2015年带电粒子在复合场中运动的经典例题解析

2015年带电粒子在复合场中运动的经典例题

1、(15分)如图所示,MN、PQ是平行金属板，板长为L,两板间距离为d,在PQ板的上方有垂

直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度4从例/V板边缘沿平

行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右边

缘飞进电场。不计粒子重力。试求：

(1)两金属板间所加电压〃的大小；

(2)匀强磁场的磁感应强度8的大小；

(3)在图中画出粒子再次进入电场的运动轨迹，并标出粒

子再次从电场中飞出的位置与速度方向。

2.(16分)如图，在ay平面内，MN和x轴之间有平行于/轴的匀强电场和垂直于Aoy平面的匀

强磁场，y轴上离坐标原点4L的A点处有一电子枪，可以沿+x方向射出速度为4的电子(质量为

m,电量为el如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动.如果撤去电场,只保留磁场,电

子将从x轴上E巨坐标原点3L的C点离开磁场.不计重力的影响，求：

(1)磁感应强度B和电场强度E的大小和方向；

(2)如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D点(图中未标出)离开电场，求D点的坐标；

(3)电子通过D点时的动能。

y.

JN

〃'用

4L-*

2L-

C

o■-L2L3L_*x

3.(12分)如图所示，在y>0的空间中，存在沿y轴正方向的匀强电场，在y<0的空间中，存

在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小也为E,一电子(电量为-e,质量为/n)在y轴上的P(0,

d)点以沿x轴正方向的初速度V。开始运动，不计电子重力，求：

(1)电子第一次经过x轴的坐标值

(2)电子在y方向上运动的周期

(3)电子运动的轨迹与*轴的各个交点中，任意两个相邻交点间的距离

(4)在图上画出电子在一个周期内的大致运动轨迹

4.(16分)如图所示，一个质量为m=2.0xl0-iikg,电荷量方+1.0x10-5c的带电微粒(重力忽略

不计)，从静止开始经8100V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中。金属板长G2

0cm,两板间距片10Qcm。求：⑴微粒进入偏转电场时的速度淀多大？⑵若微粒射出电场过程的

偏转角为a30。，并接着进入一个方向垂直与纸面向里的匀强

XX;

磁场区，则两金属板间的电压的是多大？⑶若该匀强磁场的宽I

XX；

B!

XX!

I

XX!

O—>1

度为。=106cm,为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度殍少多大？

5、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其二均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a

b、c和d,外筒的外半径为r,在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度

的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为相、带电量

为+g的粒子，从紧靠内筒且百寸狭缝a的S点出发，初速为

XX/X

零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点5

a

则两电极之间的电压〃应是多少？（不计重力，整个装置在真X

解析：如图所示，带电粒子从s点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭维d而进

入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到5点的条件是能沿径向穿过狭转d只要穿

过了d.粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区,然后粒子以同样方式

经过Ub,再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V,根据动能定理，有

设粒子做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第

二定律，有

Bqv-—

3

由前面分析可知，要回到5点，粒子从a到4必经过二国周，所以半径/?必定等于筒的外半径

4

乙即/?二。由以上各式解得；

6、核聚变反应需几百万摄氏度高温，为了把高温条件下高速运动粒子约束在小范围内（否则不可能

发生核聚变），可采用磁约束的方法.如所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域内的带电粒子

只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环形磁场的内半径Ri=O.5m,外半径R2=lm,

磁场的磁感应强度B=0.IT,若被约束的带电粒子的比荷q/m=4xlO7C/kg,中空区域内的带电粒子

具有各个方向大小不同的速度，问（1）粒子沿环状半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；（2）

所有粒子不能穿越磁场的最大速度.

解析根

由于B、q/m一定，所以v越大，r越大，且最大半径对应最大速度，多作几个沿环半径方向但大小

不同的速度所对应的磁场中运动圆轨迹，如图（b）所示，很容易得出当圆轨迹与环形磁场外边界内切

时，对应的半径是粒子射不出磁场的最大半径，对应的速度就是不能穿越磁场的最大速度，由几何知

识得vimax=l.5x107m/s,（2）由（1）可知沿某一方向射不出磁场的最大速度对应的圆轨迹与磁场

外边界内切，再作出粒子斜向左上方和竖直方向射入磁场对应的和磁场外边界内切的圆轨迹如图（C）

所示，从而得出沿各个方向射不出磁场的最大速度不同，通过比较发现，粒子垂直环半径方向射入磁

场时不能穿越磁场的最大速度Vimax是最小的，所以若要求所有粒子均不能穿越磁场，则所有粒子的

最大速度不能超过V"ax，由数学知识可得Vlax=L0X107m/S.

