2017-2018学年套餐之高一物理教科版版必修2讲义第二章习题课竖直面内的圆周运动

习题课竖直面内的圆周运动[学习目标]1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法.一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型[导学探究]如图1所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动.试分析：图1(1)当小球在最低点A的速度为v1时，求绳的拉力T1.(2)当小球在最高点B的速度为v2时，求绳的拉力T2.(3)小球过最高点的最小速度是多大？(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于eq\r(gL)，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件.(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A的速度应满足什么条件？答案(1)T1＝mg＋eq\f(mv\o\al(

2,1),L)(2)T2＝meq\f(v\o\al(

2,2),L)－mg(3)由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由T2＋mg＝eq\f(mv\o\al(

2,2),L)可知，当T2＝0时，v2最小，最小速度为v0＝eq\r(gL).(4)当v<eq\r(gL)时，所需的向心力F＝eq\f(mv2,L)<mg.此时，重力mg的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了.绳拉球过最高点的条件是：v≥eq\r(gL).(5)与绳拉球模型相似，在最高点A时，有N＋mg＝meq\f(v2,r)，当N＝0时，v最小为v0＝eq\r(gr)，当v＝v0时，小球刚好能够通过最高点，当v<v0时，球偏离轨道，不能过最高点.当v>v0时，小球能够通过最高点.[知识深化]轻绳模型(如图2所示)的最高点问题图21.绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).2.在最高点的动力学方程T＋mg＝meq\f(v2,r).3.在最高点的临界条件T＝0，此时mg＝meq\f(v2,r)，则v＝eq\r(gr).v＝eq\r(gr)时，拉力或压力为零.v>eq\r(gr)时，小球受向下的拉力或压力.v<eq\r(gr)时，小球不能达到最高点.即轻绳模型的临界速度为v临＝eq\r(gr).例1一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm.(g取10m/s2)图3(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(小数点后保留两位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力大小.答案(1)2.24m/s(2)4N解析(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.有：mg＝meq\f(v\o\al(

2,0),l)，则所求的最小速率为：v0＝eq\r(gl)≈2.24m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为N，则由牛顿第二定律有：N＋mg＝meq\f(v2,l)，代入数据可得：N＝4N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力：N′＝4N.针对训练(多选)如图4所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()图4A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为eq\r(gl)D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝eq\r(gl)，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确.二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型[导学探究]长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动.(如图5)图5(1)当小球在最高点B的速度为v1时，求杆对球的作用力.(2)杆拉球过最高点的最小速度为多少？(3)试分析光滑圆管竖直轨道中，小球过最高点时受管壁的作用力与速度的关系？答案(1)设杆对它的作用力向下，则有mg＋F＝eq\f(mv\o\al(

2,1),L)则F＝eq\f(mv\o\al(

2,1),L)－mg当v1＝eq\r(gL)时，F＝0当v1>eq\r(gL)时，F>0，表示球受杆的作用力方向向下，表现为拉力.当v1<eq\r(gL)时，F<0，表示球受杆的作用力方向向上，表现为支持力.(2)由(1)中的分析可知，杆拉球过最高点的最小速度为零.(3)设管壁对球的作用力向下，为N.则有N＋mg＝eq\f(mv2,R)，即N＝eq\f(mv2,R)－mg当v＝eq\r(gR)时，N＝0，当v>eq\r(gR)时，N>0，即上管壁对球有向下的压力；当0<v<eq\r(gR)时，N<0，即N竖直向上，下管壁对球有向上的支持力.[知识深化]细杆和管形轨道模型1.最高点的最小速度如图6所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力N＝mg.图62.小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况(1)v>eq\r(Rg)，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v增大而增大.(2)v＝eq\r(Rg)，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0.(3)0<v<eq\r(Rg)，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小.3.小球能过最高点的条件：v＝0.例2长L＝0.5m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图7所示.在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝10m/s2).图7(1)A的速率为1m/s；(2)A的速率为4m/s.答案(1)16N(2)44N解析以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mg＋F＝meq\f(v2,L).(1)代入数据v1＝1m/s，可得F＝m(eq\f(v\o\al(

2,1),L)－g)＝2×(eq\f(12,0.5)－10)N＝－16N，即A受到杆的支持力为16N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16N.(2)代入数据v2＝4m/s，可得F′＝m(eq\f(v\o\al(

2,2),L)－g)＝2×(eq\f(42,0.5)－10)N＝44N，即A受到杆的拉力为44N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44N.例3(多选)如图8所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则()图8A.v的最小值为eq\r(gL)B.v若增大，球所需的向心力也增大C.当v由eq\r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D.当v由eq\r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案BD解析由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有F＝meq\f(v2,r)，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝eq\r(gL)时，圆管受力为零，故v由eq\r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由eq\r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确.故选B、D.1.(竖直面内的轻绳模型)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g＝10m/s2)()图9A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N答案B解析水流星在最高点的临界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.2.(竖直面内的圆环模型)(多选)如图10所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是()图10A.小球对圆环的压力大小等于mgB.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C.小球的线速度大小等于eq\r(gR)D.小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mg＝meq\f(v2,R)＝ma，即v＝eq\r(gR)，a＝g，选项B、C、D正确.3.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图11所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()图11A.小球通过最高点时的最小速度是eq\r(Rg)B.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确.4.(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0.2kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g＝10m/s2)求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s时，球对杆的作用力.答案(1)3m/s(2)6N，方向竖直向上1.5N，方向竖直向下解析(1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝meq\f(v\o\al(

2,0),R)，解得v0＝3m/s.(2)v1＞v0，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝meq\f(v\o\al(

