专题12圆内接四边形与正多边形（5知识点7大题型4大拓展训练过关测）

专题12圆内接四边形与正多边形（5知识点+7大题型+4大拓展训练+过关测）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：5大核心考点精准练+4大拓展训练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.【即时训练】1．（2425九年级上·浙江衢州·期末）现有一些相同的小卡片，每张卡片上各写了一个数学命题，其中正确的是（

）A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆内接四边形的对角互补【答案】D【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质逐一分析即可．【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项不正确；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项不正确；C、能完全重合的两段弧是等弧，故选项不正确；D、圆内接四边形的对角互补，故选项正确，故选：D．【答案】C【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可．故选：C．【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质即可得出结论．故选B．知识点2：圆内接四边形性质定理圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【即时训练】【答案】B故选；B．【答案】C故选C．【答案】/度【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是关键．【详解】解：小圆经过大圆的圆心，故答案为：．知识点3：正多边形的相关概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关要素(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.【即时训练】7．（2425九年级上·浙江绍兴·期末）已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A故选：A．8．（2324九年级上·浙江丽州·阶段练习）正n边形的中心角是30°，（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D故选D．9．（2324九年级上·浙江台州·阶段练习）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】B【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．【详解】解：设这个多边形的边数是，∴这个正多边形的边数是9，故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．知识点4：正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.【即时训练】10．（2324九年级下·浙江扇形·期中）如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（）A． B．3 C．6 D．【答案】C【详解】解：如图所示：∵正六边形ABCDEF内接于，∵的周长是，故选：【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．【答案】/54度【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键．故答案为：．12．（2025·浙江杭州·三模）“3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法”，请计算出半径为2的圆与其内接正十二边形的面积差为．【分析】本题考查圆的面积计算、正多边形与圆的关系以及等腰三角形面积计算．解题关键是将圆内接正十二边形分割为等腰三角形，利用相关几何性质和公式分别求出圆与正十二边形面积．【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D，知识点5：正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形.再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分…….要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.【即时训练】【答案】见解析14．（2324九年级上·浙江杭州·期末）作图题：(1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．【详解】（1）【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键．15．（2024·浙江舟山·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．∵BD垂直平分AC，AC为的直径，∴BD为的直径，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四边形ABCD是的内接正方形．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．【题型1已知圆内接四边形求角度】A． B． C． D．【答案】C故选：CA． B． C． D．【答案】D故选：D．【答案】【详解】解：∵点是劣弧的中点，故答案为：．【详解】解：连接，∵为的直径，【题型2求四边形外接圆的直径】A．4 B．5 C．6 D．2【答案】A∴的半径为4，故选：A．【答案】C【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【详解】解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如图所示，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，故答案为：C．【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【答案】5∴点A，B，C，D四点共圆，∴点C在上，故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．【答案】(1)见解析圆的半径长是4，(1)求m的取值范围；【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）求出方程的两个根，再利用勾股定理可得到该矩形外接圆的直径，即可求解．∴矩形的长是3，宽是2，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和方程求解，准确理解矩形外接圆，判断出直径是解题的关键．【题型3“弦外角”的相关计算】【答案】A【详解】解：如图所示，在优弧上取点E，连接，，故选：A．【答案】B故选：B．【答案】【分析】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形，等边对等角和三角形内角和定理，掌握圆的内接四边形的对角互补是关键．【详解】如图所示，在优弧上取点E，连接，故答案为：．【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质定理是解题的关键：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．根据圆内接四边形的性质定理即可直接得出答案．【答案】(1)证明见解析；本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．【题型4求正多边形的中心角】A． B． C． D．【答案】C故选：C．17．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（

）【答案】C∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为，故选：．【答案】/18度【详解】解：连接，，故答案为：．【答案】12【详解】解：连接，故答案为：12．【答案】(1)(2)【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理：（2）勾股定理求出的长即可．即正方形的边长为：．【题型5已知正多边形的中心角求边数】A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【详解】解：如图：连接、、、，故选：A．22．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（

）A．6 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键．根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可．【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得，所以这个正多边形是正九边形，故选：B．A．9 B．10 C．18 D．20【答案】A【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，故选：A．A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【详解】解：如图，连接，故选：．25．如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正边形的一边．【答案】二十四【详解】解：连接，∵是的内接正六边形的一边，∵是的内接正八边形的一边，∴是的内接正二十四边形的一边，故答案为：二十四．【题型6尺规作图—正多边形】【答案】见解析27．作图题：(1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．【详解】（1）【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键．28．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．【答案】图见解析(1)求证：是正六边形的一边；(2)请在图上继续画出这个正六边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键．（2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长．【详解】（1）证明：连接，如图．∴是正六边形的一边；（2）解：如图所示，用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形．【题型7正多边形与圆结合的问题】31．我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（

