专题03二次函数的性质1（4知识点11大题型4大拓展训练过关测）

专题03二次函数的性质1（4知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：二次函数的常见表达式：名称解析式前提条件相互联系一般式当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法.顶点式当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式.交点式【即时训练】1．（2425九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．字母字母的符号图像特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．a<0开口向下bb=0对称轴是y轴，即−b左同右异中间0a，b同号对称轴在y轴左侧，即−a，b异号对称轴在y轴右侧，即−cc=0图像过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交与x轴有两个交点与x轴有唯一交点与x轴没有交点【补充】1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；2）由a的符号与对称轴x=−b【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.【即时训练】【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图形开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键．根据二次函数图象的开口，对称轴直线，与坐标轴交点的知识判定即可．【详解】解：∵二次函数图象开口向下，∵二次函数图象与轴交于正半轴，∵二次函数与轴有两个交点，故选：B．【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与轴交点，二次函数的性质等知识，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口、对称轴以及经过的点，即可判断出二次函数的大体图象，进而根据二次函数图象的性质即可判断出各选项．故选：D．【答案】②④⑤故①错误，②正确，故③错误，③∵抛物线与x轴有交点，故④正确，故⑤正确，故答案为：②④⑤．知识点3：二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(xh+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(xn)2+b(xn)+cy=a(xhn)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(xh)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+cny=a(xh)2+kn下减补充：①二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.②根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.④求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.⑤对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.【即时训练】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减，”的规律进行解答即可，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据平移方式得到顶点坐标，又因为平移不改变二次项系数，即可写出答案．又因为平移不改变二次项系数，【答案】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减．知识点4：二次函数图象的对称变换变换方式变换后口诀关于x轴对称x不变，y变y关于y轴对称y不变，x变x关于原点对称x变x，y变y【即时训练】A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D故选：D．【答案】A故选：Ax…0123…y……【答案】故答案为：．【题型1二次函数的一般式】A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，一元二次方程组的解法，将函数经过的两点代入二次函数解析式得到一元二次方程组是解答关键．将二次函数图象经过的两点的坐标代入解析式，列出一元二次方程组，解一元二次方程组即可求解．故选：A．【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解．【详解】解：由题意得(1)求a，c的值．(2)21【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值；（1）待定系数法求函数解析式即可；【题型2二次函数的顶点式】【答案】B【分析】根据抛物线的形状，开口方向和抛物线的值有关，利用顶点式解析式写出即可．故选：B．①它的图象不经过第三象限；①它的图象不经过第三象限，【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解题的关键．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【题型3二次函数的两点式】(1)求这个二次函数的解析式；(2)指出它的对称轴和最值．【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．（2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案．∴函数有最小值为．12．根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式．【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式．(1)求抛物线解析式；【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数函数值的范围：（1）直接利用两点式写出函数解析式即可；【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用待定系数法计算即可得解．【题型4二次函数图象与各系数符号】【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解．【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴在轴的右侧，图象与轴的交于负半轴，故选：C．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断．抛物线开口向下，与轴无交点，故选：C．【答案】②③④【详解】解：∵抛物线的开口向下，∵与x轴有两个交点，综上分析可知：正确的有②③④．故答案为：②③④．其中正确的结论有．【答案】①②③④【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可．【详解】解：根据图象可知，开口向上，∵抛物线交轴负半轴，故答案为：①②③④．【答案】③④⑤②∵图形与x轴有两个交点，故②错误；故答案为：③④⑤．【题型5根据二次函数的图象判断式子符号】【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．故选：D【答案】D故选D．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可．故选B．

【答案】③④【详解】解：由图可知：∴正确的有③④，故答案为：③④．【答案】①③④【分析】本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，及二次函数的对称性，难度中等．利用二次函数与一元二次方程的关系及其与不等式的关系，以及二次函数的对称性可以求解．【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，综上，正确的是①③④．故答案为：①③④．【题型6已知抛物线上对称的两点求对称轴】x…01…y……则该函数图像的对称轴是（

）【答案】B故选B．A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的平移以及二次函数的性质，先求出平移前后的对称轴，然后根据平移的性质列方程求解即可．故选C．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解；故答案为：.【答案】0故答案为：0．(1)求该二次函数图象与轴的交点坐标，并直接写出：函数的对称轴为直线_________．(2)【分析】本题考查了二次函数的最值、与轴的交点坐标以及对称轴，掌握相关函数结论是解题关键.（2）根据对称轴直线和开口方向即可求解．【题型7根据二次函数的对称性求函数值】x…01234…y…m232…其中m的值是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的对称性，找到表格中函数值相等的两个自变量的值，求出对称轴，再根据对称性求出的值即可．故选：D．．．．012．．．．．．50．．．A．5 B． C． D．0【答案】D【详解】解：由表格可得，故选：D．【答案】12故答案为12．(1)求的值；(2)求出抛物线的解析式并说明抛物线的增减性．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．【题型8二次函数的单调性】【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可求解．∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．故选：A．A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C故的值可能是6，故选：C．40．操作与探究：(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：【答案】(1)见解析【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象．（1）按照列表，描点，连线的步骤即可画出函数图象；（2）根据画出的函数图象，即可解答．【详解】（1）解：根据题意列出表格如下：x……01……y……03430……画出函数图象如图所示：（2）解：由图可知：【题型9利用二次函数对称性求最短路径】A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6【答案】C【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离．∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE=C'E，则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；∴C'F的解析式为yx，∴F(，)，故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键．

