2024-2025学年福建省三明市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省三明市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1<x≤6}，B={2,4,6,8}，则A∩B=(

)A.{6} B.{2,4} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6}2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,14)，则该函数的解析式为A.f(x)=1x2 B.f(x)=x2 3.已知x∈R且x≠0，那么“1x<1”是“x>1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是(

)A.y=x−1 B.y=lnx2 C.y=cosx5.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有(

)A.24个 B.72个 C.96个 D.120个6.若函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是A.a≥0 B.a≤0 C.a≥−4 D.a≤−47.已知随机变量ξ～N(1,σ2)，且P(ξ≤−1)=P(ξ≥a)，则1xA.143 B.163 C.2038.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=13f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)=12−2x2,0≤x<1−21−|x−65A.(−∞,−2] B.(−∞,412] C.(−∞,−22]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中，正确的是(

)A.在经验回归方程y=−0.3x+10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位

B.两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1

C.独立性检验中，根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2=4.138(x0.05=3.841)，推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=12，P(AB)=512，P(B|A.P(B|A)=56 B.P(AB−)=111.已知函数f(x)是R上的奇函数，且过点(3,2)，对于一切正实数m，n，都有f(mn)=f(m)+f(n)−1，当x∈(13,+∞)时，f(x)>0恒成立，则A.f(9)=3

B.方程[f(x)−1]f(x)=0所有根的和为79

C.f(x)在(−∞,0)上是单调函数

D.不等式[f(x)]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2−2x+y)5的展开式中13.《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有______种.14.已知函数g(x)的定义域为D，若∀a，b，c∈D，g(a)，g(b)，g(c)可以作为一个三角形的三条边长，则称函数g(x)是D上的“三角形函数”.已知函数f(x)=exx2+m是[四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同．

(1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率；

(2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)．

(1)若f(1)=e，求函数f(x)在点(ln2,f(ln2))处的切线方程；

(2)已知0<a<1，若关于x的不等式f(2mx)<f(x2+1)f(x+3)17.(本小题15分)

某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：年份20202021202220232024年份代码t12345报考人数y306595135175(1)经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程y​=b​t+a​，并预测2025年的报考人数；

(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N(370,152)，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在[355,400]之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数(最后结果四舍五入，保留整数)．

参考数据：i=15(ti−t−)(18.(本小题17分)

已知函数f(x)=2lnx−2ax，g(x)=ax2−2x−2(a∈R)．

(1)若a=12，求函数f(x)的极值；

(2)若a∈Z，且不等式f(x)≤g(x)在19.(本小题17分)

某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试，已知通过测试I的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为p(0<p<1)，通过任意一次测试即为合格芯片，已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试I的概率为θ．

(1)求θ(结果用p表示)；

(2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为E(X)，方差为D(X)，则对任意ɛ>0，均有P(|X−E(X)|≥ε)≤D(X)ϵ2.请结合该定理解决下列两个问题：

(i)若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%，现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格，请说明该厂商的说法是否可信(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)；

(ⅱ)为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I，记θ=k答案解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x|1<x≤6}，B={2,4,6,8}，

则A∩B={2,4}．

故选：B．

根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．

本题主要考查交集的运算，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：因为函数f(x)为幂函数，

故可设f(x)=xα，

由题意可知，2α=14，

所以α=−2，

所以f(x)=x−2，即f(x)=1x2．

3.【答案】B

【解析】解：1x<1，可得1−xx<0，即x(x−1)>0，可得x>1或x<0，

故“1x<1”是“x>1”的必要不充分条件．

4.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y=x−1在(0,+∞)是单调递增函数，故A错误，

对于B，y=lnx2在(0,+∞)单调递增，故B错误，

对于C，f(x)=cosxx,f(π2)=0,f(3π2)=0，故f(x)在(0,+∞)上不是减函数，C错误，

对于D，y=−x2为开口向下的二次函数，且对称轴为y轴，故y=−x2为偶函数又在(0,+∞)5.【答案】C

【解析】解：若组成的4位数不含0，则有A44=24个4位数；

若组成的4位数含0，因为0不能在首位，所以首位有A41=4种排法，

后面的3位数有C32×A33=18种排法，

所以含0的4位数有4×18=72个．

所以由分类加法计数原理，可得符合题意的4位数共有24+72=96个．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．

求出f(x)的导数，得到g(x)=2x2+2x+a≤0在x∈(0,1)时恒成立，从而求出a的范围即可．

解：∵函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调递减，

∴当x∈(0,1)时，f′(x)=2x+2+ax=2x2+2x+ax≤0，

7.【答案】B

【解析】解：因为随机变量ξ～N(1,σ2)，且P(ξ≤−1)=P(ξ≥a)，

所以−1+a2=1，所以a=3，

所以1x+93−x=13[x+(3−x)](1x+93−x)=13[10+9x3−x+3−xx]，8.【答案】A

【解析】解：当x∈[0,1)时，f(x)=12−2x2>12−2=32，

当x∈[1,2)时，f(x)=−21−|x−65|≥−2，当x=65时取等号，

所以x∈[0,2)时，f(x)min=−2，

当x∈[−2,0)时，x+2∈[0,2)，f(x)=3f(x+2)，所以f(x)min=−2×3=−6，

当x∈[−4,−2)时，x+2∈[−2,0)，f(x)=3f(x+2)，所以f(x)min=−6×3=−18，

综上当x∈[−4,2)时，f(x)min=−18，

g′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，x∈[−4,2)，

由g′(x)>0⇒−4≤x<−2或0<x<2；由g′(x)<0⇒−2<x<0，

所以函数g(x)在[−4,−2)和(0,2)上单调递增，在(−2,0)上单调递减，

所以函数g(x)在[−4,−2)的极小值为f(0)=m，

又f(−4)=−64+48+m=m−16，

所以函数g(x)在[−4,−2)的最小值为f(−4)=m−16，

因为9.【答案】AC

【解析】解：对于A，在经验回归方程y=−0.3x+10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位，故A正确；

