2025年高考数学模拟检测：立体几何突破解题方法与实战试题

2025年高考数学模拟检测：立体几何突破解题方法与实战试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1，则二面角A-PC-B的余弦值是（）A.B.C.D.2.已知正方体ABCDA1-B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，则三棱锥A-EF1的体积是（）A.B.C.D.3.过点P(1,2)作直线l，使得l与圆C：(x-1)2+(y+1)2=4相切，且直线l的斜率存在，则直线l的方程是（）A.y=-2x+4B.y=2xC.y=-2xD.y=2x-44.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是棱PC的中点，则三棱锥E-ABD的体积是（）A.B.C.D.5.已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，则向量a+b与向量a-b的夹角余弦值是（）A.B.C.D.6.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，则点A1到平面BCC1B1的距离是（）A.B.C.D.7.已知直线l1：x+y=1与直线l2：ax-y=2相交于点P，且∠OPP1=90°，其中O为坐标原点，P1为点P在x轴上的投影，则实数a的值是（）A.B.C.D.8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，则点A1到平面BC1D的的距离是（）A.B.C.D.9.已知圆C：(x+1)2+(y-2)2=1的圆心为C，点A(0,0)，则过点A且与圆C相切的直线斜率的绝对值是（）A.B.C.D.10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，AB⊥AC，PA=2，AB=AC=1，则二面角A-PBC的余弦值是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是棱PC的中点，则三棱锥E-ABD的体积是_________。12.已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，则向量a+b与向量a-b的夹角余弦值是_________。13.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，则点A1到平面BCC1B1的距离是_________。14.已知直线l1：x+y=1与直线l2：ax-y=2相交于点P，且∠OPP1=90°，其中O为坐标原点，P1为点P在x轴上的投影，则实数a的值是_________。15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，则点A1到平面BC1D的距离是_________。（请注意，以上题目中的空格部分应填写具体的答案选项，例如A、B、C或D，以及具体的数值。由于题目中未给出具体的数值，因此这里以空格代替。）三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1，求二面角A-PC-B的余弦值。17.（本小题满分12分）已知正方体ABCDA1-B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，求三棱锥A-EF1的体积。18.（本小题满分14分）过点P(1,2)作直线l，使得l与圆C：(x-1)2+(y+1)2=4相切，且直线l的斜率存在，求直线l的方程。19.（本小题满分14分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是棱PC的中点，求三棱锥E-ABD的体积。20.（本小题满分14分）已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，求向量a+b与向量a-b的夹角余弦值。四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.（本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，求点A1到平面BCC1B1的距离。22.（本小题满分12分）已知直线l1：x+y=1与直线l2：ax-y=2相交于点P，且∠OPP1=90°，其中O为坐标原点，P1为点P在x轴上的投影，求实数a的值。23.（本小题满分14分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，求点A1到平面BC1D的距离。24.（本小题满分14分）已知圆C：(x+1)2+(y-2)2=1的圆心为C，点A(0,0)，求过点A且与圆C相切的直线斜率的绝对值。25.（本小题满分14分）在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，AB⊥AC，PA=2，AB=AC=1，求二面角A-PBC的余弦值。五、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）26.（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是棱PC的中点，求三棱锥E-ABD的体积。27.（本小题满分12分）已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，求向量a+b与向量a-b的夹角余弦值。28.（本小题满分14分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，求点A1到平面BCC1B1的距离。29.（本小题满分14分）已知直线l1：x+y=1与直线l2：ax-y=2相交于点P，且∠OPP1=90°，其中O为坐标原点，P1为点P在x轴上的投影，求实数a的值。30.（本小题满分14分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，求点A1到平面BC1D的距离。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：C解析：首先，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)。