7、如图所示,在直角坐标系的第D象限和第IV象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为

B=5.OxlO-3T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m=6.64X10-27kg%电荷量为q

=+3.2x10-19C的a粒子(不计a粒子重力)，由静止开始经加速电压为U=1205V的电场(图中

未画出)加速后，从坐标点M(-4,行)处平行于x轴向右运动，并先后通过两个匀强磁场区域。

(1)请你求出a粒子在磁场中的运动半径；

(2)你在图中画出a粒子从直线x=-4到直线x=4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线

x=4交点的坐标;

(3)求出a粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。

8、真空中有一半径为r的H柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上0点的

切线，如图所示。从0点阵面内向各个方向发射速率均为v0的电子，设电子重力不计且相互间的

作用也忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为ro已知电子的电量为e,质量为m。

(1)速度方向分别与Ox方向夹角成60。和90。的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？

(2)所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？

(3)设在某一平面内有M、N两点，由M点向平面内各个方向发射速率均为之的电子。请设计

一种匀强磁场分布(需作图说明)，使得由M点发出的所有电子都能够汇集到N点。

解析：⑴当9=60°时，。=§=";当6=90。时，与=4*

(2)如右图所示，因n。02A=8故O2A_LOx

而02A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射

出方向一定与Ox轴方向平行，即所有的电子射出圆形

磁场时，速度方向沿x轴正向。

(3)上述的粒子路径是可逆的，(2)中从圆形磁场射0

出的这些速度相同的电子再迸入一相同的匀强磁场后，一定会聚焦于同一点，磁场的分布如下图所示.

注：①四个圆的半径相司，半径r的大小与磁感应强度的关系是r=mv0/qB;

②下方的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置关于MN对称且磁场方向与之相反；

③只要在矩形区域MiNiN2M2内除图中4个半圆形磁场外无其他磁场，矩形MiNiN2M2区域

外的磁场均可向其余区域扩展。

9、如图所示，一质量为m,带电荷量为+q的粒子以速度vo从0点沿y轴正方向射入磁感应强度为

B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方

向与x轴正方向的夹角为3。。，同时进入场强为E、方向沿x轴负方向成60。角斜向下的匀强电场中，

通过了b点正下方的c点，如图所示。粒子的重力不计，试求：

(1)圆形匀强磁场的最小面积。

(2)c点到b点的距离se

且与两速度方向相切的鼻圆弧，M、N两点还应在所求磁场区域的边界上。

在过M、N两点的不同圆周中，最小的一个是以MN为直径的圆周，所求圆形磁场区域的最小

半径为

3KM。=等

面积为=*

(2)粒子进入电场做类平抛运动

设从b到c垂直电场方向位移x',沿电场方向位移所用时间为t0

则有x'=vot

f2

又=cot60解得x=2A/3mv0/Eq

y'=6mvo2/Eq

yjx2+y,2=4V3mvJ/Eq

10、如图所示的区域中，第二象限为垂直纸面向外的匀强磁场,

磁感应强度为B,第一、第四象限是一个电场强度大小未知的

匀强电场，其方向如图。一个质量为m,电荷量为+q的带电

粒子从P孔以初速度v0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，

初速度方向与边界线的夹角6=30。，粒子恰好从y轴上的C孔

垂直于匀强电场射入匀强电场，经过x轴的Q点，已知

OQ=OP,不计粒子的重力，求：

(1)粒子从P运动到C所用的时间t;

(2)电场强度E的大小;

(3)粒子到达Q点的动能Ek。

八2〃八、

由几何知识可知，ACPC^ACQC^ACDQ,由图可知：CP=2r=-----

qB

带电粒子从c运动到Q沿电场方向的位移为SE=DQ=OQ=OP=CPsin30°=r=-^

qB

带电粒子从C运动到Q沿初速度方向的位移为s=CD=CO=CPcos3()0=7

v•o3r=———-

qB

由类平抛运动规律得：='返户5..=v0/

E22m°

2Bv।

联立以上各式解得：E=二(3)由动能定理得：Ek--wVo=qESp

L72

联立以上各式解得：E=-m\^

k6

11、如图所示，半径分别为艮6的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场中心。处固定一个

半径很小(可忽略)的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小

y

圆周与金属球间电势差为，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，

设有一个带负电的粒子从金属球表面沿+X轴方向以很小的初速度逸出，粒子

kXXA

XX!汽亨X目

\X40kX/

XXXXX

质量为m,电量为q,（不计粒子重力，忽略粒子初速度）求:

