．B．C．D．【答案】D【知识点】动点问题的函数图象【分析】本题考查了动点问题函数图象，理清点P在各边时长度的变化情况是解题的关键．分别判断出当点P在线段上运动时，的长逐渐变大，点P在弧线上时，点P在线段上时，点P在线段上时，的变化情况，然后可得答案．【详解】解：当点P在线段上运动时，的长逐渐变大；点P在弧线上时，的长不变；当点P在线段上运动时，的长逐渐变小；所以D选项的图象符合．故选：D．【变式3】（2025·河南驻马店·一模）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【知识点】动点问题的函数图象、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值【分析】根据函数图象得到，结合矩形性质和三角形面积公式得到，利用勾股定理和函数图象得到，即可判断①；结合余弦定义，即可判断②，当时，设，利用待定系数法求出二次函数解析式，即可判断③，相似三角形判定定理证明，即可解题．【详解】解：①由图（2）知，当时，，由题知，当时，，四边形为矩形，，与间距为，，，，故，即①正确；②，故②错误；③当时，设，过点，，解得，，故③错误；④当秒时，点在上，此时，则，，，，，故④正确；综上所述，正确的结论是①④，故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，待定系数法求二次函数，相似三角形判定，锐角三角函数，矩形性质，解题的关键在于从函数图象获取需要的信息．【变式4】（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作交于点，根据图象可得，当点运动到点时，面积最大，为，求出，根据当点运动到点时，停止运动，此时面积为，求出，再根据，即可．【详解】解：设菱形的边长为：，过点作交于点，由图可得，当点运动到点时，面积最大，为，∴，解得：；当点运动到点时，停止运动，此时面积为，∴，∴，∴，∴．故选：D．【变式5】（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为．【答案】5【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．【详解】解：，，．，．，．，，，设，则，整理得，由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，抛物线过点，，解得，，，．故答案为∶5．【题型五】二次函数与其他函数综合问题【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线．（1）当时，抛物线的顶点坐标为；（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是．【答案】或【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】（1）配方成顶点式求解即可；（2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）当时，∴抛物线的顶点坐标为故答案为：；（2）∵抛物线∴对称轴为直线当时，抛物线开口向上∴时，y随x的增大而增大∵点，为抛物线上两点，若，总有，∴∴；当时，抛物线开口向下∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；∵点，为抛物线上两点，若，总有，∴∴综上所述，的取值范围是或．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．联立函数方程化为一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理分析坐标关系。结合二次函数图象开口、对称轴，通过特殊值（如顶点、端点）定位交点范围，对含参问题取临界值代入选项验证，数形结合快速排除错误答案，注意区间内交点存在性的分类讨论。【例2】（2025·辽宁·一模）如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为．【答案】/【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解．【详解】解：设抛物线的解析式为，∵抛物线经过坐标原点O，∴，∴，∴抛物线的解析式为，∵点A的纵坐标是，∴，∴，，∴，，∴，，∴矩形的周长，故答案为：．【变式1】（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交．（1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为；（2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是．【答案】【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，确定m的范围是本题的难点．（1）将抛物线的解析式化为两根式，求得抛物线与轴的交点，其中一个是定点，不随的变化而变化；（2）根据题意得，即，求得在抛物线上，且，判断出，得，求出的取值范围．【详解】解：①，∴抛物线与轴的交点坐标为，∴无论取何值，抛物线总与轴交于，故答案为：；②∵抛物线与轴的交点坐标为，且对称轴与轴正半轴相交．∴，∴，∵，∴抛物线开口向下，∵在该抛物线上，且，∴，∵，∴，∵在抛物线上，且，∴，∴，∴，故答案为：．【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，，（1）抛物线的对称轴为；（2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是．【答案】直线【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴【分析】本题考查二次函数的图象和性质：（1）根据对称性求出对称轴即可；（2）根据对称轴求出值，求出和时的函数值，根据，进行求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，∴抛物线的对称轴为直线；故答案为：；（2）∵对称轴为直线，∴，∴，∴，∵点，在抛物线上，∴，∵，∴，解得：；故答案为：．【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为．【答案】或3/3或【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：二次函数，则设，所以，解得，所以，（Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为4，所以，解得，符合题设；（Ⅱ）当时，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为4，所以，解得，符合题设；综上，的值为或3．故答案为：或3．易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误求反比例函数k值时，图象所在象限是符号判断的核心：1.

定象限，判符号：图象在一、三象限⇒k＞0；二、四象限⇒k＜0，勿混淆符号与象限对应关系。2.

点坐标验符号：若点在某象限，其横纵坐标同号（一、三）或异号（二、四），代入y=k/x后符号与k一致，避免忽略坐标符号直接计算。3.

含参问题需讨论：若k含参数（如k=m+1），先由象限定k范围（如k＜0），再解参数不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符号约束。易混点：误将单一象限图象当作双支，或忽略多象限点的符号矛盾，需结合图象或坐标严格推导。例1．（2025·陕西渭南·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是．【答案】4【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．本题设，得到，以为底边的高，然后根据的面积为2，即可求解；【详解】解：∵点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，∴设，∴中，以为底边的高，∴，∴，故答案为：4；变式1：（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为．【答案】【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．过点作于点，结合题意可得，通过平行四边形的面积可得，因为点A的坐标为，进而得出点的坐标，代入反比例图像即可得解．【详解】解：过点作于点，，则，的面积为6，，即，，，点A的坐标为，点的坐标为即，把代入反比例函数的图象，可得，，．故答案为：．变式2：（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为．【答案】【知识点】反比例函数与几何综合、三线合一、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，由是等边三角形，，推出，，证明，得到，求出，即可求解．【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．变式3：（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是．【答案】【知识点】反比例函数与几何综合【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式．设，，则，，根据，得到，再由点在反比例函数的图象上，即可解答．【详解】解：设，，∵，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴．故答案为：易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误图像共存易错点拔：1.

符号一致性：一次函数k与b、反比例函数k、二次函数a/b/c符号需统一。如二次函数开口向上（a＞0），若一次函数过一、三象限，则k＞0，勿出现矛盾（如反比例函数k＜0却在一、三象限）。2.

特殊点验证：x=0时，一次函数截距b与二次函数c值需对应；反比例函数无原点，勿误判图像过原点。3.

对称轴与一次函数关联：二次函数对称轴x=-b/(2a)需与一次函数斜率k逻辑一致（如a＞0且对称轴在y轴左侧，则b＞0，对应一次函数若k=b，需k＞0）。4.

象限分布矛盾：反比例函数双支象限需与一次函数、二次函数最值位置匹配，避免出现“二次函数最小值在第四象限，而反比例函数在一、三象限”的冲突。例1．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】D【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意；B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意；C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意；D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意．故选：D．变式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图像，熟练掌握一次函数与二次函数的图像特点是解题关键．分两种情况：①当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上；②当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，由此即可得．【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上，当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．变式2：（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解．【详解】解：二次函数，对称轴直线为，当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限；当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限；只有B选项符合题意，故选：B．变式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、反比例函数、二次函数图象综合判断【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征．先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项．【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距，当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限，，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交．综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确，故选：A．易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误1.开口方向定a：开口向上⇒a＞0，向下⇒a＜0，勿颠倒。2.对称轴判ab符号：对称轴x=-b/(2a)在y轴左⇒ab同号，右⇒异号，忌单独看b。3.与y轴交点定c：交点在正半轴⇒c＞0，负半