2024-2025学年河南省开封市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省开封市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各数中，是纯虚数的是(

)A.0 B.1+3 C.(1+2.设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b(

)A.平行 B.相交

C.是异面直线 D.可能相交，也可能是异面直线3.甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为(

)A.E∪F B.E∩F C.E∪F 4.△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，C=60°，则c=(

)A.3 B.7 C.3 5.从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是(

)A.14，16 B.16，14 C.18，16.若z=x+yi(x,y∈R)，且|z−(1+2i)|=2，则(

)A.(x−1)2+(y−2)2=2 B.(x−17.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是(

)A.−55 B.55 C.8.如图，以边长为2的菱形ABCD的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为2π，则该几何体的表面积为(

)A.2πB.4π

C.8πD.16π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有A.样本x1，x2，…，xn的标准差 B.样本x1，x2，…，xn的中位数

C.样本x1，x2，…，xn的极差 D.10.已知复数z=1+i，则下列复数中虚部为0的有(

)A.z+z− B.z−z− C.11.如图所示，分别以等边三角形ABC的顶点A，B，C为圆心，线段AB的长为半径画圆弧BC，AC，AB，三段圆弧围成一个曲边三角形.已知AB=2，O为AB的中点，点P，Q分别在BC，AC上，若∠PAB=∠CBQ+π6，则(

)A.|PQ|的最小值是22−2

B.|PQ|可以取到22

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(4,x),b=(6,3)，且a//b，则13.某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A，B，C三所学校抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校分别有180，270，90名教师，则从A学校中应抽取的人数为______．14.已知△ABC的面积为14，若sinAsinB=cosAcosB=14，则边AB=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某市通过简单随机抽样，获得了1000户居民用户的月均用电量数据，发现他们的用电量都在50～350kW⋅ℎ之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．

(1)求直方图中x的值；

(2)求在被调查的用户中，用电量落在区间[50,200)内的用户数；

(3)该市政府计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一个居民月均用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望80%的居民生活用电费用支出不受影响，将a定为16.(本小题15分)

已知点A(0,1)，B(1,2)，C(x,y)，x≠0，且AB⊥AC．

(1)求x，y之间的关系式；

(2)若BC在AC上的投影向量的长度为217.(本小题15分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)证明：BD18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边BC上的中线记为ma．

(1)利用余弦定理证明：ma=122(b2+c2)−a2；

(2)如图，△ABC在平面α上的正投影为△A′BC，O为BC的中点，已知直线AB，AO，19.(本小题17分)

数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为α(0<α<1)，收到1的概率为1−α；发送1时，收到1的概率为β(0<β<1)，收到0的概率为1−β．

(1)若发送的数据为“01”，记收到的数字全部正确的概率为P1，全部错误的概率为P2，试比较P1，P2的大小；

(2)已知发送数字0，1时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率．

(ⅰ)从下面①②③中选出一定错误的结论：

①α+β=43②α+β=1③αβ=14

(ⅱ)从(ⅰ)中选出一个可能正确的结论作为条件.用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为n(X)，如X=“1011参考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.A

6.B

7.B

8.C

9.AC

10.AC

11.AC

12.2

13.20

14.215.(1)根据频率和为1，(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)×50=1，计算得：x=0.0044；

(2)区间[50,100)：频率为50×0.0024=0.12，

区间[100,150)：频率为50×0.0036=0.18，

区间[150,200)：频率为50×0.0060=0.3，

区间[50,200)频率：0.12+0.18+0.3=0.6，

已知共调查1000户，根据“频数=频率x总数”，该区间内用户数为0.6×1000=600户；

(3)(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)×50=0.82，

合理，样本的第80百分位数接近于250，由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，

在实际决策中，只要临界值近似为第80百分位数即可，为了实际中操作方便，

可以建议市政府把月均用电量标准定为250kW⋅ℎ．16.(1)点A(0,1)，B(1,2)，C(x,y)，

则AB=(1,1)，AC=(x,y−1)，

又AB⊥AC，所以x+y−1=0(x≠0)；

(2)因为|AB|=2，BC在AC上的投影向量的长度为2，

根据投影的定义及(1)中解答，所以|17.(1)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连接BD与AC交于点O，连接EO，

E，O分别是DD1与BD的中点，所以EO//BD1，

又EO⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，

所以BD1//平面AEC，

(2)A1E⊥平面AEC不成立．

证明：令AB=AD=a，AA1=2b，

若A1E⊥平面AEC，因为EC⊂18.解：(1)证明：由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac，

所以ma2=(a2)2+c2−2×a2×c×cosB=(a2)2+c2−a×c×a2+c2−b22ac=2(b2+c219.(1)由题意，P1=αβ，P2=(1−α)(1−β)，P1−P2=αβ−(1−α)(1−β)=α+β−1，

当0<α+β<1时，P1<P2；

当α+β=1时，P1=P2；

当1<α+β<2时，P1>P2；

(2)