2024-2025学年北京市延庆区高二下学期期末数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市延庆区2024-2025学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（

）A． B． C． D．2．已知函数，则的值为（

）A．0 B．1 C．－1 D．3．已知函数的导函数.则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．4．已知等差数列的前项和为，，，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知曲线在点处的切线方程为，则值为（

）A．0 B．－1 C．1 D．26．下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（

）A．B．C．D．7．若，则（

）A． B． C． D．8．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．10．已知数列满足，则（

）A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立二、填空题11．在的二项展开式中，常数项为，则的值为.12．2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从24个节气中选择2个节气，则2个节气恰好在同一个季节的概率为.13．已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为.14．已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则；.15．已知函数.给出下列四个结论：①当时，在区间上单调递增；②当时，有最小值；③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有；④存在a，使得在上有四个零点.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值和最小值；(3)若函数有三个零点，直接写出c的取值范围.17．在中，，.(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.18．某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下：成绩男生人数141032女生人数44444(1)在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率；(2)从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；(3)从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（2）中X的方差大小.（结论不要求证明）.19．已知椭圆C：的离心率为且经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点，斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点B，D，且与直线交于点E，点D在线段BE（不包括两端点）上，O为坐标原点，直线EO与直线AB，AD分别交于点M，N，若和的面积为和，求：的值.20．已知函数，其中.(1)当时，写出的单调递增区间；(2)若函数的极大值为0，且对，成立，求实数的最大值；(3)若过原点至少存在1条直线与曲线相切，求的取值范围.21．已知A：，，…，为有穷实数数列.对于实数x，若A中存在，，，…，，使得，则称x为A的连续可表数，将所有A的连续可表数构成的集合记作.(1)设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2.写出和.(2)是否存在数列A，满足，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由；(3)求出所有的整数m，使得存在数列A，满足.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页答案解析题号12345678910答案ACADBCBDAD1．A【分析】根据平均变化率的定义及计算公式可得解.【详解】函数在上的平均变化率为；函数在上的平均变化率为；函数在上的平均变化率为；函数在上的平均变化率为；故选：A.2．C【分析】根据函数求导公式，求出导函数，计算导数值.【详解】由题意，，即.故选：C.3．A【分析】根据特征，推出，所以函数在上单调递增；根据选项中x取值的大小顺序，结合函数单调性得出答案.【详解】已知函数的导函数：，所以函数在上单调递增.选项中，，大小顺序为：.所以.故选：A.4．D【分析】根据等差数列通项公式列方程，再结合等差数列求和公式进行求和计算.【详解】由已知数列为等差数列，则，解得，即，故选：D.5．B【分析】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可.【详解】由已知，则，且，，由曲线在点处的切线方程为，则，解得，故选：B.6．C【分析】先明确函数图象存在与轴平行的切线意味着函数在某点处的导数为0，然后分别对各选项中的函数求导，令导数等于0，看是否有解来判断.【详解】对于A选项，对求导可得.所以的图象不存在与轴平行的切线，A选项错误.对于B选项，已知，对求导可得.令，即，此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，B选项错误.对于C选项，已知，其定义域为.求导可得.令，即，解得，在定义域内，所以的图象存在与轴平行的切线，C选项正确.对于D选项，求导函数得，令，即，因为此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，D选项错误.故选：C.7．B【分析】根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算.【详解】由，即，设，则，令，则，令，则，所以.故选：B.8．D【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列9．A【分析】分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围.【详解】由已知有两个解，即有两个解，设，则直线与函数有两个公共点，又，可知当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且当时，，，作出函数图象如图所示，所以当直线与函数有两个公共点，则，故选：A.10．D【分析】根据数学归纳法，结合定义法判断数列单调性，可得数列的取值范围，进而判断各选项.