（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大？

（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达

大圆周，求此最小值Bo

（3）若磁感应强度取（2）中最小值，且（4+1）3,要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向

回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的时间。（设粒子与金属球正碰后电

量不变且能以原速率原路返回）

解析（1）粒子在电场中加速，根据动能定律得：qU=^mv27、区

（2）粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动，qBv=tn—

r

要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切，+yI"

如图，

则有b+-=］）_

联立解得B=—一

b--a

(3)图中tand=-=^-即8=45°

alab

则粒子在磁场中转过3:270。，然后沿半径进入电场减避I达」金属球表面，再经电场加速原路返

回磁场，如此重复，恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点。

粒子在磁场中运动时间为t4x二网年

因为T=—

4b

12、在图所示的坐标系中，x轴水平，）'轴垂直/轴上方空,司只存在重力场，第W象限存在沿）'轴

正方向的匀强电场和垂直冷’平面向里的匀强磁场，在第IV象限由沿x轴负方向的匀强电场，场强大

小与第in象限存在的电场的场强大小相等。一质量为〃？，带电荷量大小为夕的质点〃，从)轴上

)'=h处的R点以一定的水平速度沿x轴负方向抛出，它经过％=一2〃处的P2点进入第印象限，恰

好做匀速圆周运动，又经过轴上方＞=~2h的6点进入第IV象限，试求：

(1)质点。到达P2点时速度的大小和方向；

(2)第m象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁尸十2人0)

X

XX

X

感应弓虽度的大小；文X

X

XX

X

(3)质点。进入第IV象限且速度减为零时的位置坐标XX

解析、(1)质点在第口象限中做平抛运动，设初速度为力,由

/12

h=-gt①

2/?=vor②

解得平抛的初速度%=y/2gh

在g点，速度好的竖直分量匕.=gi=72gh

v=2y[gh,其方向与x轴负向夹角。=45

(2)带电粒子进入第m象限做匀速圆周运动，必有mg=qE③

。OI

又恰能过负y轴2/?处，故鸟鸟为圆的直径，转动半径R=7；，=2/i又由

V2

⑤可解得后=巡

qvB=m—B=-

Rqq

(3)带电粒以大小为v,方向与x轴正向夹45角进入第w象限，所受电场力与重力的合力为叵mg,方向

与过G点的速度方向相反,故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为a,则：

”正鳖3g

⑥

m

O2-v2

=-2g得s=--当-尸上3此得出速度减为o时的位置坐标是(h,叫

2a2V2.g

13.(2005徐州二模)如图13'-4所示，在工＞0的空间中，存在沿x轴方向的匀强电场，电场强度

E=10N/C;在x＜0的空间中，存在垂直Ay平面方向的匀强磁场，磁感应强度8=0.570-

带负电的粒子(比荷=160C/Zg),在x=O.O6〃7处的〃点以%=8"?/s的初速度沿y轴

正方向开始运动，不计带电粒子的重力。求

(1)带电粒子开始运动后第一次通过)•轴时距。点的距离；

(2)带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场;

(3)带电粒子运动的周期。

答案：(1)②(2)需S(3)(G71

-------1-------)$

100120

解：(1)粒子在第一象限做类平抛运动(如图13"-4所示)，加速度。=乡”=16(X)"Z//,运

tn

=嘉$，沿)'方向的位移

动时间4=

图13"-4

(2)粒子通过y抽进入磁场时在x方向上的速度vx=atA=^m!s,因此

tan0=*=,4=60。。粒子在第二象限以。'为圆心做匀速圆周运动，圆弧所对的圆心角为

%

7r

10=120°,运动时间=—T=一m='一so

233qB120

(3)粒子从磁场返回电场后的运动是此前由电场进入磁场运动的逆运动，经时间4，粒子

的速度变为%,此后重复前面的运动。可见，粒子在电、磁场中的运动具有周期性，其周期

T=t\+t2+t3=

14、如图13'-6甲所示，空间存在着彼此垂直并作周期性变化的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场随

