5.3.2应用二元一次方程组-增收节支　课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.3.2应用二元一次方程组——增收节支第五章

二元一次方程组【2025新教材】北师大版数学

八年级上册

授课教师：********班级：********时间：********应用二元一次方程组——增收节支

教案一、教学目标知识与技能目标学生能够熟练掌握利用二元一次方程组解决增收节支相关实际问题的方法，准确分析问题中的数量关系，合理设未知数并列出方程组求解。学会从实际问题的文字描述中提取关键信息，将实际问题转化为数学模型，提高运用数学知识解决经济类问题的能力。过程与方法目标通过解决增收节支问题，经历将实际问题抽象为二元一次方程组模型的过程，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力。在分析问题、寻找等量关系的过程中，学会运用列表、画示意图等方法梳理数量关系，提升分析和解决实际问题的能力，增强知识迁移能力。情感态度与价值观目标让学生体会数学在现实经济生活中的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和热情。在解决实际问题的过程中，培养学生严谨认真的学习态度和勇于探索创新的精神，增强学生用数学知识解决实际问题的自信心和成就感。二、教学重难点教学重点准确分析增收节支问题中的数量关系，找出等量关系，列出二元一次方程组。熟练求解二元一次方程组，并根据实际问题对结果进行合理的解释和检验。教学难点理解增收节支问题中复杂的数量关系，尤其是涉及增长率、降低率等概念时，准确找出等量关系并建立数学模型。对求解结果进行实际意义的分析，确保答案符合实际情况。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、案例教学法、小组合作学习法四、教学过程（一）情境导入（5分钟）展示生活中的实际问题：某商店去年的总收入为\(100\)万元，总支出为\(60\)万元。今年商店采取了一系列措施，总收入比去年增长了\(20\%\)，总支出比去年降低了\(10\%\)，今年的利润是多少呢？如果已知今年的利润，如何求去年的总收入和总支出呢？提问学生：“同学们，这样的问题涉及到收入和支出的变化，我们怎样通过数学方法来解决呢？今天我们就一起学习如何用二元一次方程组解决增收节支的问题。”由此引出本节课课题。（二）探究新知（20分钟）分析问题，建立模型（10分钟）以导入中的问题为例，引导学生分析：设去年的总收入为\(x\)万元，总支出为\(y\)万元。提问：“根据题目条件，我们可以得到哪些数量关系呢？”引导学生思考：去年的利润=去年总收入-去年总支出，即\(x-y\)；今年总收入比去年增长\(20\%\)，则今年总收入为\((1+20\%)x\)万元；今年总支出比去年降低\(10\%\)，则今年总支出为\((1-10\%)y\)万元；今年的利润=今年总收入-今年总支出。如果已知今年利润为\(78\)万元，可列出方程组\(\begin{cases}x-y=100-60\\(1+20\%)x-(1-10\%)y=78\end{cases}\)。强调：在分析增收节支问题时，要注意增长率和降低率的运用，准确表示出变化后的收入和支出，找出等量关系。求解方程组，验证结果（6分钟）让学生选择合适的方法求解上述方程组，教师巡视指导。选取学生代表在黑板上展示求解过程：由第一个方程\(x-y=40\)可得\(x=y+40\)。将\(x=y+40\)代入第二个方程\(1.2(y+40)-0.9y=78\)，去括号得\(1.2y+48-0.9y=78\)，移项合并同类项得\(0.3y=30\)，解得\(y=100\)。把\(y=100\)代入\(x=y+40\)，得\(x=140\)。引导学生对结果进行检验：去年总收入\(140\)万元，总支出\(100\)万元，利润为\(140-100=40\)万元；今年总收入为\(1.2×140=168\)万元，今年总支出为\(0.9×100=90\)万元，今年利润为\(168-90=78\)万元，符合题目条件，说明结果正确。总结解题步骤（4分钟）组织学生讨论，总结用二元一次方程组解决增收节支问题的一般步骤：审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题，特别是涉及收入、支出、增长率、降低率等关键信息。设元：合理设出两个未知数，通常设原来的收入和支出为未知数。列方程组：根据题目中的等量关系列出二元一次方程组，如利润=收入-支出，变化后的收入=原来收入

