1.1.2余弦定理名校

余弦定理教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用三维目的一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表达形式及证明余弦定理的向量办法;2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;3.能运用计算器进行运算.二、过程与办法1.运用向量的数量积推出余弦定理及其推论;2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下解决解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．复习回想正弦定理：能够解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。变型：CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞

a2+b2c2

＜

a2+b2看一看想一想直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2=

a2+b2是寻找解题思路的最佳途径c=?AcbCBa∣AB∣c2=∣AB∣2=??ABABAB=?AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想证明：向量法若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：bcABCa证明同理可证：

格式二：逆用公式证明bAacCB证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：xy解析法证明ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc

余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：固然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完毕。D余弦定理

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字阐明吗？CBAabc三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳变一变乐在其中CBAabc

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=变形归纳想一想：余弦定理在直角三角形中与否仍然成立？

cosC=

a2+b2-c2

2abC=90°

a2+b2=c2

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2cacosA=—cosB=—acbc问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的构造特性如何？（1）轮换对称，简洁优美;剖析定理（2）每个等式中有同一种三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析思考：已知两边及一边的对角时，我们懂得可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.（3）已知a、b、c（三边），能够求什么？剖析定理剖析剖析定理（4）能否把式子转化为角的关系式？分析：剖析（1）已知三边求三个角；问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角.剖析定理剖析P7例3、例4会用才是真的掌握了余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理运用练一练：P8练习1，2

1、已知△ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1则最大内角为∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°变一变：若已知三边的比是

:2:1,又怎么求？再练：

2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,鉴定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面积公式即可。2.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结向量法、解析法、几何法（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角.5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理合用于任何三角形作业布置

P113.4课后记课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的鉴定办法，这个三角形是大小、形状完全拟定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识构造．设立这样的问题，是为了更加好地加强数学思想办法的教学．例如对于余弦定理的证明，惯用的办法是借助于三角的办法，需要对三角形进行讨论，办法不够简洁，通过向量知识予以证明,引发学生对向量知识的学习爱好,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的办法，发挥了向量办法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论后来，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一种思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了普通三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一种三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果不大于第三边的平方，那么第三边所对的