时间变化分别如图乙、丙所示(电场方向竖直向上为正，磁场方向垂直纸面向里为正I某时刻有一

微粒从A点以初速I，开始向右运动，图甲中虚线是微粒的运动轨迹(直线和半圆相切于A、B、C、

D四点，图中八品和线都未知工

(1)此微粒带正电还是带负电？可能是什么时刻从A点开始运动的？

(2)求微粒的运动速度和BC之间的距离。

图13'-6

答案：（1）带正电，［二［0.1万（4〃-3）］5,〃=1,23-（2）2，〃/s,0.4，〃

解：(1)微粒应带正电，并在f=0.1〃(s)的时刻开始运动，这样，在AfB的运动阶段，只

要满足q\，B°=qE0+mg,微粒即可做匀速直线运动，历时0.1不⑸至B。到3点，电场反向。

在Bf。的运动阶段，要使微粒做圆周运动，必须qE°=mg,洛伦兹力qi，B°提供向心力，周期

T=0.2〃(s).到C点，电场、磁场同时反向。在Cf。的运动阶段，q\，B°=qE°+mg仍成

立，微粒做匀速直线运动，历时。.1万($)至D。到D点，电场、磁场同时反向。在。一>A的运动

阶段，因qE0=mg,洛伦兹力qvB°提供向心力，运动。阮(s)至A。到A,电场反向。此后，微

粒周期性重复上述运动。因此，如果微粒在t=0.5笈(5)的时刻开始运动，也能实现题设运动，考虑

到所有情况，微粒从A点开始运动的时刻应为答案中所给出的通式。

(2)

:qvBq=qE()+mg,qE°=mg

mvvT=nm=0.2.?r(5)/.v=2m/s

•••f=kqB°

qB(、2g

vr=—.\BC=2r=0Am

qB0

15.(05年北京)如图所示,坐标系何在竖直平面为，

空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强

度大小为8,在筋>0的空间里有沿x轴正方向的匀强电

场，场强的大小为M一个带正电的小球经过图中x轴上

的/点，沿着与水平方向成氏30。角的斜向下直线做匀速运动，经过y轴上的8点进

入x<0的区域，要使小球进入x<0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，需在x<0[x

域内另加一匀强电场。若带电小球做圆周运动通过x轴上的C点,日设重力

加速度为g,求：

(1)小球运动速率的大小。

(2)在x<0的区域所加电场大小和方向。

(3)小球从8点运动C点所用时间及。力的长度。

答案：(1)油滴从A运动到B的过程中，油滴受重力、电场力和洛仑兹力作用而

•必

处于平衡状态，由题设条件知：因y所以油滴的

运动速率为：u・—下

(2)油滴在x<0的区域作匀速圆周运动，则油滴的重力

与所受的电场力平衡，洛仑兹力提供油滴作圆周运动的向心力。所以：,咤二。歹又

3••更

所以『=屈方向竖直向上

(3加右图所示连接BC过B作AB的垂线交x轴于6。因为/0=30。所以在^ABO/

中,/AO/B=60。，ROA=OC故/OCB=e=30。，所以/CBO/=30。，0£=0出，

则0/为油滴作圆周运动的圆心。

R.空T2m

设油滴作圆周运动的半径为R,周期为T,则O<=O/B=R且：■而■函

\I2jfm

fl•-XT―：・二一

由于/CO/B=120。，油滴从B运动到C的时间为33Bq

J.工

又/0书0=30。所以0/0=20/B=2

132尺.网

所以OC=R+^R=^R即OA=22Bq

ynJ3E,2扬E〜3闻2

又9g,所以3Bq

16、如图7所示，X轴上方有匀强磁场B,下方有竖直向下匀强电场E。电量为q、质量为m(重

力不计)，粒子静止在y轴上。X轴上有一点N(L.O),要使粒子在y轴上由静止释放而能到达N点,

问：(1)粒子应带何种电荷？释放点M应满足什么条件？(2)粒子从M点运动到N点经历多长的时间？

【解析】：(1)粒子由静止释放一定要先受电场力作用(磁场对静止电荷没有作用力)，所以M点要

在-Y轴上。要进入磁场必先向上运动，静上的电荷要向上运动必须受到向上的电场力作用，而场强E

方向是向下的，所以粒子带负电。

(2)粒子在M点受向上电场力，从静止出发做匀加速运动。在。点进入匀强磁场后，只受洛仑兹力(方

向沿+X轴)做匀速周围运动，经半个周期，回到X轴上的P点，进入匀强电场，江电场力作用下做

匀减速直线运动直到速度为零。然后再向上做匀加速运动，在X轴上P点进入匀强磁场，做匀速圆

运动，经半个周期回到X轴上的Q点，进入匀强电场，再在电场力作用下做匀减速运动直到速度为

零。此后，粒子重复上述运甲直到X轴

上的N点，运动轨迹如图8回。xxXfY

2

则：qEyo=mV①图7

图7

在匀强磁场中粒子以速率V做匀速圆周

运动，有：qBV=mV2/R②

设n为粒子做匀速圆周运动的次数(正整数)则：L=n2R,所以R=L/2n③

解①②③式得：V=qBL/2mn,所以yo=qB2L2/8MmE(式中n为正整数)

⑵粒子由M运动到N在电场中的加速运动和减速运动的次