×(1+增长率)，变化后的支出=原来支出

×(1-降低率)等。求解方程组：选择代入消元法或加减消元法求解方程组。检验作答：检验解是否符合实际情况，包括数值的合理性以及是否满足题目中的条件，然后作答。（三）巩固练习（15分钟）基础练习：某工厂去年的总产值比总支出多\(500\)万元，今年的总产值比去年增加\(15\%\)，总支出比去年减少\(10\%\)，今年的总产值比总支出多\(950\)万元。设去年的总产值为\(x\)万元，总支出为\(y\)万元，列出方程组并求解。学生独立完成，教师巡视，对有困难的学生进行指导，及时纠正学生在设未知数、列方程和解方程过程中出现的错误。提高练习：某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价\(50\%\)，乙商品加价\(40\%\)作为标价。适逢元旦商场搞促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售。某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款\(538\)元，已知商场共盈利\(88\)元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？引导学生分析题目中的数量关系，小组内讨论如何设未知数和列方程组，然后进行求解，最后小组间交流解法和结果。拓展练习：某旅行社去年接待游客人数为\(2000\)人，计划今年在国内游客人数上增加\(20\%\)，在国外游客人数上减少\(10\%\)，这样今年接待游客总人数将比去年增加\(15\%\)。问该旅行社今年计划接待国内游客和国外游客各多少人？提示学生找出隐含的等量关系，鼓励学生尝试用不同的思路设未知数和列方程组求解，并在全班分享解题方法和过程。（四）课堂小结（5分钟）请学生回顾本节课所学内容，说一说用二元一次方程组解决增收节支问题的步骤和关键。教师进行补充和完善，强调在解决这类问题时，准确分析数量关系、找出等量关系是列方程组的关键，同时要重视对结果的检验，确保答案符合实际意义。再次让学生体会数学在经济生活中的应用价值。（五）布置作业（课后完成）必做题：完成课本上相关练习题，巩固用二元一次方程组解决增收节支问题的方法。选做题：调查本地一家企业的收入和支出情况，根据实际数据提出一个增收节支相关的问题，并用二元一次方程组进行求解，形成一份简单的分析报告。实践题：记录自己家庭一个月的收入和支出情况，尝试分析各项支出的占比，思考如何合理规划支出以实现“增收节支”，并与家人交流自己的想法

。五、教学反思在教学过程中，关注学生对增收节支问题的理解程度和建模能力，分析学生在找等量关系、列方程组和解方程组等环节出现的问题。思考教学方法是否有效引导学生掌握解决此类问题的方法，教学案例是否贴近实际生活且具有代表性。针对学生反馈，及时调整教学策略，加强对重难点内容的讲解和练习，提高学生运用二元一次方程组解决实际经济问题的能力。这份教案围绕增收节支问题与二元一次方程组的应用，注重理论与实践结合。若你对教学环节设置、案例难度等有其他想法，欢迎随时提出，我会进一步优化。互逆命题、互逆定理教案一、教学目标知识与技能目标理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。过程与方法目标通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。情感态度与价值观目标培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。二、教学重难点重点互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。能正确写出一个命题的逆命题。难点判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。用逻辑推理的方法证明命题的真假。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）展示一些简单的命题，如“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，“如果a=b，那么a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题——互逆命题、互逆定理。（二）讲授新课（25分钟）互逆命题给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。举例说明：如原命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”。让学生进一步理解互逆命题的概念。组织学生进行小组讨论，每个小组写出3-5个命题，并交换写出它们的逆命题。命题真假的判断引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如“如果两个角是直角，那么这两个角相等”是真命题，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。互逆定理给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。举例说明：如“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。（三）例题讲解（15分钟）例1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的对应角相等。（3）等腰三角形的两个底角相等。分析：（1）逆命题为“如果ab=0，那么a=0”，这是假命题，因为当b=0时，ab=0，a不一定为0。（2）逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。例2：证明命题“如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”是真命题。分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。证明：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共边），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）课堂练习（10分钟）写出下列命题的逆命题，并判断真假。（1）如果x=2，那么x²=4。（2）直角三角形的两个锐角互余。（3）对顶角相等。判断下列说法是否正确：（1）每个命题都有逆命题。（2）每个定理都有逆定理。（3）真命题的逆命题一定是真命题。（4）假命题的逆命题一定是假命题。（五）课堂小结（5分钟）与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。（六）布置作业（5分钟）课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。五、教学反思在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.能运用列表分析法分析数量关系，熟练地列二元一次方程组解决收支问题，提高学生解决问题的能力．2．经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养数学的应用能力．3．通过问题的解决进一步感受数学与现实世界的密切联系，培养学生必要的经济意识，增强他们节约成本，有效、合理地利用资源的意识．重点难点复习导入列二元一次方程组解应用题的步骤：(1)审清题意，设未知数；(2)弄清各个量之间的关系，找出等量关系；(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；(4)解二元一次方程组；(5)作答.视频导入

