第1课时正方形的性质

3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质过教材要点概览1.正方形的定义有一组邻边

,并且有一个角是

的平行四边形叫做正方形.如图所示,在▱ABCD中,若

,且

(或∠BAD=90°等),则▱ABCD是正方形.相等直角AB=BC∠ABC=90°2.正方形的性质(1)正方形的四个角都是

角,四条边

;即∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AB=BC=CD=AD;

(2)正方形的对角线相等且互相

;即AC⊥BD且OA=OB=OC=OD;

(3)正方形既是

图形,又是

图形.

直相等垂直平分轴对称中心对称精讲练新知探究探究点正方形的定义和性质例题

(教材P22T2变式)如图所示,四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形.(1)求证:△ABE≌△DCE;(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形,∴AB=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=90°,∠EBC=∠ECB=60°,∴∠ABE=∠ECD=30°.在△ABE和△DCE中,∵AB=DC,∠ABE=∠DCE,BE=CE,∴△ABE≌△DCE.(2)求∠AED的度数.方法点拨解决与正方形有关的问题时,要充分利用正方形的四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等等性质,正方形的性质是解决与线段和角的相关计算和证明的重要依据.巩固训练1.(青岛中考)如图所示,点O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为()B2.如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD的面积为

.

503正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质基础巩固练011.(2023自贡)如图所示,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是()A.(3,-3) B.(-3,3)C.(3,3) D.(-3,-3)C2.如图所示,在正方形ABCD中,E是AC上的一点,且AB=AE,则∠EBC的度数是()A.45° B.30° C.22.5° D.20°C3.(2023攀枝花)如图所示,已知正方形ABCD的边长为3,点P是对角线BD上的一点,PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,连接PC,当PE∶PF=1∶2时,PC等于()C4.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若AC=10,则EF的长是

.

55.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD,CE平分∠ACD,交BD于点E,则DE=

.

6.(2023枣庄)如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点.若△CEF的周长为32,则OF的长为

.7.如图所示,四边形ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分别为F,G.求证:BF-DG=FG.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠DAB=90°.∵BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB=∠AGD=90°.∴∠ADG+∠DAG=90°.∵∠DAG+∠BAF=90°,∴∠ADG=∠BAF.在△BAF和△ADG中,∵∠BAF=∠ADG,∠AFB=∠AGD,AB=AD.∴△BAF≌△ADG.∴BF=AG,AF=DG.∵AG=AF+FG,∴BF=AG=DG+FG.∴BF-DG=FG.能力提升练028.如图所示,正方形ABCD的边长为2,∠EAF=m°,它的两边分别交BC,CD于点E,F,G是CB延长线上一点,且始终保持BG=DF.则下列结论不一定成立的是()B9.如图所示,折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD,折痕是DM,点C落在点E处,分别延长ME,DE交AB于点F,G.若点M是BC边的中点,则FG=

cm.

10.如图所示,在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F.(1)求证:PC=PE;(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,BD是正方形ABCD的对角线,∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°.又PB=PB,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC.∵PA=PE,∴PC=PE.(2)求∠CPE的度数.(2)解:由(1)知△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E.∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=90°.素养培优练0311.如图所示,正方形ABCD的边长为4.点M,N分别是