2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《轴对称》

第32页（共32页）2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《轴对称》一．选择题（共10小题）1．（2025春•濮阳期中）如图，A、B、C、D的坐标分别为A（3，2）、B（﹣3，2）、C（3，﹣2）、D（﹣2，﹣1），称点B为点A关于y轴的对称点，点C为点A关于x轴的对称点，下面点D关于x轴对称点的是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）2．（2025•厦门模拟）如图，在等边△ABC中，延长BC到点E，连接AE，若AE=32，∠CAE＝15°，则A．22 B．32 C．23 3．（2025春•铁西区期中）下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（）A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C4．（2025春•介休市期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝16cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（）A．8cm B．16cm C．12cm D．6cm5．（2024秋•杭州期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为（）A．5 B．3 C．4 D．26．（2025春•新郑市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为18，AB的垂直平分线EF交F，若D为BC边的中点，M是线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．107．（2025春•包头期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．120°8．（2025春•包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（）A．16 B．32 C．64 D．1289．（2025•沙依巴克区一模）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（）A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm10．（2025春•郑州期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（）A．70° B．75° C．105° D．35°二．填空题（共5小题）11．（2025春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCA，D为AC的中点，连接BD，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，∠E＝20°，则∠BDE的大小为．12．（2025•绵阳三模）如图，在等边△ABC中，AB＝5，E在BC边上，F在△ABC的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值是．13．（2025•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，A（3，0），B（6，0）是x轴上的两个点，则PA+PB的最小值为．14．（2025春•历城区期中）如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝3，BE＝3，AB＝6，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是．15．（2025春•东方期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，1），关于y轴对称的点F（2，n），则mn的值为．三．解答题（共5小题）16．（2025春•安康期中）如图，在三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且DE∥BC，∠ACB的平分线CF交DE于点G，交AB于点F，点M在AF上，连接EM，∠EGC＝∠AEM．（1）求证：EM∥CF；（2）过点G作GH∥AB交AC于点H，若∠B＝58°，∠ACB＝64°，求证：EM⊥GH．17．（2025•乾安县模拟）如图，过正五边形ABCDE的顶点B，作BF∥ED交DC的延长线于点G，交DA的延长线于点F，求证：△DFG是等腰三角形．18．（2025春•左权县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边CA延长线上一点．（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）；（2）在（1）得到的图中，若∠DAB＝60°，求证：△ADF是等边三角形．19．（2024秋•福山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．20．（2025•新蔡县三模）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《轴对称》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACDBDCCBBA一．选择题（共10小题）1．（2025春•濮阳期中）如图，A、B、C、D的坐标分别为A（3，2）、B（﹣3，2）、C（3，﹣2）、D（﹣2，﹣1），称点B为点A关于y轴的对称点，点C为点A关于x轴的对称点，下面点D关于x轴对称点的是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；符号意识．【答案】A【分析】根据关于x轴对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数进行解答即可．【解答】解：点D关于x轴对称点的是（﹣2，1），故选：A．【点评】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征．熟练掌握该知识点是关键．2．（2025•厦门模拟）如图，在等边△ABC中，延长BC到点E，连接AE，若AE=32，∠CAE＝15°，则A．22 B．32 C．23 【考点】等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】C【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等边三角形的性质得出∠BAD=∠DAC=12∠BAC=30°，从而得出□ADE是等腰直角三角形，即可求得AD＝3，在Rt△AD【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图，∵等边△ABC，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+15°＝45°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，∴AD＝DE，∴AE=∵AE=3∴AD＝3，在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，∴BD=∴AB∴AB=2故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键．3．（2025春•铁西区期中）下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（）A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C【考点】等边三角形的判定；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】对于选项A，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形即可对选项A进行判断；对于选项B，根据AB＝AC得∠B＝∠C，进而得∠A＝∠B＝∠C，由此即可对选项B进行判断；对于选项C，根据两个角都等于60°的三角形是等边三角形即可对选项C进行判断；对于选项D，根据∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C得∠C＝60°，但是根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形，综上所述即可得出结论．【解答】解：对于选项A，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，故选项A能判定△ABC是等边三角形，不合题意；对于选项B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，故选项B能判定△ABC是等边三角形，不合题意；对于选项C，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，故选项A能判定△ABC是等边三角形，不合题意；对于选项D，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，∴2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝60°，根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形，故选项D符合题意．故选D．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键．4．（2025春•介休市期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝16cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（）A．8cm B．16cm C．12cm D．6cm【考点】等边三角形的判定．【专题】三角形；运算能力．【答案】B【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．【解答】解：∵OA＝OB＝16cm，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠AOB＝60°，∴∠OAB∴△AOB是等边三角形．