2024-2025学年北京市中国人民大学附中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市中国人民大学附中高一（下）期末数学试卷第Ⅰ卷（共100分）一、单选题：本大题共10小题，共40分。1.sin405°=(

)A.1 B.−12 C.32.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,1)，则z的共轭复数z−的对应点的坐标是(

)A.(0,−1) B.(1,−1) C.(−1,1) D.(−1,−1)3.若α为第三象限角，则下列各式的值为负数的是(

)A.sin(π+α) B.cos(π+α) C.sin(π−α)4.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点(t,2t)，t>0，则cosα=(

)A.55 B.−55 5.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位后与函数g(x)的图象重合，则函数g(x)为(

)A.sin(2x−π6) B.sin(2x+π6.设向量a,b满足(a+b)//b.A.(1,0) B.(22,27.在△ABC中，∠C=π6，则b2+A.(−2,2) B.(−1,1) C.( −328.在四边形ABCD中，“|AC|=|AB+AD|A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中−π2≤φ≤π2，若∀t>0，f(x)在区间[−t+A.− π6 B.π6 C.− 10.在同一平面内，对于△ABC及半径为r的圆O，若△ABC的顶点A，B，C满足AO≤r，BO≤r，CO≤r，则称△ABC被圆O完全覆盖.已知△ABC，AB=2，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知.条件①sinC=35；条件②cosC=12；条件③AB⋅BC=1A.①② B.②③ C.③④ D.①④二、填空题：本大题共5小题，共20分。11.已知复数z满足i⋅z=1+i，其中i为虚数单位，则z的虚部为______．12.若tanθ=2，则tan2θ=______．13.智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行200m，然后沿北偏西60°方向继续前行了300m，则此时机器人与出发点的距离为______m.14.某正方形网格纸是由6×6个边长为1的小正方形构成，点A，B，C，D的位置如图所示，动点P在正方形网格纸内(包含边界)，记T=(PC+λPD)⋅AB(λ∈R).当λ=−1时，T=______；当λ=1时，若动点P在小正方形的顶点上，则满足15.已知函数F(x)=sin(2πf1x)+sin(2πf2x)，其中f1,f2∈N∗,且f1≠f2.给出下列四个结论：

①函数F(x)是奇函数；三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知向量a,b，|a|=3，|b|=2，〈a,b〉=π3．

(1)求a⋅b；

(2)若λa+17.已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)+2cos2ωx−1(ω>0)，且y=f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．

(1)求f(0)的值；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)若f(x)18.在△ABC中，∠A为钝角，3atanB=2bsinA．

(1)求∠B；

(2)若a=43，b=13，D为AB边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ACD存在且唯一确定，求△ACD的面积．

条件①：DC=4；

条件②：sin∠ADC=13；

条件③：△ACD的周长为5+19.对任意正整数n，定义集合An={(x1,x2,x3,x4)|−n≤xi≤n，xi∈Z，i=1，2，3，4}.设α=(a1,a2,a3,a4)，β=(b1,b2,b3,b4)∈An定义：α−β=(a1−b1,a2−b2,a3−b3,a4第Ⅱ卷（共50分）四、单选题：本大题共4小题，共20分。20.在空间中，直线l1⊥直线l2，直线l3，l4满足：l3⊥l1，l3⊥lA.垂直 B.平行 C.相交 D.异面21.如图，在三棱锥P−ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD/​/平面PEF，则AFFC的值为(

)A.1

B.2

C.12

D.22.在手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形纸片折成了一个圆锥(无裁剪无重叠)，接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如图.已知该彩球的表面积为16πcm2，则该冰淇淋模型的高(圆锥顶点到球面上点的最远距离)为(

