2025年新高考数学模拟检测卷（数列与数列极限证明题专项试题）

2025年新高考数学模拟检测卷（数列与数列极限证明题专项试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/S_{n-1}（n≥2），那么数列{a_n}一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.无法确定2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_{n+1}=b_n+2^n（n∈N*），则b_6的值为（）A.64B.62C.32D.303.在等差数列{c_n}中，若c_3+c_7=18，c_5=9，则公差d的值为（）A.2B.3C.4D.54.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=3^n-1，那么a_5的值为（）A.24B.48C.96D.1925.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n（n∈N*），则e_5的值为（）A.15B.31C.45D.556.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则f_1的值为（）A.3B.9C.18D.277.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=n^2+n，那么a_3的值为（）A.7B.9C.11D.138.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n（n∈N*），则h_4的值为（）A.16B.22C.28D.349.在等差数列{i_n}中，若i_1=2，i_5=10，则前5项和S_5的值为（）A.30B.40C.50D.6010.已知数列{j_n}的前n项和为S_n=2^n-1，那么a_4的值为（）A.8B.16C.24D.32二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。请将答案填在答题卡对应位置。）11.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_5=64，则公比q的值为______。12.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，那么a_4的值为______。13.在等差数列{c_n}中，若c_1=3，c_4=15，则前7项和S_7的值为______。14.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+3^n（n∈N*），则d_5的值为______。15.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=2^n-1，那么a_6的值为______。（接下文继续第三、四、五题）三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2）。（1）求证：数列{a_n}是等差数列；（2）若数列{a_n}的前n项和为T_n，且T_n=32，求n的值。17.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_3=81。（1）求公比q；（2）若将数列{b_n}中的每一项都减去2，得到新数列{c_n}，求新数列{c_n}的前4项和。18.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求a_5的值。19.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n^2（n∈N*），求e_4的值。20.在等差数列{f_n}中，若f_1=5，f_3=13，求前10项和S_10的值。四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。请写出证明过程。）21.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N*），求证：数列{a_n+1}是等比数列。22.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2b_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列。五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。请结合所学知识解决问题。）23.在等差数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=10，求c_9的值。24.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=3^n-1，求a_3+a_4+a_5的值。25.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n（n∈N*），求e_1+e_2+e_3+e_4+e_5的值。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：B解析：由题意知a_1=1，a_n=S_n/S_{n-1}（n≥2），则a_2=S_2/S_1=a_1+a_2/a_1，解得a_2=a_1^2=1。同理，a_3=S_3/S_2=a_2+a_3/a_2，代入a_2=1解得a_3=1。观察发现a_n=a_{n-1}^2，递推下去可得数列{a_n}为1,1,1,...，显然是等比数列，公比q=1。2.答案：A解析：由题意知b_1=2，b_{n+1}=b_n+2^n，则b_2=b_1+2^1=2+2=4，b_3=b_2+2^2=4+4=8，b_4=b_3+2^3=8+8=16，b_5=b_4+2^4=16+16=32，b_6=b_5+2^5=32+32=64。故b_6=64。3.答案：A解析：由题意知c_3+c_7=18，c_5=9。根据等差数列性质，c_3+c_7=2c_5，代入得2c_5=18，解得c_5=9。又因为c_5=c_1+4d=9，所以c_1+4d=9。又因为c_1=c_5-4d=9-4d。将c_1代入c_1+4d=9，得9-4d+4d=9，解得d=2。4.答案：C解析：由题意知S_n=3^n-1，则a_1=S_1=3^1-1=2。a_2=S_2-S_1=3^2-1-(3^1-1)=9-1-(3-1)=6。a_3=S_3-S_2=3^3-1-(3^2-1)=27-1-(9-1)=16。a_4=S_4-S_3=3^4-1-(3^3-1)=81-1-(27-1)=52。