2,1),R)，由牛顿第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6N，方向竖直向上.v2＜v0，由牛顿第二定律得：mg－F2＝meq\f(v\o\al(

2,2),R)，由牛顿第三定律得：F2′＝F2，解得：F2′＝1.5N，方向竖直向下.课时作业一、选择题(1～7为单选题，8～10为多选题)1.长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点.则下列说法中正确的是()A.小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为meq\f(v\o\al(

2,0),L)C.小球过最高点时绳对小球的拉力为mgD.小球过最高点时速度大小为eq\r(gL)答案D2.秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千()A.在下摆过程中 B.在上摆过程中C.摆到最高点时 D.摆到最低点时答案D解析当秋千摆到最低点时速度最大，由F－mg＝meq\f(v2,l)知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，选项D正确.3.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()图1A.0B.eq\r(gR)C.eq\r(2gR)D.eq\r(3gR)答案C解析由题意知F＋mg＝2mg＝meq\f(v2,R)，故速度大小v＝eq\r(2gR)，C正确.4.如图2所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，即时速度为v＝eq\r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是()图2A.eq\f(1,2)mg的拉力 B.eq\f(1,2)mg的压力C.零 D.eq\f(3,2)mg的压力答案B解析当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝meq\f(v′2,R)解得：v′＝eq\r(gL)，所以eq\r(\f(1,2)gL)<eq\r(gL)时，杆对球是支持力，即mg－N＝meq\f(v2,L)，解得N＝eq\f(1,2)mg，由牛顿第三定律，球对杆是压力，故选B.5.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速率v做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对坐椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于坐椅的表面)()A.mg B.2mgC.mg＋eq\f(mv2,R) D.2eq\f(mv2,R)答案B解析在最高点有：F1＋mg＝meq\f(v2,R)，解得：F1＝meq\f(v2,R)－mg；在最低点有：F2－mg＝meq\f(v2,R)，解得：F2＝mg＋meq\f(v2,R).所以F2－F1＝2mg，B正确.6.长度为1m的轻杆OA的A端有一质量为2kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为3m/s，g取10m/s2，则此时小球将()图3A.受到18N拉力B.受到38N的支持力C.受到2N的拉力D.受到2N的支持力答案D解析设此时轻杆拉力大小为F，根据向心力公式有F＋mg＝meq\f(v2,r)，代入数值可得F＝－2N，表示小球受到2N的支持力，选项D正确.7.如图4所示，长为L的轻杆一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω.某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足()图4A.sinθ＝eq\f(ω2L,g) B.tanθ＝eq\f(ω2L,g)C.sinθ＝eq\f(g,ω2L) D.tanθ＝eq\f(g,ω2L)答案A解析对小球受力分析如图所示，杆对球的作用力和小球重力的合力一定沿杆指向O，满足mgsinθ＝mω2L，可得sinθ＝eq\f(ω2L,g)，选项A正确.8.如图5所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是()图5A.若v0＝eq\r(gR)，则小球对管内壁无压力B.若v0>eq\r(gR)，则小球对管内上壁有压力C.若0<v0<eq\r(gR)，则小球对管内下壁有压力D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力答案ABC解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq\f(v\o\al(

2,0),R)解得v0＝eq\r(gR)，因此小球对管内壁无压力，选项A正确.若v0＞eq\r(gR)，则有mg＋N＝meq\f(v\o\al(

2,0),R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确.若0＜v0＜eq\r(gR)，则有mg－N＝meq\f(v\o\al(

2,0),R)，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确.综上分析，选项D错误.9.长为l的轻杆一端固定着一个小球A，另一端可绕光滑水平轴O在竖直面内做圆周运动，如图6所示，下列叙述符合实际的是()图6A.小球在最高点的速度至少为eq\r(gl)B.小球在最高点的速度大于eq\r(gl)时，受到杆的拉力作用C.当球在直径ab下方时，一定受到杆的拉力D.当球在直径ab上方时，一定受到杆的支持力答案BC解析小球在最高点的速度最小可以为0，选项A错误；球在最高点的速度大于eq\r(gl)时，向心力大于mg，一定受到杆的拉力作用，选项B正确；当球在直径ab下方时，重力和轻杆弹力的合力提供向心力，小球一定受到杆的拉力，选项C正确；当球在直径ab上方时，可能受到杆的支持力或拉力或不受杆的作用力，选项D错误.10.2013年6月20日，航天员王亚平在运行的“天宫一号”内上了节物理课，做了如图7所示的演示实验，当小球在最低点时给其一初速度，小球能在竖直平面内绕定点O做匀速圆周运动.若把此装置带回地球表面，仅在重力场中，仍在最低点给小球相同初速度，则()图7A.小球仍能做匀速圆周运动B.小球不可能做匀速圆周运动C.小球可能做完整的圆周运动D.小球一定能做完整的圆周运动答案BC解析把此装置带回地球表面，在最低点给小球相同的初速度，小球在运动过程中，不可能做匀速圆周运动，选项A错误，B正确；若小球到达最高点的速度v≥eq\r(gr)，则小球可以做完整的圆周运动，若小于此速度，则不能到达最高点，故不能做完整的圆周运动，选项C正确，D错误.二、非选择题11.如图8所示，长为L＝0.5m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m＝2kg的小球，g取10m/s2.图8(1)如果小球的速度为3m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大.(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4N，求杆旋转的角速度为多大.答案(1)56N(2)4rad/s解析(1)小球在最低点受力如图甲所示：合力等于向心力：FA－mg＝meq\f(v2,L)解得：FA＝56N(2)小球在最高点受力如图乙所示：则：mg－FB＝mω2L解得：ω＝4