2024-2025学年黑龙江省哈尔滨十二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨十二中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数2+i的共轭复数是(

)A.2+i B.−2+i C.2−i D.−2−i2.已知向量a=(1,2)，b=(2,t)，若a//b，则A.−4 B.1 C.2 D.43.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，a=1,c=3，则角C的值为(

)A.π3 B.2π3 C.π3或2π4.在△ABC中，E是BC靠近B点的三等分点，AE=(

)A.23AC+13AB

B.125.正方体ABCD−A1B1C1D1A.60° B.45° C.30° D.90°6.已知圆锥高为2，母线与底面所成角为45°，则该圆锥的表面积为(

)A.4π B.42π C.(47.已知向量a,b夹角为π3，|a|=2,|b|=1，则向量A.b B.12b C.a 8.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为15(3−1)m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为A.20m B.30m C.20D.30二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足z(1+i)=1，以下说法正确的是(

)A.复数z的虚部是−i2 B.z=12−i210.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1DA.A1C1⊥BD1

B.A1C1//平面AC11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是(

)A.若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形

B.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形

C.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(−2,3)，b=(3,m)，且a→⊥b→13.在△ABC中，AB=2，B=120°，A=30°，则△ABC外接圆的半径为______．14.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1∠BAD=∠BAA1=∠DAA

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a，b满足：|a|=3，|b|=2，〈a,b〉=2π3．

(1)求16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，F是AC的中点．

(1)证明：EF//平面PAB；

(2)证明：BD⊥平面PAC．17.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosA−33asinB=0．

(1)求A；

(2)若b=4，c=6，设AD为△ABC的角平分线，求AD的长．

(3)若a=2，且△ABC的面积为318.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA．

(1)求B；

(2)若△ABC的面积为334，且AD=2DC19.(本小题17分)

如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，F为CD中点，点E在AB上，EF//AD，AB=3AD，CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°．

(1)证明：A′B//平面CD′F；

(2)求面BCD′与面EFD′A′所成二面角的正弦值．

答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．

本题考查复数的基本概念，是基础题．【解答】

解：复数2+i的共轭复数是2−i．

故选：C．2.【答案】D

【解析】解：根据题意，向量a=(1,2)，b=(2,t)，

若a/​/b，则1×t−2×2=0，解可得t=4．

故选：D．

根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得3.【答案】C

【解析】解：因为A=30°，a=1,c=3，

所以由正弦定理得：asinA=csinC，

所以sinC=csinAa=3×sin30°1=32．

因为c>a，所以C>A．

4.【答案】C

【解析】解：根据题意可知，AE=AB+BE=AB+13BC

5.【答案】B

【解析】解：如图，

AA1/​/BB1；

∴∠B1BC1是异面直线AA1与BC1所成角，且∠B16.【答案】C

【解析】解：因为圆锥的高为2，母线与底面成角为45°，所以圆锥的母线长为22，

所以圆锥的表面积为S=πrl+πr2=22×2π+27.【答案】A

【解析】解：由向量a,b夹角为π3，|a|=2,|b|=1，

可得向量a在向量b上的投影向量为a⋅b8.【答案】D

【解析】解：sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=22×32−22×12=6−24，

由题意知：∠CAM=45°，∠AMC=105°，所以∠ACM=30°，

在Rt△ABM中，AM=ABsin9.【答案】BD

【解析】解：由z(1+i)=1，得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，

复数z的虚部是−12，故A错误；

z=12−12i，故B正确；

z−=12+110.【答案】ABC

【解析】解：对A，连接B1D1，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，

且A1C1⊂平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥A1C1，

又因为A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，

BB1，B1D1⊂平面BB1D1，

所以A1C1⊥平面BB1D1，又因为BD1⊂平面BB1D1，

所以A1C1⊥BD1，故选项A正确；

对B，因为AA1/​/BB1/​/CC1，AA1=BB11.【答案】BCD

【解析】解：对于A：由正弦定理可将sin2A+sin2B>sin2C转化为a2+b2>c2，

则cosC=a2+b2−c22ab>0，所以C<π2，即C位锐角，但无法判断A，B的范围，A错误；

对于B：由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，B正确；

选项C：因为△ABC是锐角三角形，所以0<C<π2，所以π2<π−C=A+B<π，

又A,B∈(0,π2)，所以π2−B<A<π2,π2−B∈(0,π2)，

又因为12.【答案】2

【解析】【分析】本题考查平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质，属于基础题．

利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】

解：∵向量a=(−2,3)，b=(3,m)，且a⊥b，

∴a⋅b=−6+3m=0，13.【答案】2

【解析】解：因为AB=2，A=30°，B=120°，

可得C=180°−A−B=30°，

由正弦定理得△ABC外接圆的半径R=12⋅ABsinC=2．

故答案为：2．14.【答案】3【解析】解：由题意，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，

有AC1=AB+BC+CC1，

又AB=5，AD=5，AA1=6，

∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=15.【答案】|a−b|=19【解析】(1)由题意|a|=3，|b|=2，a⋅b=3×2×(−12)=−3，

又因为|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=9+6+4=19，

所以|a−b|=1916.【答案】解：(1)证明：如图，连BD，由四边形ABCD为菱形，

E为PD的中点，F为AC的中点，

所以F为BD的中点，

所以EF/​/PB，

因为PB⊂平面PAB，EF不在平面PAB上，

所以EF/​/平面PAB；

(2)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，

所以AC⊥BD，

又因为AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC．

【解析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，线面垂直的性质，属于基础题．

(1)利用线面平行的判定定理进行证明；

(2)利用线面垂直的判定定理进行证明．17.【答案】π3；

1235；

【解析】(1)因为bcosA−33asinB=0，由正弦定理可得sinBcosA−33sinAsinB=0，

在△ABC中，可得sinB>0，

可得tanA=3，

又因为A∈(0,π)，

可得A=π3；

(2)因为b=4，c=6，A=π3，AD为△ABC的角平分线，

所以S△ABC=12bcsinA=12b⋅ADsinA2+12c⋅ADsinA2=12(b+c)⋅ADsinA2，

即4×6×32=(4+6)×AD×12，

可得AD=1235；

(3)因为a=2，且△ABC18.【答案】解：(1)由(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA，

根据正弦定理得(b+c)(b−c)=(a−c)a，整理得a2+c2−b2=ac，

由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，结合B∈(0,π)，可知B=π3．

(2)根据题意，△ABC的面积S=12acsinB=334，

即【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式，可得a2+c2−b2=ac，结合余弦定理算出cosB=12，进而求出角B的大小；

(2)根据19.【答案】证明过程见解析；

427【解析】(1)证明：因为在四边形ABCD中，AB/​/CD，且EF/​/AD，所以▱AEFD，

又∠DAB=90°，所以四边形AEFD为矩形，

折叠后，显然EB//FC，EB⊄平面CD′F，FC⊂平面CD′F，

所以EB/​/平面CD′F，同理可证EA′//平面CD′F，

又EA′∩EB=E，所以平面EA′B//平面CD′F，又A′B⊂平面EA′B，

所以A′B//平面CD′F；

(2)由∠DAB=90°，EF/​/AD，所以EF⊥CD，所以EF⊥FC，EF⊥FD′，

所以面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角为∠CFD′=60°，

结合CF∩FD′=F，所以EF⊥平面CFD′，可得平面CFD′⊥平面EBCF，

又F为CD的中点，所以△CFD′为等边△，

如图以F为原点建立空间直角坐