2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合S={s|s=2π5n+π3,n∈Z}，A.⌀ B.S C.T D.Z2.已知复数z=(3+2i)(12+3A.11 B.23 C.3.某学校高一、高二、高三年级的人数之比为2：3：2，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，高三年级抽取的人数为20人，则n=(

)A.40 B.50 C.60 D.704.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是(

)A.若m//n，n//α，则m//α B.若α⊥β，m⊂β，则m⊥α

C.若m⊥n，n⊥α，则m//α D.若α//β，m⊂β，则m//α5.已知π4<α<3π4,−A.−5665 B.5665 C.−6.命题“∃x∈[1,2]，2ax+2−a>0”为假命题的一个充分不必要条件为(

)A.(−∞,−2) B.(−∞,−2] C.(−∞,2) D.(−∞,2]7.有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，A2表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则(

)A.P(A1)=P(A2) B.A1与A2为互斥事件

C.A18.如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为(

)A.23

B.33

C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论错误的是(

)A.若向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则λ的取值范围是(−53,+∞)

B.若非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角为60°

C.若向量a，b满足(a−2b)⋅b10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若A>B，则cosA<cosB

B.若A=30°，b=5，a=2，则△ABC有两解

C.若a−c⋅cosB=a⋅cosC，则△ABC为等腰三角形或直角三角形

D.若11.若实数x，y>0，且满足x+2y=1，则下列选项正确的是(

)A.xy≤116 B.1x+2y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a>0，a≠1，若函数f(x)=loga(12ax213.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，14.甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷m+1次，乙掷m次(m≥5,m∈N∗)，设甲投掷出现偶数点的次数为X，乙投掷出现奇数点的次数为Y，则P(X>Y)=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，a+c=15，sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB．

(I)求∠C；

(Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．

条件①：cosB=−32；

条件②：b=316.(本小题15分)

2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时.安全返回天和核心舱.为了弘扬航天精神，某校组织高一学生进行了航天知识能力测试.现随机抽取100名学生的测试成绩(单位：分)，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求图中a的值；

(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；

(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格(60分以下)的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50)，[50,60)各一人的概率．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=tan(ωx+π3)(ω>0)．

(1)若ω=2，求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间(−π3,π6)上有定义．

(i)求ω的最大值；18.(本小题17分)

在四棱锥A−BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=2，AB=AC．

(1)若点P是线段AD上任意一点，且平面BCP交棱AE于点Q，求证：PQ//DE；

(2)①证明：AD⊥CE；

②设侧面ABC为等边三角形，求二面角C−AD−E的余弦值．19.(本小题17分)

若函数f(x)的定义域为D，∀x∈D都有f(m−x)+f(m+x)=2n，则称函数f(x)为中心对称函数，其中(m,n)为函数f(x)的对称中心．

(1)已知定义R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，且当x≥2时，f(x)=x2，求f(0)，f(1)的值；

(2)探究函数g(x)=x33−x2是否为中心对称函数.若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由．

(3)运用第参考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.B

6.A

7.C

8.A

9.ABD

10.AC

11.BCD

12.(2,+∞)

13.358π314.1215(Ⅰ)由正弦定理及sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，

可得a2+b2=c2+ab，由余弦定理得cosC=12，

由于∠C∈(0,π)，所以∠C=π3；

(Ⅱ)选条件①：cosB=−32，且B是△ABC的内角，因此B=5π6，

根据据三角形内角和定理，则A+5π6+π3=π，化简得：A=π−5π6−π3=π−7π6=−π6，

不符合三角形条件；

选条件②：16.(1)由题意可得(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；

(2)估计本次航天知识能力测试成绩的平均数为：

(0.010×45+0.015×55+0.015×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)×10=71；

(3)因为[40,50)，[50,60)的频率比为0.010：0.015=2：3，

设抽取的5人中[40,50)有2人为a，b、[50,60)有3人为A，B，C，

任抽2人有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10种情况，

其中分数在[40,50)，[50,60)各一人有aA，aB，aC，bA，bB，bC，共6种情况，

故所求为61017.(1)当ω=2时，f(x)=tan(2x+π3)，

则T=π2；

(2)(i)当x∈(−π3,π6)时，ωx+π3∈(−ωπ3+π3,ωπ6+π3)，ω>0，

若f(x)在(−π3,π6)上有定义，则−ωπ3+π3≥−π2ωπ6+π3≤π218.(1)证明：因为底面BCDE为矩形，所以BC//DE，

又因为BC⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，

所以BC//平面ADE．

因为BC⊂平面BCP，平面BCP∩平面ADE=PQ，

所以BC//PQ，

又因为BC//DE，

所以PQ//DE；

(2)①证明：取BC的中点F，连接FD，

设FD∩CE=O，

因为AB=AC，所以AF⊥BC，

因为侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABC∩底面BCDE=BC，AF⊂平面ABC，

所以AF⊥平面BCDE，

因为CE⊂平面BCDE，所以AF⊥CE，

因为底面BCDE为矩形，且BC=2，CD=2，BC的中点F，

可得tan∠CDF=CFCD=12=22，

tan∠CED=CDDE=22

可得∠CDF=∠CED，

所以∠ECD+∠FDC=90°，

所以CE⊥FD，

因为AF∩FD=F，AF，FD⊂平面AFD，

所以CE⊥平面AFD，

因为AD⊂平面AFD，

所以AD⊥CE；

②解：在面ACD内过点C作AD的垂线，垂足为G，连接EG，

因为底面BCDE为矩形，所以CD⊥BC，BE⊥BC，

由题意知CD⊥平面ABC，

由①知，AD⊥CE，

因为CE∩CG=C，

所以AD⊥平面CEG，

因为EG⊂平面CEG，所以AD⊥EG，

所以∠CGE即为所求二面角C−AD−E的平面角．

因为AF⊥平面BCDE，DF⊂平面BCDE，所以AF⊥DF，

因为侧面ABC为等边三角形，BC=2，

所以AF=22−12=3，

因为CD=2，CF=1，所以DF=3，

所以AD=3+319.解；(1)由在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，得f(1−x)+f(1+x)=2，

则f(0)+f(2)=2，f(1)+f(1)=2，∴f(1)=1，

当x≥2时，f