a_5=S_5-S_4=3^5-1-(3^4-1)=243-1-(81-1)=162。故a_5=96。5.答案：B解析：由题意知e_1=1，e_{n+1}=e_n+n，则e_2=e_1+1=1+1=2，e_3=e_2+2=2+2=4，e_4=e_3+3=4+3=7，e_5=e_4+4=7+4=11。故e_5=31。6.答案：D解析：由题意知f_2=6，f_4=54。根据等比数列性质，f_4=f_2*q^2，代入得54=6*q^2，解得q^2=9，故q=3。又因为f_1=f_2/q=6/3=2。故f_1=27。7.答案：B解析：由题意知S_n=n^2+n，则a_1=S_1=1^2+1=2。a_2=S_2-S_1=2^2+2-(1^2+1)=4+2-2=4。a_3=S_3-S_2=3^2+3-(2^2+2)=9+3-6=6。a_4=S_4-S_3=4^2+4-(3^2+3)=16+4-12=8。a_5=S_5-S_4=5^2+5-(4^2+4)=25+5-20=10。故a_3=9。8.答案：A解析：由题意知h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n，则h_2=2h_1+1=2*1+1=3，h_3=2h_2+2=2*3+2=8，h_4=2h_3+3=2*8+3=19。故h_4=16。9.答案：B解析：由题意知i_1=2，i_5=10。根据等差数列性质，i_5=i_1+4d=10，代入得2+4d=10，解得d=2。又因为S_5=5i_1+10d=5*2+10*2=40。故S_5=40。10.答案：D解析：由题意知S_n=2^n-1，则a_1=S_1=2^1-1=1。a_2=S_2-S_1=2^2-1-(2^1-1)=4-1-(2-1)=2。a_3=S_3-S_2=2^3-1-(2^2-1)=8-1-(4-1)=4。a_4=S_4-S_3=2^4-1-(2^3-1)=16-1-(8-1)=8。故a_4=32。二、填空题答案及解析11.答案：2解析：由题意知a_3=8，a_5=64。根据等比数列性质，a_5=a_3*q^2，代入得64=8*q^2，解得q^2=8，故q=2。12.答案：10解析：由题意知S_n=n(n+1)，则a_1=S_1=1*(1+1)=2。a_2=S_2-S_1=2*(2+1)-(1*(1+1))=6-2=4。a_3=S_3-S_2=3*(3+1)-(2*(2+1))=12-6=6。a_4=S_4-S_3=4*(4+1)-(3*(3+1))=20-12=8。故a_4=10。13.答案：63解析：由题意知c_1=3，c_4=15。根据等差数列性质，c_4=c_1+3d=15，代入得3+3d=15，解得d=4。又因为S_7=7c_1+21d=7*3+21*4=63。故S_7=63。14.答案：62解析：由题意知d_1=2，d_{n+1}=d_n+3^n，则d_2=d_1+3^1=2+3=5，d_3=d_2+3^2=5+9=14，d_4=d_3+3^3=14+27=41，d_5=d_4+3^4=41+81=122。故d_5=62。15.答案：63解析：由题意知S_n=2^n-1，则a_1=S_1=2^1-1=1。a_2=S_2-S_1=2^2-1-(2^1-1)=4-1-(2-1)=2。a_3=S_3-S_2=2^3-1-(2^2-1)=8-1-(4-1)=4。a_4=S_4-S_3=2^4-1-(2^3-1)=16-1-(8-1)=8。a_5=S_5-S_4=2^5-1-(2^4-1)=32-1-(16-1)=16。a_6=S_6-S_5=2^6-1-(2^5-1)=64-1-(32-1)=32。故a_6=63。三、解答题答案及解析16.解析：（1）证明：由题意知a_1=2，a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2），则a_2=S_2-S_1+1=a_1+a_2+1-S_1+1=a_1+a_2+1-a_1+1=a_2+2。解得a_2=-2。同理，a_3=S_3-S_2+1=a_2+a_3+1-S_2+1=a_2+a_3+1-a_2-1+1=a_3。观察发现a_n=a_{n-1}，故数列{a_n}是等差数列，公差d=0。（2）解：由（1）知数列{a_n}是等差数列，公差d=0，故a_n=a_1=2。又因为T_n=32，所以2n=32，解得n=16。17.解析：（1）由题意知b_1=3，b_3=81。根据等比数列性质，b_3=b_1*q^2，代入得81=3*q^2，解得q^2=27，故q=3。（2）由（1）知新数列{c_n}的公比q=3，故c_1=b_1-2=3-2=1，c_2=b_2-2=3*3-2=7，c_3=b_3-2=3*3*3-2=23，c_4=b_4-2=3*3*3*3-2=77。故新数列{c_n}的前4项和为1+7+23+77=108。18.解析：由题意知S_n=n^2+n，则a_1=S_1=1^2+1=2。a_2=S_2-S_1=2^2+2-(1^2+1)=4+2-2=4。a_3=S_3-S_2=3^2+3-(2^2+2)=9+3-6=6。a_4=S_4-S_3=4^2+4-(3^2+3)=16+4-12=8。a_5=S_5-S_4=5^2+5-(4^2+4)=25+5-20=10。故a_5=10。19.解析：由题意知e_1=1，e_{n+1}=e_n+n^2，则e_2=e_1+1^2=1+1=2，e_3=e_2+2^2=2+4=6，e_4=e_3+3^2=6+9=15。故e_4=15。20.解析：由题意知f_1=5，f_3=13。根据等差数列性质，f_3=f_1+2d=13，代入得5+2d=13，解得d=4。又因为S_10=10f_1+45d=10*5+45*4=250。故S_10=250。四、证明题答案及解析21.证明：由题意知a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N*），则a_2=2a_1+1=2*1+1=3，a_3=2a_2+1=2*3+1=7，a_4=2a_3+1=2*7+1=15。观察发现a_{n+1}+1=2(a_n+1)，故数列{a_n+1}是等比数列，公比q=2。22.证明：由题意知S_n=2b_n-1，则b_1=S_1=2b_1-1，解得b_1=1。当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2b_n-1-(2b_{n-1}-1)=2b_n-2b_{n-1}，整理得b_n=2b_{n-1}。故数列{b_n}是等比数列，公比q=2。五、综合题答案及解析23.解析：由题意知c_1=2，c_4=10。根据等差数列性质，c_4=c_1+3d=10，代入得2+3d=10，解得d=2。又因为c_9=c_1+8d=2+8*2=18。故c_9=18。24.解析：由题意知S_n=3^n-1，