平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定课件-高一下学期数学人教A版

平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定「学习目标」1.通过学习二面角的有关概念及二面角大小的求法,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中,发展数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养.知识梳理自主探究项目二面角定义从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角.

叫做二面角的棱,

叫做二面角的面.如图,记作:

或

或

范围[0,π]「知识探究」1.二面角两个半平面这条直线这两个半平面二面角α-l-β二面角P-AB-Q二面角P-l-Q2.二面角的平面角文字语言在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作

于棱l的

OA和OB,则射线OA和OB构成的

叫做二面角的平面角图形语言二面角的大小与平面角的关系二面角的大小可以用它的

来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是

的二面角叫做直二面角范围[0,π]垂直射线∠AOB平面角直角3.平面与平面垂直(1)定义项目平面与平面垂直定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是

,就说这两个平面互相垂直,记作:

画法通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直直二面角α⊥β(2)判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的

,那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,

⇒α⊥β垂线l⊂β师生互动合作探究探究点一二面角的概念及求法角度一二面角概念的理解[例1]下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(

)A.①③ B.②④ C.③④ D.①②√解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以①错误,实质上它共有四个二面角;由a,b分别垂直于两个面,得a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③错误;由定义知④正确.故选B.方法总结二面角的理解(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角.(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的面上的角的联系与区别.(3)可利用实物模型,作图帮助判断.[针对训练]自二面角棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有条件(

)A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β√解析:根据题意,l是α与β平面的交线,则根据二面角的定义,若AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β,则∠AOB为二面角的平面角.特别注意,l⊥平面AOB.故选D.角度二定义法求二面角的平面角[例2]已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值.解:取CD中点O,连接AO,BO.因为三棱锥A-BCD的各棱长均为2,所以AO⊥CD,BO⊥CD.所以∠AOB是二面角A-CD-B的平面角.方法总结定义法求二面角的平面角利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法.[针对训练]如图,四面体A-BCD中,AB=AC=2,DB=DC=2,设E为BC的中点.若∠BAC=60°,AD=3,求二面角B-AD-C的余弦值.解:作BF⊥AD,连接CF,由题知,△ABD≌△ACD,所以CF⊥AD,所以∠BFC为二面角B-AD-C的平面角.因为AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC为正三角形,BC=AC=2.由于AB=BD,且BF⊥AD,所以F为AD的中点,角度三垂线法求二面角的平面角[例3]如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.解:由已知PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB是☉O的直径,且点C在圆周上,所以AC⊥BC.又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,所以PC⊥BC.又因为BC是二面角P-BC-A的棱,所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.方法总结利用垂线法求二面角的平面角的方法:过已知二面角的一个面内一点C作另一个面的垂线CB,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线BA,连接AC,则∠CAB即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.[针对训练]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB与BB1的中点.设二面角F-DE-C为θ,求tanθ.解:延长DE,CB交于点N,过B作BM⊥EN交EN于点M,连接FM(图略),因为FB⊥平面ABCD,EN⊂平面ABCD,所以FB⊥EN.因为BM∩FB=B,BM,FB⊂平面FBM,所以EN⊥平面FBM.又FM⊂平面FBM,所以EN⊥FM,所以∠FMB为二面角F-DE-C的平面角.探究点二平面与平面垂直的判定[例4]如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,求证:平面PAB⊥平面PAC.证明:法一因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,所以二面角B-PA-C为直二面角.所以平面PAB⊥平面PAC.法二因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.又∠BAC=90°,所以AC⊥AB.又AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.方法总结证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.[针对训练]如图,在四棱锥M-ABCD中,MA⊥平面ABCD,AD∥BC,CD⊥AD,BC=2,AD=DC=1,点N为MB的中点.证明:平面MAB⊥平面NAC.证明:取BC的中点E,连接AE,因为AD∥BC,AD=1,BC=2,所以AD∥EC,且AD=EC=EB=1.所以四边形ADCE为平行四边形.探究点三线面垂直、面面垂直的综合应用[例5]如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;所以MN∥BD,所以点N在平面BDM内.因为EC⊥平面ABC,BN⊂平面ABC,所以EC⊥BN,又CA⊥BN,EC∩CA=C,EC,CA⊂平面ECA,所以BN⊥平面ECA.因为BN⊂平面BDM,所以平面BDM⊥平面ECA.(3)平面DEA⊥平面ECA.所以四边形MNBD为平行四边形,所以DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.方法总结线面垂直、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,如将证面面垂直转化为证线面垂直,将证线面垂直转化为证线线垂直.(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.[针对训练]如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BD=BC,BD⊥AC,M是棱BB1上一点.(1)求证:MD⊥AC.(1)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1(图略),BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则BB1⊥AC,而BD⊥AC,且BD∩BB1=B,BD,BB1⊂平面BB1D1D,于是AC⊥平面BB1D1D,而MD⊂平面BB1D1D,所以MD⊥AC.(2)当M在BB1上的何处时,有平面DMC1⊥平面CC1D1D?(2)解:当M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.如图,取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于点O,连接OM,BN,显然NN1∥CC1,则O是NN1的中点,由N是DC的中点,BD=BC,得BN⊥DC,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,BN⊂平面ABCD,所以DD1⊥BN,因此四边形BMON是平行四边形,即BN∥OM,有OM⊥平面CC1D1D,又OM⊂平面DMC1,则平面DMC1⊥平面CC1D1D,所以点M为棱BB1的中点时,有平面DMC1⊥平面CC1D1D.「当堂检测」1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(

)A.0个 B.1个C.无数个 D.1个或无数个解析:当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.故选D.√2.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有(

)A.1对 B.2对

C.3对 D.5对√解析:因为四边形ABCD是矩形,所以DA⊥AB.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DA.又AB∩PA=A,所以DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB.又易证AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.故选D.3.如图,P是