高等数学（工科类专业适用）教案 第2章 导数、微分及其应用

2.1.1导数的概念教学目标： （1）研究曲线的切线问题，寻找求曲线上一点处切线的斜率的方法；（2）学习导数的概念；（3）分析曲线上一点处切线的斜率与导数之间的关系，学会求曲线上一点处的切线的方程。教学重点： （1）导数的概念；（2）曲线上一点处的切线的方程。教学难点： 对导数的概念的理解。授课时数：2课时教学过程过程备注引言介绍本章学习的主要内容。教师讲授知识回顾设直线的倾斜角为，点和点为直线上的任意两点，则当时，直线的斜率为．引导学生回答5′问题在平面解析几何中，我们将与圆只有一个交点的直线定义为圆的切线．如图2－1所示，直线L是过圆周上一点P的切线．PP图2－1图2－2但是对其他曲线，这样的定义就不一定合适，例如，图2－2中的直线虽然与曲线只有一个交点，但是不能确定它们一定是曲线的切线．那么，对于一般曲线，如何定义和研究过曲线上一点P的切线呢？教师讲授10′新知识下面采用动态处理的方法定义一般曲线的切线．如图2－3所示，选取曲线上的任意点Q，做割线；然后让点Q沿着曲线趋近于点P，判断此时割线斜率的极限是否存在，如果存在，就把以这个极限值为斜率的直线定义为曲线在点P的切线．图2－3大家知道，二次函数的图像是抛物线。如图2－4所示，点为抛物线上的点．依据上面的切线定义，求抛物线在点处的切线．T设为抛物线上任意一点，在点T处，为自变量的改变量（或自变量的增量），为函数的相应改变量（或函数的增量）．则割线的斜率为当点Q沿着抛物线趋近点P时，，此时，割线的极限位置为PT．图2－4因为．故抛物线在点处切线的斜率为2．因此，切线PT的方程为，即．一般地，设是曲线上的一个定点，是曲线上异于的任意一点，则割线PQ的斜率为，其中为割线PQ的倾斜角.当时，如果极限存在，那么，这个极限值就是曲线在点处的切线PT的斜率.结合动画演示讲授教师讲授与学生回答相结合30′做一做采用同样的思路来研究非匀速直线运动物体的瞬时速度．设一个物体做非匀速直线运动，其路程与时间的关系为.求该物体在时刻的瞬时速度．在附近的一段时间间隔内，即从到这段时间内，物体走过的路程为．当很小时，我们把变速运动近似地看成是匀速运动.因此，可以用这段时间间隔的平均速度近似地描述瞬时速度．由于速度是变化的，所以对任意的固定的，它只是一个近似值.但是，在无限变小的过程中，平均速度无限接近时刻的瞬时速度．因此，当趋于零时，如果极限存在，那么，这个极限值就是变速直线运动的瞬时速度．即．在教师引领下共同完成40′新知识以上两个例子的具体意义虽然不同，但抽象出的数量关系却相同——研究函数改变量与自变量改变量之比的极限．一般地，设函数在点处自变量的改变量为，对应函数的改变量为，若当时存在，则称函数在点处可导，并将极限值叫做函数在点处的导数（瞬时变化率）．记作，．即=．（2.1）关于函数的导数有以下结论（1）若不存在，则称函数在点处不可导．（2）函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率．（3）若函数在区间(a，b)内的每一点处都可导，即对任意x∈(a，b)，极限＝都存在，则称“函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导”．这时，函数对于每一点x∈(a,b)，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新函数，这个新函数叫做函数的导函数，记为，或f(x).即＝（2.2）（4）函数y＝f(x)在点x0处的导数就是导函数在点x＝x0处的函数值，即＝.今后，在不引起混淆的情况下，导函数和导数统称为导数.利用定义求函数y＝f(x)的导数的步骤是：.（1）写出函数的改变量；（2）计算比值；（3）计算极限.教师讲授60′知识巩固例1求函数(是常数)的导数．解（1）求函数的改变量；（2）算比值,（3）取极限.即．例2求函数的导数．解（1）求函数的改变量；（2）算比值＝；（3）取极限.故.教师讲授在教师引领下共同完成70′练习2.1.11．用定义求函数在处的导数．2．求抛物线在点处的切线方程．学生课上完成85′小结新知识：导数的概念；曲线上一点处的切线的方程。90′作业1.通过复习导数的概念，加深对其内涵的理解,并尝试总结导数的思想及本质；2.完成习题册作业2.1.2。2.1.2导数的运算法则教学目标：（1）记忆基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，学会用公式、运算法则求函数的导数；（2）学会复合函数的求导法；（3）学会隐函数的求导法。