2024-2025学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}中，a1=2,aA.5 B.6 C.7 D.82.(1−2x)5的展开式中，x3的系数为A.40 B.−40 C.80 D.−803.函数f(x)=exx−3的单调递减区间为A.(−∞,3) B.(−∞,4) C.(−∞,3)和(3,4) D.(−∞,3)和(3,5)4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记X为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量X的方差D(X)=(

)A.2 B.1 C.12 D.5.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3+a10A.S4 B.S5 C.S66.已知P(A)=25，P(B)=411，P(B|A)=15A.12 B.511 C.347.已知函数f(x)=(x−a2)(x−1)2在x=1处取得极小值，则实数A.−1<a<1 B.a<−1或a>1 C.−1<a<0 D.0<a<18.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为(

)A.13 B.49 C.59二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知某地10月份第x天的平均气温为y(单位：℃)，x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据(xi,yi)(i=1,2,A.x，y负相关

B.第8天的平均气温为18℃

C.前7天平均气温的平均数为19℃

D.若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大10.已知随机变量X～N(−1,12)，Y～N(3,1A.E(X)=E(Y−3) B.D(3X)=9D(Y)

C.P(X<1)=P(Y>1) D.P(X≤−2)+P(Y≥2)=111.烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出如图：图①将樱花抽象后，得樱花数a1=1，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数a2=6，以此类推.假设第n个图的樱花数是an，设数列{an}A.an=6an−1

B.Sn=5n+1−516−n4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等比数列{an}的公比为q，若a3+a4=313.已知函数f(x)=x2+lnx−ax，若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+4y−1=0相互垂直，则a=14.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有

种.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知(x+mx)n的展开式的二项式系数和为128．

(Ⅰ)求n的值；

(Ⅱ)若展开式的第4项的系数为16.(本小题15分)

某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下(单位：个)：学校企业自由开发者有需求3m1702n无需求m120n已知调查了400个学校和150个自由开发者．

(Ⅰ)求m和n的值；

(Ⅱ)估计目标用户对该设备有需求的概率；

(Ⅲ)是否有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？附：χ2=P(0.10.010.001k2.7066.63510.82817.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且满足b1=3a1=3，b2=S2+6，b3=S18.(本小题17分)

已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．

(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)．

(1)当a=1时，求f(x)的最小值；

(2)求函数g(x)=f(x)−(x−1)lnx的极值；

(3)当a=2时，不等式k(x−1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，求整数k的最大值．

答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了数列递推关系，代值计算能力．

代值计算即可，属于基础题．

【解答】

解：∵a1=2，an+1=an+n，

∴a2=2.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3【解答】

解：二项式(1−2x)5展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅(−2x)r，

3.【答案】C

【解析】解：因为函数f(x)=exx−3，

那么导函数f′(x)=(x−4)ex(x−3)2，令导函数f′(x)=(x−4)ex(x−3)2<0，那么可得x<4且x≠3，

因此4.【答案】B

【解析】解：因为抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上的点数不大于3”的概率p=36=12，

所以X～B(4,12)，

所以D(X)=4×12×(1−5.【答案】C

【解析】解：因为数列{an}是等差数列，所以S11=11(a1+a11)2=11a6<0，则a6<0，

因为a6+a7=a3+a10>0，所以a7>0，

所以公差d=a7−a6>0，6.【答案】C

【解析】解：∵P(A)=25，P(B)=411，P(B|A)=1522，

∴P(AB)=P(A)P(B|A)=25×1522=37.【答案】A

【解析】解：函数f(x)=(x−a2)(x−1)2，

则f′(x)=(x−1)2+2(x−a2)(x−1)=(x−1)(3x−1−2a2)，

令f′(x)=0，可得x=1或x=1+2a23，

因为函数f(x)在x=1处取得极小值，

所以在x=1两侧导数需满足左负右正，

所以1+2a8.【答案】B

【解析】解：质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，

记向左移动的次数为X，

则P(X=1)=C31(13)1(23)2=49，

即经过3次移动后，该质点位于1处的概率为9.【答案】AC

【解析】解：因为−14<0，所以A正确；

第8天的平均气温的预测值为18℃，但实际值不一定是18℃，B错误；

由x−=4，及(x−,y−)在经验回归直线上，得y−=19，C正确；

因为x，y负相关，所以相关系数r<0，

剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点后，|r|10.【答案】BCD

【解析】解：已知随机变量X～N(−1,12)，Y～N(3,12)，

对于A，由题意，得

E(X)=−1，E(Y)=3，而

E(Y−3)=E(Y)−3=3−3=0，故A错误；

对于B，又

D(X)=1，则

D(3X)=9D(X)

