2024-2025学年广东省深圳高级中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳高级中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合M={x|2x−1>4}，N={1,2,3}，则M∩N=(

)A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.⌀2.“x=0”是“sinx=0”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.(2x−1)3的展开式中x2的系数为A.6 B.−6 C.12 D.−124.曲线y=x在点(4,2)处的切线方程为(

)A.x+4y+4=0 B.x−4y+4=0 C.x+4y+12=0 D.x−4y+12=05.一次期中数学考试成绩X服从正态分布N(110,σ2).若P(95≤X≤125)=35，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于A.9125 B.13125 C.441256.设函数f(x)=x+1x+1，则下列函数中为奇函数的是(

)A.f(x−1)+1 B.f(x+1)+1 C.f(x−1)−1 D.f(x+1)−17.学校开展数学学科周活动，从高二(1)、(2)、(3)、(4)班各选两名同学组成一个8名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为(

)A.25 B.45 C.8158.已知函数f(x)=ex+e−x+ax2−2，A.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,+∞) D.[0,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图是由5个样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,5)得到的散点图，根据这5个样本数据建立y关于xA.样本数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数为4

B.去掉D(3,10)后，残差平方和变小

C.经验回归直线y​=b​x+a​经过点(4,6.8)

D.相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱

10A.ab的最小值是2 B.a2+b2的最小值是165

C.1a+11.已知函数f(x)为R上的奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=x3−3x，且f(x)的图象关于点(2,2)中心对称，则下列说法正确的是A.f(3)=6

B.方程f(x)=5所有根的和为12

C.g(x)=f(x)−x是周期为4的周期函数

D.线段y=x+1639，x∈[−2,10]与y=f(x)，三、填空题：本题共3小题，共15分。12.(−18)113.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且f(11)+f(10)=−1，则f(1)=______．14.互质是数论中一个基础概念，指的是两个整数公因数只有1，例如1和4，21和25分别都只有公因数1，所以1和4，21和25分别都是互质的.2160的不同的正因数有______个，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了30人，得到如下列联表：性别近视合计不近视近视男51722女268合计72330(1)在样本中的8名女生中随机选取2人，求这2人中至少有1人是近视的概率；

(2)小组成员甲通过计算发现女生的近视率为34小于男生的近视率1722，所以甲认为男生更容易近视.请根据小概率值α0.10.050.01x2.7063.8416.635χ216.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx+ax在x=1处取到极值．

(1)求a；

(2)设g(x)=f(x)+2x，求17.(本小题15分)

已知函数f(x)=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象过点(22−2,32)．

(1)求a；

(2)当x∈(−2,2)时，存在偶函数g(x)和奇函数ℎ(x)，使得f(x)=g(x)+ℎ(x)．

(i)求g(x)18.(本小题17分)

有n个不同的球和n个编号为1到n的盒子(每个盒子都能装下至少n个球)，现将n个球随机地放入这n个盒子里，记Xn为空盒子的个数．

(1)若n=2，设A=“1号盒子为空”，求P(A)；

(2)若n=4，求X4的分布列和期望；

(3)若X、Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y).证明：E(19.(本小题17分)

(1)实数x、y满足xy−x+2y+1=0，将y表示为关于x的函数，并求该函数的值域；

(2)已知函数y=ex−ax2，是否存在实数a，使得x也是关于y的函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由；

(3)实数x、y满足x2y4+xy参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.A

7.D

8.C

9.ABC

10.BCD

11.ABC

12.0

13.1

14.40

4739015.(1)根据题意可知，8名女生中，有6名近视，2名不近视，设X为近视的人数，

则P(X≥1)=1−P(X=0)=1−C22C82=2728，

所以这2人中至少一个是近视的概率为2728；

(2)零假设H0：性别与是否近视无关，

根据列联表数据，计算得χ16.(1)函数f(x)=lnx+ax，那么导函数f′(x)=1x−ax2=x−ax2，

由于f(x)在x=1处取到极值，因此f′(1)=a−1=0，得a=1，

因此导函数f′(x)=x−1x，当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，

因此f(x)在(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

因此f(x)在x=1处取得极小值，

综上a=1．

(2)根据第一问可得函数g(x)=lnx+1x+2x，其中x>0，

因此导函数g′(x)=1x−1x2+2=2x2+x−1x2=17.(1)由题意函数f(x)=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象过点(22−2,32)，

可得f(22−2)=loga22=32，解得a=2；

(2)(i)由题意x∈(−2,2)时，存在偶函数g(x)和奇函数ℎ(x)，使得f(x)=g(x)+ℎ(x)，

可得f(−x)=g(−x)+ℎ(−x)=g(x)−ℎ(x)，

由f(x)=g(x)+ℎ(x)，

所以g(x)=f(x)+f(−x)2=log2(x+2)+lo18.(1)1号盒子为空，因此两个球都放入了2号盒子，因此P(A)=122．

(2)X4的可能取值为0、1、2、3，

P(X4=0)=A444X0123P39211E(X4)=0×332+1×916+2×2164+3×164=0+916+2132+364=8164．

(3)证明：每个盒子空的概率为p=(n−1)nnn=(1−1n)n，

设Yi=1,i号盒子为空0,i号盒子非空，因此P(Yi=1)=p=(1−1n)n，

因此E(Yi)=1×(1−119.(1)因为xy−x+2y+1=0，则y(x+2)=x−1，所以y=x−1x+2=1−3x+2，

因为3x+2≠0，所以y≠1，即函数的值域为(−∞,1)∪(1,+∞)．

(2)若x是关于y的函数，则对于任意的y，都只有唯一确定的x与之对应，

所以对任意的t，方程ex−ax2=t最多只有一个实数根，

设f(x)=ex−ax2，所以f′(x)=ex−2ax，

令g(x)=ex−2ax，则g′(x)=ex−2a．

(i)a=0时，y=ex，可得x=lny，所以x是y的函数；

(ii)a>0时，令g′(x)=0，得x=ln(2a)，

x∈(−∞,ln(2a))，g′(x)<0，f′(x)在(−∞,ln(2a))上单调递减，

x∈(ln(2a),+∞)，g′(x)>0，f′(x)在(ln(2a),+∞)上单调递增，

所以f′(x)min=f′(ln(2a))=2a−2aln(2a)，

当f′(x)min≥0，即0<a≤e2时，f(x)是单调增函数，

所以ex−ax2=t最多只有1个解，符合题意；

当f′(x)min<0，即a>e2时，

由f′(0)=1>0，f′(ln(2a))<0，所以∃α∈(0,ln(2a))，f′(α)=0，

f′(2a)=e2a−(2a)2>0，所以∃β∈(ln(2a),2a)，f′(β)=0，

当x∈(−∞,α)，f′(x)>0，f(x)在(−∞,α)上单调递增，

当x∈(α,β)，f′(x)<0，f(x)在(α,β)上单调递减，

当x∈(β,+∞)，f′(x)>0，f(x)在(β,+∞)上单调递增，

设F1(x)=f(x)−f(β)，所以F1(x)在(−∞,α)单调递增，

F1(α)=f(α)−f(β)>0，F1(−β)=e−β−eβ<0，

所以∃x1∈(−β,α)，使得F1(x1)=0，即f(x1)=f(β)，

所以方程ex−ax2=f(β)有两个实数根β和x1，不合题意；

(iii)a<0时，g′(x)>0，f′(x)单调递增，

因为f′(0)=1>0，f′(12a)=e12a−1<0，