2024-2025学年湖南省湘东教学联盟高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省湘东教学联盟高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知4z=1−i(i为虚数单位)，则|z|=(

)A.2 B.22 C.4 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=64，A.−2 B.58 C.70 D.803.已知向量a，b满足|a|=2，cos<a,b>=A.2 B.3 C.2 4.已知a，b∈R，则“3a>3b”是“A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有(

)A.48种 B.72种 C.96种 D.144种6.直线x−y+m=0(m>0)与圆O：x2+y2=16相交于A，B两点，当△ABO面积最大时A.2 B.3 C.4 D.27.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E为线段CC1上的动点(A.23 B.32 C.198.已知函数f(x)=(ex−4x)(x2−ax+b)，∀x∈R，A.e2 B.e32 C.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)得到的回归直线方程为y=−2x+1，且x−=2A.变量x，y负相关

B.剔除异常点后，样本相关系数的绝对值变大

C.新回归直线经过点(2,4)

D.新回归直线的斜率是−110.抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l：y=k(x−2)过点F且与抛物线E交于A，B两点，其中点A在第一象限，则(

)A.p=4

B.当k=22时，|AB|=92

C.若点P的坐标为(3,22)，则△APF周长的最小值为11.中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的.如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动.忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为4，3，2，1.随着转动，以下说法正确的是(

)

A.小平轮转2圈，大平轮转1圈

B.AB两点距离最大为18

C.AB两点距离最小为10

D.若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=x2e13.已知数列{3n−1an}的前n项和为n⋅314.一个材质均匀的抽奖转盘被等分为10个扇形区域，分别标有数字1至10.玩家进行以下操作：

第一轮：转动转盘一次，记录数字n(不考虑指针落在交界线的情况)，若n为质数，则获得一个抽奖币，否则获得一个普通币．

第二轮：若第一轮获得抽奖币，可从抽奖池随机抽取奖励(抽奖池中包含1个一等奖、3个二等奖、6个三等奖)；若获得普通币，则从普通池中随机抽取奖励(普通池中包含2个安慰奖、8个谢谢参与)．

第三轮：若第二轮抽到一等奖或二等奖，则可再次转动转盘，若此次数字与第一轮数字之和为偶数，则额外获得终极大奖.则玩家最终获得终极大奖的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表：性别游泳合计喜欢不喜欢男生80女生20合计已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6．

(1)请完成上述列联表，并根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关；

(2)从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．

附：χ2=n(ad−bcα0.100.050.01x2.7063.8416.63516.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且a=3，bcosC+ccosB=2acosA．

(1)若△ABC的面积是334，求△ABC的周长；

(2)若△ABC17.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为3，D是BC的中点．

(1)证明：A1B//平面ADC1；

(2)求直线A1B1与平面ADC1所成角的正弦值；18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上E顶点分别为A，B，以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点F1，F2，且△F1AF2的面积为1．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A的直线l分别交圆E、椭圆C于M，N两点(异于点A)，若直线19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−axex2−1．

(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若正项数列{an}满足a参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.D

6.C

7.D

8.D

9.ABD

10.ACD

11.ABD

12.−2

13.n6n+914.22515.(1)从200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6，

则喜欢游泳的有200×0.6=120(人)，不喜欢游泳的有200−120=80(人)．

补全2×2列联表如下：性别游泳合计喜欢不喜欢男生8060140女生402060合计12080200零假设H0：喜欢游泳与性别无关，

计算得到χ2=200×(80×20−40×60)2120×80×140×60=10063≈1.587<2.706=x0.1，

根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断，H0不成立，

所以认为H0成立，即喜欢游泳与性别无关．

(2)设女生x名，男生y名，则880=x20=y60，解得x=2，y=6，

故抽取女生2X012P5153E(X)=0×51416.(1)bcosC+ccosB=2acosA，

由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，

即sinA=2sinAcosA，因为0<A<π，

则cosA=12，即A=π3．

因为S△ABC=12bcsinA=334，所以bc=3，

由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，即3=b2+c2−2×3×12，

所以b2+c2=6，

则(b+c)2=b2+c2+2bc=6+2×3=6，所以b+c=2317.(1)证明：如图，连接A1C交AC1于点O，连接OD，

则点O为A1C的中点，且D是BC的中点，

则OD为△A1BC的中位线，所以OD//A1B.

又因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B//平面ADC1．

(2)因为在正△ABC中，D是BC的中点，故AD⊥BC，

以D为坐标原点，取B1C1的中点F，分别以DA、DB、DF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,−1,0)，B(0,1,0)，A1(3,0,3)，C1(0,−1,3)，B1(0,1,3)．

故A1B1=(−3,1,0)，DA=(3,0,0)，DC1=(0,−1,3)，

设平面ADC1的法向量为m=(x,y,z)，

则m⊥DAm⊥DC1，则m⋅DA=3x=0m⋅DC1=−y+3z=0，

取m=(0,3,1)．

18.(1)因为以AB为直径的圆E过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点F1，F2.且△F1AF2的面积为1，

所以S△F1AF2=12|F1F2|⋅|OA|=12×2c×b=1,b=c.

解得b=c=1，所以a=2，

故椭圆C的方程为x22+y2=1．

(2)(ⅰ)证明：设直线l：y=kx+1，M(x2,y2)，N(x1,y1)，

由y=kx+1x22+y2=1，

得(1+219.(1)当a=1时，函数f(x)=ex−xex2−1，

因此导函数f′(x)=ex−(ex2+x2ex2)=ex2(ex2−1−x2)，

令t=x2，

那么y=ex2−1−x2，即为g(t)=et−1−t，

那么导函数g′(t)=et−1，

当t∈(0,+∞)，即x∈(0,+∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，

当t∈(−∞.0)，即x∈(−∞,0)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，

因此g(t)≥g(t)min=g(0)=0，

因此ex2−1−x2≥0，

因此导函数f′(x)=ex2(ex2−1−x2)≥0，

因此函数f(x)无单调递减区间，单调递增区间为(−∞,+∞)．

(2)注意到f(0)=0，导函数f′(x)=ex2(ex2−a−ax2)，f′(0)=1−a，

设函数ℎ(x)=ex2−a−ax2，那么导函数ℎ′(x)=12(ex2−a)