【答案】【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键．44．如图，抛物线y=x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为．【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．【详解】解：如图，在y=x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），∵y=x2+2x+1=（x1）2+2，∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，1），连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′=DE+D′E′【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，勾股定理，求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型10二次函数图象的平移】【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律进行解答即可．故选：D．【答案】故答案为：5【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．(1)求该函数图象抛物线的解析式；(2)将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点．(2)向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点，本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．(1)求此二次函数的解析式，并求出顶点坐标；【分析】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式．【题型11二次函数的最值】A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6【答案】D故选：D．A． B． C． D．或【答案】B故选：B．【答案】【分析】本题考查二次函数的最值，将解析式配方，进而求得函数的最大值．故答案为：．【答案】或故答案为：或．①该函数的顶点坐标为___________；【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键．（1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解；【拓展训练一二次函数的平移问题】A．18 B．20 C．36 D．24【答案】C故抛物线向右每次平移距离为4，设，，，，，的横坐标分别为，，，，，，故选C．A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则及二次函数的性质是解题的关键．根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的函数解析式，再根据题意得出关于的不等式，据此可解决问题．故选：B．A．16 B．20 C．24 D．28【答案】A故选：A．（1）该抛物线的对称轴为直线；【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）直接运用对称轴的公式代入数值进行计算，即可作答．故答案为：2；（2）如图，(2)若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标；【分析】本题考查二次函数的解析式、图像平移、顶点坐标以及函数值的比较．需要掌握二次函数的开口方向、顶点坐标公式、图像平移规律及函数增减性的应用．（1）直接利用待定系数法代入点坐标求参数即可写出函数解析式；（2）先确定平移后的函数表达式，根据平移后的函数图像与轴仅有一个交点即可求原函数顶点坐标；抛物线开口向下，平移后的函数图像与轴仅有一个交点，【拓展训练二二次函数求最值】【答案】C故选：C．A． B．1或 C．或 D．1或【答案】C综上所述，的值为或．故选：C．将绕点逆时针旋转得到，【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值．【答案】抛物线开口向上，分三种情况讨论：综上，的值为，故答案为：．(1)判断下列函数中存在三倍点的是______（填入序号）．①求出该图象上的“三倍点”坐标；【答案】(1)①④【分析】（1）利用“三倍点”的定义逐项判断；故答案为：①④；【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程的关系等，理解“三倍点”是的定义是解题的关键．【拓展训练三二次函数的翻折问题】A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A综上，正确的是①②③，故选：A．【答案】C故选：C．【详解】解：根据题意，画出图象如图所示：直线与抛物线未翻折部分有一个交点时，此时直线与新图象有三个交点，【答案】或/或如图，综上可知m的值是或．故答案为：或．(2)①直接写出图象的解析式；②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围．【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键．（1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解；（2）①先根据反转的性质求出点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可；（3）结合图像，分两种情况分别求解即可．∴抛物线开口向上，【拓展训练四二次函数的存在性问题】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键．(2)判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）解：存在；∵函数最大值5，【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；(1)求的值．【答案】(1)1【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键．（2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可；②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的、即可比较即可．此时，的值保持不变，始终等于，对应的最大值都是．对应的最小值分别为，，对应的最大值都是．对应的最小值都是．【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，增减性，最值的计算方法是关键．∵抛物线有两个“3倍点”，∵图像上存在唯一的一个“倍点”，A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线与轴的交点问题．熟练掌握各知识点是解题的关键．∴交点横坐标为，．故选：A．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值．∴两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的顶点为最高点，所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1．故选：B…012………A． B． C． D．0【答案】B故选：BA． B．1 C． D．7【答案】A【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解．故答案为：A．…0135……5012…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）【答案】D由以上分析知，B、C不符合题意，D符合题意；故A不符合题意．故选DA． B． C． D．【答案】D故选：D．【答案】①②③④【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴，故④正确，综上所述，正确的有：①②③④；故答案为：①②③④．x…0123…y…m…【答案】【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤．故答案为：．【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握平移规律是解题的关键．直接利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，进而得出答案．【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴．【答案】【分析】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．抛物线与轴有交点，故答案为：．（1）的值是；（2）的取值范围是．【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x轴交点问题等知识．（1）由不动点的概念和根的判别式求出和的值，即可求出的值；（2