)A.(2+3)cm

B.(2+23)cm23.如图，已知两个四棱锥P1−ABCD与P2−ABCD的公共底面是边长为2的正方形，顶点P1、P2在底面的同侧，棱锥的高P1O1=P2O2=3，O1、O2分别为AB、CDA.374 C.974五、填空题：本大题共3小题，共15分。24.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______．25.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F是CC1的中点，点P为正方形ABCD内26.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E是棱AA1上的一个动点，平面BED1与棱CC1交于点F．

(1)给出下列三个结论：

①四棱锥B1−BED1F的体积为定值；

②四边形BED1F可能是正方形；

③若在棱DC上存在点P，使得AP//平面BED1，则线段A1E∈[0,1三、解答题：本题共1小题，共15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。27.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，且AB=4，BC=3，PA=AD=5，∠ABC=90°，E是CD的中点，CD=25．

(I)求证：CD⊥平面PAE；

(Ⅱ)设平面PBC∩平面PAD=l，判断并证明l与平面ABCD的位置关系；

(Ⅲ)判断四棱锥P−ABCE是否存在外接球，如果存在，直接指出球心O的位置，并写出球O的体积；如果不存在，请说明理由．

参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

6.B

7.D

8.B

9.D

10.A

11.−1

12.−413.10014.4

7

15.①③④

16.(1)因为|a|=3，|b|=2，<a，b>=π3，

所以a⋅b=|a||b|cosπ3=2×3×12=3．

(2)因为λa+b与a垂直，所以(λa17.(1)由题意得f(0)=sinπ6+2−1=32．

(2)f(x)=sin(2ωx+π6)+2cos2ωx−1=32sin2ωx+12cos2ωx+cos2ωx

=32sin2ωx+32cos2ωx=3sin(2x+π3)，

根据y=f(x)相邻两条对称轴之间的距离为π2，

可得f(x)的周期T=2×π2=π，即2π2ω=π，解得ω=118.(1)根据3atanB=2bsinA，可得3asinB=2bsinAcosB．

在三角形ABC中，根据正弦定理得3sinAsinB=2sinAsinBcosB．

由于sinB>0，sinA>0，

因此cosB=32．

又因为0<∠B<π，因此∠B=π6．

(2)如果选条件①：DC=4．

在三角形ABC中，根据正弦定理可得bsinB=asinA，因此可得sinA=43sinπ613=23913．

由于∠A为钝角，因此cosA=−1313．

在三角形ACD中，由于DC=4，根据余弦定理DC2=AC2+AD2−2AC⋅ADcosA，

可得16=13+AD2−213⋅AD⋅(−1313)．

解得AD=1或AD=−3(舍)．

因此SΔACD=12AD⋅ACsinA=12×1×13×19.(1)解：因为−1，2，0，1∈[−2,2]，[−1,1]⊆[−2,2]，

所以(−1,2,0,1)∈A2；A1⊆A2．

(2)证明：设α=(a1,a2,a3,a4)∈Ar，β=(b1,b2,b3,b4)∈As，

所以有：−r≤ai≤r，−s≤bi≤s，ai，bi∈Z，i=1，2，3，4，

则−(r+s)≤ai−bi≤r+s，ai−bi∈Z，i=1，2，3，4，

所以α−β∈Ar+s．

(3)解：设λ=(c1,c2,c3,c4)∈A2，

则有：ci∈{−2,−1,0,1,2}，i=1，2，3，4．

∵α⋅λ=2c1+2c3+5c4=0，

所以c4必为偶数，因此c4∈{−2,0,2}．

当c4=−2时，c1+c3=5，但c1+c3≤4，不可能；

当c20.B

21.C

22.B

23.B

24.1325.526.①③

[2,+∞)

27.(I)证明：如图，连接AC，

因为AB=4，BC=3，∠ABC=90°，所以AC=5，

因为AD=5，E为CD中点，所以AE⊥CD，

因为PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，

因为AE∩PA=A，AE、PA⊂平面PAE，所以CD⊥平面PAE；

(Ⅱ)l//平面ABCD，证明如下：

因为BC//AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC//平面PAD，

因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，所以l//BC，

因为l⊄