对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故B错误；

对于C，因为χ2=4.138>3.841=x0.05，

所以推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故C正确；

对于D，决定系数R2越大，模型拟合效果越好，故D错误．

故选：AC．

根据回归方程的意义判断A的真假；根据线性相关系数的意义判断B10.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，因为P(A)=12，P(AB)=512，则P(B|A)=P(AB)P(A)=51212=56，故A正确；

对于B，由P(A)=P(AB)+P(AB−)，则有P(AB−)=P(A)−P(AB)=12−512=112，故B正确；

对于C，11.【答案】ACD

【解析】解：因为函数过点(3,2)，所以f(3)=2，

对于A，令m=n=3，f(9)=f(3)+f(3)−1=2f(3)−1=3，故A正确；

对于C，当x>0时，令m=n=1，f(1)=f(1)+f(1)−1，

得f(1)=1；

令m=x，n=1x，

则有f(1)=f(x)+f(1x)−1，得f(x)+f(1x)=2，

故f(3x1)+f(13x1)=2，即f(3x1)=2−f(13x1)，

又f(3x1)=f(3)+f(x1)−1=2+f(x1)−1=f(x1)+1，

即f(x1)=f(3x1)−1，

所以f(x1)=2−f(13x1)−1=1−f(13x1)，

设x2>x1>0，

则f(x2)−f(x1)=f(x2)−[1−f(13x1)]=f(x2)+f(13x1)−1=f(x23x1)，

因为x2>x1>0，所以x2x1>1，x23x1>13，

又因为当x∈(13,+∞)时，f(x)>0恒成立，

所以f(x23x1)>0，

即f(x2)−f(x1)=f(x23x1)>0，

故f(x)在(0,+∞)上单调递增，

又f(0)=0，且函数f(x)是R上的奇函数，

则f(x)在(−∞,0)上是单调递增，故C正确；

对于B，方程[f(x)−1]f(x)=0的根即为f(x)=0或f(x)=1的根，

因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上是单调递增，

所以f(x)=1有两个根，

又因为f(1)=1；

令m=13,n=13，f(19)=f(13)+f(13)−1=−1，

则f(−19)=−f(19)=1；

所以f(x)=1有两个根为1,−19，

所以f(x)=0有3个根，

令m=3,n=112.【答案】−60

【解析】解：二项式(x2−2x+y)5的通项公式为：TK+1=C5k(x2−2x)5−kyk，k=0，1，2，3，4，5，

令k=2，得T3=C52(x2−2x)3y2=10(x2−2x)13.【答案】150

【解析】解：5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组，有C51C41C33A22+C51C42C22A22=25种方法，

再安排给3人，则不同的分工收集方案2514.【答案】(4【解析】解：因为f(x)=exx2+m是[12,3]上的“三角形函数”，

所以f′(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4=ex⋅(x−2)x3(12≤x≤3)．

当x∈(2,3]时，f′(x)>0，当x∈[12,2)时，f′(x)<0；

所以f(x)在(2,3]上单调递增，在[12,2)上单调递减，

所以f(x)min15.【答案】1142；

分布列见解析，期望为65【解析】(1)甲选4个专业的方法数是C104，至少填报3个电子信息类专业方法数为C51C53+C54，

因此甲至少填报3个电子信息类专业的概率为P=C51C53+C54X0123P1131E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．

(1)根据古典概型概率公式计算；

(2)X的可能值为16.【答案】y=2x−2ln2+2；

[52【解析】(1)函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，

因为f(1)=e，所以a=e，故f(x)=ex，

所以f′(x)=ex．

因为f(ln2)=eln2=2，f′(ln2)=eln2=2，

所以函数f(x)在点(ln2,f(ln2))处的切线方程为：

y−2=2(x−ln2)，即y=2x−2ln2+2．

(2)因为f(2mx)≤f(x2+1)f(x+3)⇔a2mx≤ax2+1⋅ax+3=ax2+x+4，

由0<a<1，所以2mx≥x2+x+4，

等价于2m≥x2+x+417.【答案】y=36t−8；208；

90【解析】(1)因为t−=15(1+2+3+4+5)=3，y−=15(30+65+95+135+175)=100，

i=15(ti−t−)2=(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2=10．

所以b=i=1a(ti−t−)(yi−y−)i=15(ti−t−18.【答案】极大值为：f

=2ln2−2；无极小值．

2．

【解析】(1)当a=12时，函数f(x)=2lnx−x，x>0．

因此导函数f′(x)=2x−1=2−xx，x>0．

由f′(x)<0⇒x>2；由f′(x)>0⇒0<x<2，

因此f(x)在(2,+∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

因此当x=2时，f(x)有极大值，为f(2)=2ln2−2；无极小值．

(2)由于a∈Z，且f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立．

因此2lnx−2ax≤ax2−2x−2在(0,+∞)上恒成立．

即ax2+2ax≥2lnx+2x+2在(0,+∞)上恒成立．

设函数ℎ(x)=x−lnx−1，x>0．

那么导函数ℎ′(x)=1−1x=x−1x．

由ℎ′(x)<0⇒0<x<1；