【详解】由已知，即，所以，A选项：当时，可用数学归纳法证明：，即.证明：当时，，此时不等式成立，假设当时，成立，则当时，，即成立，综上所述成立，且，由，，则，即，故数列为递减数列，由，，即，故，即，若存在常数，使得恒成立，则，即，故，故仅对部分成立，A选项错误；B选项：当时，可用数学归纳法证明：，即.证明：当时，，此时不等式成立，假设当时，成立，则当时，，即成立，综上所述成立，且，由，，则，即，故数列为递增数列，由，，即，故，即，所以不存在常数，使得恒成立，B选项错误；C选项：当时，可用数学归纳法证明：，即.证明：当时，，此时不等式成立，假设当时，成立，则当时，，即成立，综上所述成立，且，由，，则，即，故数列为递减数列，且，所以当，使得恒成立，即C选项错误；D选项：当时，可用数学归纳法证明：，即.证明：当时，，此时不等式成立，假设当时，成立，则当时，，即成立，综上所述成立，且，由，，则，即，故数列为递增数列，由，，即，即，若存在常数，使得恒成立，则，即，故，故仅对部分成立，即不存在常数，使得恒成立，D选项正确；故选：D.11．1【分析】利用二项式展开式的通项求出常数项为，即得解.【详解】由题得，令.所以常数项为.故答案为：1.12．【分析】利用古典概型公式计算即可.【详解】由题可知：所求概率为.故答案为：13．，（或）（两组任写一组即可）【分析】根据等差数列和等比数列定义，联立方程组计算即可得出结果.【详解】依题意可知，即；若顺序调整为，即，联立，解得，此时公比为1，不合题意，舍去；若顺序调整为或，即，联立，解得或（舍去）；若顺序调整为或，即，联立，解得或（舍去）；综上可得，m，n的值依次可以为或.故答案为：（或）（两组任写一组即可）14．【分析】根据导数图象确定原函数单调性，进而确定极值点，从而列方程，解方程即可得各参数值.【详解】由图象可知当上时，，当时，，即函数在和上单调递增，在上单调递减，即函数在处取得极大值，即；又，，则，解得，即，故答案为：；.15．①④【分析】需要结合导数与函数的性质进行分析.【详解】对于①，当时，函数，，在区间上，恒成立，即为增函数，故①正确，对于②，当时，函数，当时，，没有最小值，又，没有最小值，故②错误.对于③，当时，令，即，需要分析与的交点间距，当取很大的负数，（令，），则，零点满足，则在内为正，单调递增，当足够大时，零点可能出现在和，两区间的间距为，即存在零点间距大于，故③错误.对于④，令，即在上有四个解，取（令），则，即在上有四个解，在上，在单调递增，在单调递减；单调递增且，故有两个零点,在上，单调递增；单调递增且，当，，时，两个函数重合，故可能有两个零点，存在a，使得在上有四个零点，故④正确，故答案为：①④.16．(1)(2)最大值为，最小值为(3)【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率，然后根据函数值求出切线方程即可.（2）对函数求导，判断函数在区间上的单调性，求出极值和端点的函数值，从而求得函数的最值.（3）对函数求导，判断单调性，画出图象，从而得到的范围.【详解】（1）因为，所以；，，所以曲线在处的切线方程为.（2）令，即，解得或，在区间上，的单调递增区间为，递减区间为，且，，；所以当时，最大值为，所以当时，最小值为.（3）c的取值范围为.因为函数有三个零点，所以方程有三个根.对函数求导得.当或时，；当时，.所以函数在单调递增，在上单调递减，当时，；；；当时，画出图象为：要使函数有三个零点，则的取值范围为.17．(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得解；（2）若选①，三角形不存在；若选②，结合余弦定理可得三角形三边，进而可得面积；若选③，由正弦定理可得与，结合三角恒等变换可得，进而可得面积.【详解】（1）由已知，根据正弦定理可知，则，又，则；（2）若选条件①：，，，此时，不满足三角形性质，即此时不存在；若选条件②：由（1）得，且，，则，，所以.若选条件③：由，则，由正弦定理可知，即，又，解得，，又在中，，所以.18．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，分两种情况计算出各自的组合数和，相加除以总组合数求解；（2）将频率视为概率，确定男生中成绩达标概率，利用二项式分布求解分布列与期望；（3）计算女生对应的概率和方差，通过二项分布方差公式求解得出结论.【详解】（1）根据题中数据，成绩在80分及以上的学生共13人，设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，分两种情况：①男生在女生在：；②男生在女生在：.总的组合数：，所以：.（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.用频率估计概率，从该市参赛的男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为，可估计为，可估计为，可估计为，可估计为.所以X的分布列为X0123P可估计为.或者因为，所以可估计为.（3）女生中80分及以上频率为，，因为，所以.19．(1)(2)1【分析】（1）依据题意代值计算；（2）作出图形，假设直线，与椭圆方程联立，使用韦达定理得到，，分别假设直线的方程，联立求解可得，进一步判断可得结果.【详解】（1）椭圆C的离心率为，且经过点，所以解得，.则椭圆C的方程为.（2）过点，斜率为k的直线方程为.由得.因为在椭圆内，所以.设，，则，.直线AB的方程为：，直线AD的方程为：，在直线方程中，令，得，.直线EO的方程为：.由得.同理得..，所以，即点O为线段MN中点，所以点，.20．(1)；(2)；(3).【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数求单调性即可；（2）利用导函数求出函数的单调性，由极大值为0可得，再利用导数解决恒成立问题；（3）分类讨论和两种情况，当时，，曲线过原点，存在至少一条切线；当时，设出切点坐标，利用导数以及两点坐标求得切线斜率构造出等式，将问题转化成方程有解，利用导数解决能成立问题即可.【详解】（1）当时，，定义域，则，令，得，所以的单调递增区间是.（2）由题意，函数定义域为，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取极大值，即，所以.对任意的，成立，即对任意的，，记，，则，①时，此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取极大值也是最大值，，不符合题意.②当时，此时，当时，，单调递增；当时，，符合题意，综上可得，所以实数的最大值为.（3）当时，，曲线过原点，存在至少一条切线.当时，过原点作曲线的切线，切点设为，，，所以，要使过原点作曲线的切线，至少存在一条，则方程至少存在一个解，即至少存在一个解，令，，则，所以，当时，，单调递增；当时，