∴AB＝OA＝OB＝16cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的判定，掌握有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形是解决问题的关键．5．（2024秋•杭州期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为（）A．5 B．3 C．4 D．2【考点】等腰三角形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定和性质，得到△BDC≌△EDC，得到DB＝DE，BC＝EC；根据等角对等边，则AE＝BE，即可求解．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD=12∠∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，在△BCD和△ECD中，∠BCD∴△BCD≌△ECD（SAS），∴DB＝DE，BC＝EC，∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE，∵AC＝10，BC＝6，∴EC＝6，AE+EC＝10，∴AE＝10﹣6＝4，∵BE＝ED+DB＝2DB＝2×2＝4，∴DB＝2，所以BD的长为2．故选：D．【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是相关性质的熟练掌握．6．（2025春•新郑市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为18，AB的垂直平分线EF交F，若D为BC边的中点，M是线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由AB＝AC，D为BC中点，得AD⊥BC．根据S△ABC=12×BC×AD=18，BC＝6，算出AD＝6．因为EF是AB垂直平分线，所以MA＝MB，△BDM周长＝BD+DM+MB＝BD+DM+MA．当A、M、D三点共线时，DM+MA最小，值为AD．又BD=【解答】解：∵AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC．∵BC＝6，△ABC的面积为18，则18=12×BC∴18=1∴18＝3×AD．∴AD＝6．∵EF是AB的垂直平分线，∴MA＝MB．∴△BDM的周长C△BDM＝BD+DM+MB＝BD+DM+MA．当A、M、D三点共线时，DM+MA取得最小值，这个最小值就是AD的长度．又∵D为BC中点，BC＝6，∴BD=∴△BDM周长的最小值为BD+AD＝3+6＝9．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形面积公式的应用．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将△BDM的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而求得周长的最小值．7．（2025春•包头期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．120°【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】由线段垂直平分线的性质得DB＝DA，EA＝EC，则∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再由三角形内角和定理得∠BAD+∠CAE＝80°，于是得到结论．【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，∴DB＝DA，EA＝EC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，∵∠DAE＝40°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣40°＝140°，∴2∠BAD+2∠EAC＝140°，∴∠BAD+∠CAE＝70°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝70°+40°＝110°．故选：C．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，关键是掌握等边对等角．8．（2025春•包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（）A．16 B．32 C．64 D．128【考点】等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】先根据已知证明△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…均是等腰三角形，求出A1B1，A2B2，A3B3，…，然后从数字找规律即可解答．【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，∴∠B1A1A2＝∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝60°，…，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB2A2＝∠B2A2A3﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB3A3＝∠B3A3A4﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，…，∴△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3、…均为等腰三角形，∴OA1＝A1B1＝2，OA∴△A1B1A2的边长为：2＝21，△A2B2A3的边长为：4＝22，△A3B3A4的边长为：8＝23，…，∴△A5B5A6的边长为：25＝32，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．9．（2025•沙依巴克区一模）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（）A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】连接BD，证明△BCD是等边三角形，得BD＝CD＝50cm，即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD，由题意可知，CD＝BC，∵∠BCE＝120°，∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣120°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝CD＝50cm，即此时B、D两点之间的距离为50cm，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2025春•郑州期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（）A．70° B．75° C．105° D．35°【考点】轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】A【分析】根据轴对称的性质，得出∠1+∠2与∠A的关系即可解决问题．【解答】解：由折叠可知，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE．∵∠1+∠A′DA＝180°，∠2+∠A′EA＝180°，∴∠ADE=180°-∠12，∠AED又∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∴180°-∠12+180°-∠22+则∠1+∠2＝2∠A＝70°．故选：A．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCA，D为AC的中点，连接BD，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，∠E＝20°，则∠BDE的大小为110°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】110°．【分析】由等角对等边得到AB＝BC，由等腰三角形的性质推出∠BDC＝90°，∠CDE＝∠E＝20°，即可求出∠BDE的度数．【解答】解：∵∠A＝∠BCA，∴AB＝BC，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝20°，∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝110°．故答案为：110°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角，等腰三角形三线合一的性质．12．（2025•绵阳三模）如图，在等边△ABC中，AB＝5，E在BC边上，F在△ABC的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值是52【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】52【分析】如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，连接EG，根据“SAS”证明△GCE≌△ACF，得出AF＝GE，得出AF+AE＝GE+AE，从而得出当A、G、E三个点在同一直线上时，AF+AE的值最小，最后求出AG的值即可．【解答】解：在等边△ABC中，AB＝5，如图，过点C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，连接EG，∴AB＝BC＝AC＝CG＝5，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝∵∠ACG＝90°，∴∠BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACD＝∠BCG，在△GCE和△ACF中，AC=∴△GCE≌△ACF（SAS），∴AF＝GE，∴AF+AE＝GE+AE，∴当A、G、E三个点在同一直线上时，GE+AE的和最小，即AF+AE最小，∴AF+AE的值最小为AC2+故答案为：52【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．