教学重点： 求初等函数导数的方法。 教学难点： 复合函数的求导法。授课时数：4课时.教学过程过程备注新知识根据导数的定义，可以得到初等函数的导数及导数的运算法则，作为公式介绍如下．1.基本初等函数的导数公式：(1)（是常数）； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)；(9)； (10)；(11)； (12)；(13)；(14)；(15)；(16).2.导数的运算法则：设和在处都可导，则(1)； (2)(为常数)；(3)； (4).利用上述导数公式和法则，可以求出函数的导数．教师讲授20′知识巩固例1求函数的导数．解.例2求函数的导数．解.例3已知，求及.解，所以.例4求函数的导数．解例5已知，求.解，故=.教师讲授在教师引领下共同完成55′练习2.1.2.1（1），求；（2），求(3)，求学生课上完成70′想一想我们来计算函数的导数．考虑到，所以 ． 如果直接应用公式计算可以得到的． 两个计算结果为什么不一样呢？师生共同完成80′新知识产生上面问题的原因是，函数不是正弦函数，是正弦函数与一次函数的复合函数，所以计算的导数的时候，不能直接应用正弦函数的导数公式．计算复合函数的导数一般需要采用下面的方法（证明略）．设在处可导，在对应的处可导，则复合函数的导数为，（2.3）还可以记作或.教师讲授95′知识巩固例6求下列函数的导数（1）；（2）．解（1）是由和复合而成，所以；（2）是由和复合而成，所以．教师讲授105′链接软件利用微软高级计算器可以方便的求出复合函数的导数．计算例6（1）的操作为：利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得到结果． 说明点击功能区中的求解步骤，则显示出复合函数的计算过程．演示110′练习2.1.2.2求下列函数的导数并利用软件进行验证．(1);(2);(3).学生课上完成125′问题如果函数关系式以方程的形式给出如，写成一般函数形式需要进行开平方运算，不能写成唯一的一个解析式，如何求导数呢？130′新知识以方程形式表示函数关系的函数叫做隐函数，以函数解析式表示函数关系的函数叫做显函数．有些隐函数可以非常方便的转化为显函数，如转化为；有些函数完成这种转化则是非常困难的，如．因此，求隐函数的导数时，一般采用方程两端同时对自变量求导的方法．需要注意，当遇到含有函数的项时，必须将视为的函数，应用复合函数求导法则，这样就得到一个含有的等式，从而求得.教师讲授135′知识巩固例7求由方程所确定的隐函数的导数.解方程两边同时对求导，得，注意到是的函数，得，整理得.例8求由方程所确定的隐函数的导数.解方程两边同时对求导，得，即．整理得.说明可以看到，隐函数的导数中，可以含有因变量．教师讲授在教师引领下共同完成150′链接软件微软高级计算器不具备求隐函数导数的功能，可以采用软件matlab进行计算．计算例8的操作步骤为:输入：>>Dy_dx=maple('implicitdiff(exp(y)+x*y-exp(1)=0,y,x)')按回车键，显示：Dy_dx=-y/(exp(y)+x)即．演示160′练习2.1.2.3求下列各隐函数的导数：（1）；（2）；（3）．学生课上完成175′小结新知识：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，复合函数的求导法，隐函数的求导法。180′作业1.记忆基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；梳理复合函数、隐函数的求导方法；2.完成习题册作业2.1.2.1、作业2.1.2.2、作业2.1.2.3。2.1.3高阶导数教学目标：学习高阶导数的概念及计算。教学重点： 高阶导数的概念及计算。教学难点： 高阶导数的计算。授课时数：1课时.教学过程过程备注做一做连续计算函数的导数．发现，第1次计算得，仍然是变量x的函数；再一次求导得，仍然是变量x的函数；…，显然，导数的计算可以一直进行下去．在教师引领下完成6′新知识一般地，函数的导数仍是的函数.如果它在处仍可导，那么把函数的导数叫做函数在点处的二阶导数，记作或或，即或或.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，…，一般地，阶导数的导数，叫做n阶导数.同时把叫做的一阶导数.函数的各阶导数分别记作，，，…，；或，，，，…，；或，，，，…，.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.