=9，而

D(Y)=1，

所以

D(3X)=9D(Y)，故B正确；

对于C，因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线

x=1

对称，

所以

P(X<1)=P(Y>1)，故C正确；

对于D，由对称性，得

P(X≤−2)=P(X≥0)=P(Y≤2)，

所以

P(X≤−2)+P(Y≥2)=P(Y≤2)+P(Y≥2)=1，故D正确．

故选：BCD．

由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布方差的性质可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得11.【答案】BCD

【解析】解：由题意可得a1=1，a2=1+5=6，a3=1+5+52=31，…，an=1+5+52+53+...+5n−1=1−5n1−5=5n−14，

即有Sn=14×5(1−5n)1−5−n4=5n+1−516−n12.【答案】−2

【解析】解：等比数列{an}的公比为q，a3+a4=3，a3−a5=9，

则a13.【答案】−1

【解析】解：因为f(x)=x2+lnx−ax，所以f′(x)=2x+1x−a，

又曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+4y−1=0相互垂直，

所以f′(1)×(−14)=−14(3−a)=−1，所以a=−1．

故答案为：14.【答案】260

【解析】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，

则四个区域最少种两种花，最多种4种花，

所以分三类：

若A和C相同，B和D相同时，有A52=20种方法，

若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有C53(C31A22+15.【答案】解：(Ⅰ)(x+mx)n的展开式的二项式系数和为128，得2n=128，解得n=7；

(Ⅱ)若展开式的第4项的系数为−280，即C【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】(Ⅰ)m=100，n=50；

(Ⅱ)1928；

(Ⅲ)有99%【解析】解：(Ⅰ)由题意可知，3m+m=4002n+n=150，

解得m=100n=50；

(Ⅱ)由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为P=300+170+100400+290+150=1928；学校用户非学校用户总计有需求300270570无需求100170270总计400440840零假设H0：学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异，

由表格得χ2=840(300×170−100×270)2400×440×570×270=11200627≈17.863>6.635，

根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立，

所以有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异．

(Ⅰ)根据题意列出关于m，n的等量关系式即可求解；17.【答案】an=n，bn=3n【解析】(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且满足b1=3a1=3，b2=S2+6，b3=S3+21，

设等差数列{an}的公差为d，数列{bn}的等比为q，

则a1=1，b1=3，b1q=2a1+d+6，b1q2=3a1+3d+21，

即3q−d=8且q2−d=8，

解得d=1，q=3，

所以{18.【答案】分布列见详解；E(X)=1；

29112．【解析】(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，

由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，则有：

P(X=0)=C20C2X012P121所以随机变量X的期望E(X)=0×16+1×23+2×16=1；

(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，

若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；

第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球，

记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件A1，A2，A3，

第二次摸到的是3号球为事件B，

则P(A1)=24,P(A2)=P(19.【答案】−e−2；

当a≥0时，函数g(x)不存在极值；

当a<0时，函数g(x)存在极大值ln(−1a)−1，此时x=−【解析】(1)当a=1时，f(x)=x+xlnx，定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=lnx+2，

令f′(x)=0，得x=e−2，

当x∈(0,e−2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(e−2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴当x=e−2时，函数f(x)取得最小值，即f(e−2)=e−2+e−2lne−2=e−2−2e−2=−e−2，

∴当a=1时，f(x)的最小值为−e−2，此时x=e−2．

(2)由题意得，g(x)=f(x)−(x−1)lnx=ax+xlnx−(x−1)lnx=ax+lnx，其定义域为(0,+∞)，

则g′(x)=a+1x，

①当a≥0时，g′(x)=a+1x>0恒成立，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，

∴g(x)不存在极值；

②当a<0时，令g′(x)=a+1x=0，解得x=−1a，

∴当x∈(0,−1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当x∈(−1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

∴当x=−1a时，g(x)存在极大值g(−1a)=a(−1a)+ln(−1a)=ln(−1a)−1，无极小值；

综上所述，当a≥0时，函数g(x)不存在极值；

当a<0时，函数g(x)存在极大值ln