13．（2025•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，A（3，0），B（6，0）是x轴上的两个点，则PA+PB的最小值为35【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；模型思想．【答案】见试题解答内容【分析】作出点A（3，0）关于直线l的对称点A'（0，3），连接PA'，A'B，可以得到PA+PB的最小值为A'B的长，再利用勾股定理求出A'B的长即可．【解答】解：作出点A（3，0）关于直线l的对称点A'（0，3），连接PA'，A'B，如图，由对称性可知：PA'＝PA，∴PA+PB＝PA'+PB≥A'B，∴PA+PB的最小值为A'B的长，∵A'（0，3），B（6，0），∴OA'＝3，OB＝6，在Rt△A'OB中，由勾股定理，得A'B=OA故答案为：35【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及角平分线，三角形三边关系，勾股定理，能用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．14．（2025春•历城区期中）如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝3，BE＝3，AB＝6，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是9．【考点】轴对称的性质；线段的性质：两点之间线段最短．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】9．【分析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E共线时，DE的值最大．【解答】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．由题意AD＝EB＝3，AC＝CB＝3，DM＝CM＝CN＝EN＝3，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，∵CM＝CN＝3，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝3，∵DE≤DM+MN+EN，∴DE≤9，∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为9，故答案为：9．【点评】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题．15．（2025春•东方期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，1），关于y轴对称的点F（2，n），则mn的值为﹣2．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】﹣2．【分析】利用轴对称的性质，求出m，n，可得结论．【解答】解：∵E（m，1），F（2，n）关于y轴对称，∴m＝﹣2，n＝1，∴mn＝（﹣2）×1＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识，理解并掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题关键．三．解答题（共5小题）16．（2025春•安康期中）如图，在三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且DE∥BC，∠ACB的平分线CF交DE于点G，交AB于点F，点M在AF上，连接EM，∠EGC＝∠AEM．（1）求证：EM∥CF；（2）过点G作GH∥AB交AC于点H，若∠B＝58°，∠ACB＝64°，求证：EM⊥GH．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据题意，得到∠EGC＝∠FCB，结合角平分线，得到∠EGC＝∠ACF，从而有∠ACF＝∠AEM，证得EM∥CF；（2）根据角平分线性质得出∠GCB=12∠ACB=32°，求出∠CFB＝180°﹣32°﹣58°＝90°，根据平行线的性质先得出∠FGH＝∠CFB＝90【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠EGC＝∠FCB，∵CF平分∠ACB，∴∠FCB＝∠ACF，∴∠EGC＝∠ACF，∵∠EGC＝∠AEM，∴∠ACF＝∠AEM，∴EM∥CF；（2）解：如图所示，由题意可得：∠GCB∵∠B＝58°，∴∠CFB＝180°﹣32°﹣58°＝90°，∵GH∥AB，∴∠FGH＝∠CFB＝90°，∵EM∥CF，∴∠MNH＝∠FGH＝90°，∴EM⊥GH．【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．17．（2025•乾安县模拟）如图，过正五边形ABCDE的顶点B，作BF∥ED交DC的延长线于点G，交DA的延长线于点F，求证：△DFG是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见详解．【分析】根据正五边形的内角和求出∠EDC，利用角的三等分求出∠EDA和∠FDC，根据平行线性质得到∠DFG＝36°，由三角形内角和求出∠FGD＝72°即可得到证明．【解答】证明：∵ABCDE是正五边形，∴∠EDC=∴∠EDA=13∵BF∥ED，∴∠DFG＝∠EDA＝36°，∠FGD＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠FDC＝∠FGD，∴FD＝FG，∴△DFG是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握多边形内角和的应用是关键．18．（2025春•左权县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边CA延长线上一点．（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）；（2）在（1）得到的图中，若∠DAB＝60°，求证：△ADF是等边三角形．【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；等边三角形的判定．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】见解析．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．【解答】（1）解：如图，DE为所作；（2）证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，因为DE⊥BC，所以∠DEB＝∠DEC＝90°，所以∠B+∠BFE＝90°∠C+∠CDE＝90°，所以∠BFE＝∠CDE，因为∠BFE＝∠AFD，所以∠CDE＝∠AFD，所以AD＝AF，）又因为∠DAB＝60°，所以△ADF是等边三角形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．19．（2024秋•福山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【专题】作图题；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．（2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．（2）∵DF垂直平分线段AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=12∠DAC＝【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（2025•新蔡县三模）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．【专题】探究型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，∴OC＝CD，而△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∵∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD，在△BOC与△ADC中，∵OC=∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，∴b﹣d＝10°，∴（60°﹣a）﹣d＝10°，∴a+d＝50°，即∠DAO＝50°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴110°+80°+60°+α＝360°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，110°+50°+60°+α＝360°，∴α＝140°．所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．3．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．4．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．5．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．6．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．7．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．8．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．9．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．10．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．11．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形