教师讲授16′知识巩固例9求下列函数的二阶导数.(1)； (2).解(1)，.(2)，.例10设，求.解，，，故.教师讲授在教师引领下完成28′链接软件利用微软高级计算器可以方便的求出函数的二阶导数．计算例9（2）利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得到结果．演示34′练习2.1.3 求下列函数的二阶导数（1）；（2）．学生课上完成42′小结新知识：高阶导数45′作业完成习题册作业2.1.3。2.1.4微分教学目标：（1）学习函数微分的概念及计算；（2）会利用微分计算由参数方程确定的函数的导数。教学重点： 函数微分的概念及计算； 教学难点： 函数微分的概念授课时数：1课时.教学过程过程备注知识回顾设点为函数图像上的点，则曲线在点P处切线的斜率为．3′新知识 如图图2－5所示，过Q点作x轴的垂线，交曲线过P点的切线于T、过P平行于x轴的直线于G．可以看到，．当Q点沿着曲线无限趋近于P点时，T点也无限趋近于P点，同时无限趋近于0．此时无限趋近于．a+a+Δx图2－5一般地，设函数在点处有可导，则叫做函数在点处的微分，记作，即．(2.4)此时称函数在点处可微.可见，函数的微分与和有关.结合动画演示讲授10′知识巩固例11求函数在，时函数的增量及微分.解，.在教师引领下完成15′新知识如果函数在区间I内任意点处可微，那么称函数在区间I内可微.记作.特别地，由函数可以得到，于是，通常将函数的微分记作，从而有.这就是说，导数是函数的微分与自变量的微分之商．故导数又称为微商.因此，对于由参数方程所确定的函数.有．教师讲授22′知识巩固例12求由参数方程所确定的函数的导数.解．例13某一正方体金属的边长为2m，当金属受热边长增加0.01m时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？解设正方体的边长为，则其体积为．体积的微分为将代入上式，得在处的微分在处体积的改变量为由此可见，.教师讲授30′练习2.1.41.求函数在时函数的增量及微分.2.求下列函数的微分(1)；(2)；(3).学生课上完成42′小结新知识：函数微分的概念及计算，由参数方程确定的函数的导数。45′作业1.利用图2－5分析函数的增量与函数微分的区别;2.完成习题册作业2.1.4。2.2.1函数单调性的判断教学目标：（1）结合图像，分析导数的符号与函数的单调性的关系；（2）理解驻点，不可导点的概念，掌握利用导数判断函数的单调性的方法，会求函数的单调区间。教学重点： 函数单调性的判别与函数的单调区间的求法。 教学难点： 导数符号与函数的单调性的关系。授课时数：2课时.教学过程过程备注观察 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导．观察函数图像（图2－6）可以看出，曲线上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦．由于恰好是弦的斜率，而为曲线在点处的切线的斜率．故．图2－6结合动画演示讲授8′新知识由此得到微分中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少存在一点，使成立．即．设函数在上连续,开区间内可导，、，且，由中值定理有，其中．如果对任意，都有（或），则必有（或），从而有（或），那么可以判断函数在区间内为增函数（或减函数）．由此得到判断函数单调性的方法：设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内恒有，那么函数在上单调增加；（2）如果在内恒有，那么函数在上单调减少.说明：（1）如果将闭区间换成其他各种区间（包括无限区间）上述结论仍然成立．（2）如果在区间I内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负），那么，在区间I内的仍旧是增（或减）函数．教师讲授20′知识巩固例1判断函数在区间（1，3）内的单调性．解．因为在区间（1，3）内，．故函数在区间（1，3）内为增函数．例2判断函数在区间上的单调性.解，在区间内，当时，，对有．故和都是函数的增区间．此时函数在上是增函数. 例3求函数的单调区间解函数的定义域为（-∞，+∞）．，令，得．以为分点，将定义域分成区间（-∞，1）和（1，+∞）．当时，；当时，．因此函数的减区间为（-∞，1），增区间为（1，+∞）．教师讲授在教师引领下完成教师讲授40′新知识使的点叫做函数的驻点．如果驻点的两侧的导数异号，那么称为增减区间的分界点，如例3中的；如果驻点的两侧的导数同号，那么不是分界点，如例2中的．