向量PB=(1,0,-1)，向量PC=(0,1,-1)。设二面角A-PC-B的平面角为θ，则cosθ=|cos〈PB,PC〉|=|PB·PC|/|PB||PC|=|1×0+0×1+(-1)×(-1)|/√2×√2=1/2。因为二面角的取值范围是[0,π]，所以θ=π/3，余弦值为1/2。故选C。2.答案：B解析：连接AE，EF1，BE。因为E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，所以EF1平行于BC1。又因为BC1垂直于平面BB1CC1，所以EF1垂直于平面BB1CC1。又因为A在平面BB1CC1外，所以三棱锥A-EF1的体积V=1/3×S△BEF1×AA1。S△BEF1=1/2×BE×EF1=1/2×√2×1=√2/2。AA1=2。所以V=1/3×√2/2×2=√2/3。故选B。3.答案：A解析：设直线l的方程为y=k(x-1)+2。因为直线l与圆C相切，所以圆心(1,-1)到直线l的距离等于半径2。即|k×1+1×(-1)+2|/√(k^2+1)=2。解得k=-2或k=2/9。因为题目要求直线l的斜率存在，所以k=-2。所以直线l的方程为y=-2x+4。故选A。4.答案：D解析：连接AE，BE，CE。因为E是棱PC的中点，所以AE=BE=CE。又因为PA⊥平面ABCD，所以三棱锥P-ABD的体积V=1/3×S△ABD×PA。S△ABD=1/2×2×2=2。PA=2。所以V=1/3×2×2=4/3。同理，三棱锥E-ABD的体积V1=1/3×S△ABD×AE=1/3×2×√2=2√2/3。所以三棱锥E-ABD的体积是三棱锥P-ABD体积的1/3。故选D。5.答案：C解析：向量a+b=(3,1,4)，向量a-b=(-1,3,2)。设向量a+b与向量a-b的夹角为θ，则cosθ=|cos〈a+b,a-b〉|=|a+b·a-b|/|a+b||a-b|=|3×(-1)+1×3+4×2|/√(3^2+1^2+4^2)×√((-1)^2+3^2+2^2)=|11|/√26×√14=11/√364=11/2√91。故选C。6.答案：A解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(√3,0,0)，C(0,√3,0)，A1(0,0,3)，B1(√3,0,3)，C1(0,√3,3)。平面BCC1B1的法向量n=(0,0,1)。点A1到平面BCC1B1的距离d=|n·A1|/|n|=|0×0+0×0+1×3|/1=3。故选A。7.答案：B解析：联立直线l1：x+y=1与直线l2：ax-y=2，解得交点P((2a+2)/(a+1),(a-2)/(a+1))。点P在x轴上的投影P1((2a+2)/(a+1),0)。向量OP=(2a+2)/(a+1),(a-2)/(a+1)，向量PP1=(0,(-a-2)/(a+1))。因为∠OPP1=90°，所以向量OP·向量PP1=0。即(2a+2)/(a+1)×0+(a-2)/(a+1)×(-a-2)/(a+1)=0。解得a=1。故选B。8.答案：B解析：以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系。则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(1,2,0)，A1(0,2,3)，C1(1,0,3)，B1(1,2,3)。平面BC1D的法向量n=(0,-1,1)。点A1到平面BC1D的距离d=|n·A1|/|n|=|0×0+(-1)×2+1×3|/√1+1=√2。故选B。9.答案：D解析：圆心C(-1,2)，半径r=1。设过点A且与圆C相切的直线斜率为k，则直线方程为y=kx。圆心到直线的距离等于半径。即|-k×1-2×2|/√(k^2+1)=1。解得k=±√15/15。斜率的绝对值是√15/15。故选D。10.答案：C解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)。向量AB=(1,0,0)，向量AC=(0,1,0)，向量PA=(0,0,2)。设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)。则n·AB=0，n·AC=0。即x=0，y=0。设z=t。则n=(0,0,t)。设平面PBC的法向量为m=(x',y',z')。则m·AB=0，m·AC=0。即x'=0，y'=0。设z'=s。则m=(0,0,s)。二面角A-PBC的平面角θ=〈n,m〉。cosθ=|cos〈n,m〉|=|n·m|/|n||m|=0。故θ=π/2，余弦值为0。故选C。二、填空题答案及解析11.答案：2√2/3解析：同第四题解析。12.答案：11/2√91解析：同第一题选择题第5小题解析。13.答案：3√3/2解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(√3,0,0)，C(0,√3,0)，A1(0,0,3)，B1(√3,0,3)，C1(0,√3,3)。平面BCC1B1的法向量n=(0,0,1)。点A1到平面BCC1B1的距离d=|n·A1|/|n|=|0×0+0×0+1×3|/1=3。故选3√3/2。14.答案：1解析：同第七题选择题解析。15.答案：√2解析：以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系。则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(1,2,0)，A1(0,2,3)，C1(1,0,3)，B1(1,2,3)。平面BC1D的法向量n=(0,-1,1)。点A1到平面BC1D的距离d=|n·A1|/|n|=|0×0+(-1)×2+1×3|/√1+1=√2。故选√2。三、解答题答案及解析16.答案：1/2解析：同第一题选择题第1小题解析。17.答案：√2/3解析：同第二题选择题第2小题解析。18.答案：y=-2x+4解析：同第三题选择题第3小题解析。19.答案：2√2/3解析：同第四题选择题第4小题解析。20.答案：11/2√91解析：同第一题选择题第5小题解析。四、解答题答案及解析21.答案：√3/2解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(√3,0,0)，C(0,√3,0)，A1(0,0,3)，B1(√3,0,3)，C1(0,√3,3)。平面BCC1B1的法向量n=(0,0,1)。点A1到平面BCC1B1的距离d