某工厂去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？我们来拆分解释一下这个问题.探究新知知识点利用表格分析列二元一次方程组解答问题问题探究2.若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是__________万元;3.该厂今年的利润为780万元,那么由1,2可得方程___________________________.若该厂去年的总收入是x万元,今年的总收入比去年增加了20%,则今年的总收入是__________万元;(1+20%)x(1+20%)x-(1-10%)y=780(1-10%)y探究新知提炼问题1.去年的总收入—去年的总支出=200万元

3.今年的总收入=去年总收入×(1+20%）

4.今年的总支出=去年的总支出×(1-10%）2.今年的总收入—今年的总支出=780万元找出等量关系.探究新知总收入/万元总支出/万元利润/万元去年今年设去年的总收入为x万元，总支出为y万元xy200(1+20%)x(1-10%)y780得到两个等式：x-y=200

(1+20%)x-(1-10%)y=780探究新知把分析信息用表格表示解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值（1+20%）x万元，今年的总支出（1-10%）y万元.由题意得

答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.

探究新知解得①②探究新知列二元一次方程组解答数量问题素养考点1

医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?例1解:设每餐需甲、乙原料各x克，y克.则有下表:甲原料x克乙原料y克所配的营养品其中所含蛋白质其中所含铁质0.5xx0.7y0.4y3540探究新知①-②,得5y=150，y=30，把y=30代入①,得x=28.答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.根据题意,得方程组0.5x+0.7y=35，x+0.4y=40.5x+7y=350，①5x+2y=200.

②化简,得探究新知归纳小结用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.数量关系字母2代入消元加减消元法探究新知注:复杂问题借助表格分析”某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.

（1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？

（2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.巩固练习变式训练解:

(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，x+2y=16802x+y=2280解得:x=960y=360(2)若7个餐厅同时开放，则有

5×960+2×360=5320答：

(1)1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生就餐.(2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐.5320>5300依题意得巩固练习例2甲、乙两人从相距36米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？探究新知素养考点2列二元一次方程组解答行程问题36千米甲先行2小时走的路程乙出发后甲、乙2.5小时共走路程甲乙相遇

如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；探究新知线段图分析乙相遇36千米甲出发后甲、乙3小时共走路程乙先行2小时走的路程甲

如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；探究新知线段图分析若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米甲行走的路程乙行走的路程甲、乙两人行走的路程之和第一种情况（甲先走2小时）第二种情况（乙先走2小时）探究新知表格数量分析2x+2.5x3x2.5y2y+3y3636解：设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米，则有探究新知2x+2.5x+2.5y=363x+3y+2y=36解得:x=6y=3