说明：除了驻点有可能是分界点外，导数不存在的点也可能是分界点.因此，确定函数单调区间的一般步骤是：（1）确定定义域并求；（2）找出可能的分界点，分界点将定义域分为若干个部分区间；（3）依次判断函数在这些部分区间的单调性.教师讲授50′知识巩固例4求函数的单调区间 解函数的定义域为，且．令，得．它们把定义域划分成三个区间:． 当时，，故区间为增区间；当时，，故区间为减区间；当时，，故区间为增区间．教师讲授65′练习2.2.1求下列函数的单调区间（1）；（2）；（3）.学生课上完成85′小结新知识：利用导数判定函数单调性，驻点的概念，求函数的单调区间。90′作业1.梳理2.2.1节知识内容;2.完成习题册作业2.2.1。2.2.2函数的极值与最值教学目标：（1）利用函数图象，通过观察分析去认识函数极值的定义，认识函数极值与函数最值的区别；（2）学会利用导数求可导函数极值的方法；（3）学会闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法，会解决简单的最大值与最小值应用问题。教学重点： 函数极值的概念和求法，闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法，简单的最大值与最小值应用问题的求解； 教学难点： 函数极值与函数最值的区别，最大值与最小值应用问题的求解。授课时数：4课时.教学过程过程备注1.函数的极值知识回顾二次函数，当（或）时，在处取得最小（或最大）值．5′新知识函数的最大值（或最小值）是针对整个定义范围而言．下面研究在某些局部点的情况．y=f(x)y=f(x)x1x2图2－7观察函数的图像（图2－7）．在点邻近取值时有；在点邻近取值时有．一般地，设函数在区间内有定义，如果在邻近取值时有（或）成立，那么，就把叫做函数的一个极大（或极小）值，点叫做的一个极大值（或极小值）点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为极值点.由此可见，极大值和极小值是局部概念.它只意味着在的邻近各点的函数值的比较，而不意味它在整个区间内最大或最小.观察图2－7可以看到，在极值点处，函数的导数为零，即极值点为驻点．但是驻点不一定是极值点．例如，函数的导数为，由于，因此是函数的驻点，但却不是该函数的极值点.此外，导数不存在（但连续）的点也有可能取得极值.因此函数的极值点只能在驻点和导数不存在的点中产生，称它们为可能极值点.一般地，设函数在点的邻近连续且可导（可以不存在），当由小增大经过点时，如果（1）由正变负，那么是极大值点；（2）由负变正，那么是极小值点；（3）不改变符号，那么不是极值点.因此求函数极值的一般步骤为：（1）求出函数的定义域；（2）求的导数；（3）求出的全部可能极值点；（4）判断可能极值点是否为极值点；（5）求出各极值点的函数值.教师讲授30′知识巩固例5求函数的极值.解函数的定义域为..令，解得，.列表观察（表2-1）：表2-100↗极大值2↘无极值↘因此，函数的极大值为.例6求函数的极值.解函数的定义域为.；当时，不存在.列表（表2-2）：表2-2(-∞，2)2(2，+∞)(x)+不存在－f(x)↗极大值1↘由表2-2知，为函数的极值点，函数的极大值（图2-8）.图2－8教师讲授在教师引领下共同完成50′新知识设是函数的驻点，并且函数在点处有二阶导数.还可以利用二阶导数来判定点是否为函数的极值点.方法如下：（1）若，则函数在点处取得极大值；（2）若，则函数在点处取得极小值；（3）若，则不能判断在点是否取得极值.教师讲授60′练习2.2.2（1） 1.求下列函数的极值点和极值：(1)；(2)；学生课上完成90′2．最大值与最小值问题在工农业生产、工程技术及科学技术分析中，往往会遇到在一定条件下，求“产量最大”，“用料最省”，“成本最低”，“效率最高”等实际问题，这类问题一般可归结为求函数的最大值或最小值问题，统称为最值问题.下面就函数的不同情况，分别研究函数的最值的求法.新知识（1）闭区间上的连续函数由连续函数的性质知，如果在闭区间上连续，那么一定存在最大值和最小值.因此，只要求出函数的所有极值点和端点的函数值，进行比较即可得到函数在该区间上的最值。教师讲授97′知识巩固例7求函数在上的最大值和最小值.解，令，解得，，.于是，，，所以，在上的最大值为，最小值为.在教师引领下共同完成110′新知识（2）一般区间上的连续函数如果在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导并且只有一个驻点，那么