）【答案】D【分析】此题考查了正多边形与圆，含角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性质和含角直角三角形的性质求出的内接正十二边形的面积为，即可求出答案．故选：DA． B． C． D．【答案】C故选：C．【答案】/54度【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键．故答案为：．34．“3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法”，请计算出半径为2的圆与其内接正十二边形的面积差为．【分析】本题考查圆的面积计算、正多边形与圆的关系以及等腰三角形面积计算．解题关键是将圆内接正十二边形分割为等腰三角形，利用相关几何性质和公式分别求出圆与正十二边形面积．【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D，

(1)求∠E的度数．(2)见解析【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．（3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，，

∵E是的中点，（3）解：连接并延长交于点F，

【拓展训练一圆内接四边形的综合】A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等求出相关角的度数．故选：D．【答案】D故选：．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．【答案】D故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，构造辅助线是解题的关键．当在上方时，如图，当在下方时，如图，【答案】60【分析】题目主要考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，理解题意，作出辅助线进行求解是解题关键．∵点D为的中点，∴的度数为，故答案为：60．【拓展训练二圆内接四边形的新定义问题】41．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．【初步应用】②点为的中点，的半径为5，求线段的长；【拓展提升】【分析】（1）①根据定义和圆周角定理求角即可；②根据垂径定理和特殊角的三角函数值进行解答即可；②连接交于点P，∵为的中点，∵是的一条弦，∴当是直径时，取最大值，故答案为：【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．42．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．【答案】(1)4【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．（1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；【详解】（1）解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示：满足条件的点C共有4个，故答案为：4；【答案】(1)见解析

点，点，点三点共线，【点睛】题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，理解等对角四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点．44．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．(2)在（1）的条件下，若的半径为4．①求的长；【答案】(1)（2）①如图1，连接并延长交于点，连接，的半径为4，【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，以及全等三角形的判定与性质和勾股定理，结合条件，添加适当的辅助线是解本题的关键．45．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．图1

图2

图3(2)在（1）的条件下，若的半径为．①则的长是______．(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．(2)①，②证明见解析．【分析】本题考查了四边形的性质，圆的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【详解】（1）解：由题意得：（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，故答案为：．②如图，连接，在（1）的条件下，（3）如图，延长和交于点，是直径，【拓展训练三圆与正多边形的综合】46．我们可以用构图的方法研究一些几何问题．【基本图形】【方法迁移】要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹；【问题解决】【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．（2）根据正方形的性质、垂直平分线的性质进行尺规作图即可完成作答；作法：1．过点P向作垂线段；3．延长，交于点Q；4．连接，以点P为圆心，为半径画弧，交于点N；综上，正方形边长为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．【初步感知】【实践探究】【拓展延伸】【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解；故答案为：；48．今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形；问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积．【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键．故答案为：45；问题二：作的中垂线交于D，交于E，49．综合与实践某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．【探究发现】（1）正方形的面积为________．【应用结论】【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用；【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；（2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解;（3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解；故答案为：．根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大，50．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作图复杂作图，正五边形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握知识点的应用．（）连接，交于点，连接，根据正五边形的性质可得直线把五边形分成面积相等的两部分；【详解】（1）解：如图1，直线即为所求；（2）解：如图2，直线即为所求；理由：连接交于点，∴垂直平分，∴是的中点，【拓展训练四正多边形的新定义问题】51．定义：如果几个全等的正边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为；（2）若边长为的正边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为．（用含的代数式表示）【答案】6【分析】根据正多边形的内角和公式（n2）•180°，可求出正多边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．【详解】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为240°，故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，而正六边形的内角为120°，所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；（2）若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则一个公共点处组成的角度为360°60°=300°，所以正n边形的一个内角是150°，所以（n2）×180=150n，解得n=12，所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为27a．故答案为：6；27a．【点睛】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．52．阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．对角线：…任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．【答案】(1)240(3)见解析【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键．（3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了．故答案为：240；理由如下：连接，．53．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆；【初步思考】（1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______；（2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______；【深入研究】（1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．【生活应用】【初步思考】（）边长为的正方形的最小覆盖圆，就是以以正方形的对角线为直径的圆，从而求出答案；（）两个正方形组合而成的矩形的最小覆盖圆就是以矩形的对角线为直径的圆；【深入探究】（）按题意画出图形即可；【详解】【初步思考】（）∵正方形的边长为，∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：，∴最小覆盖圆的半径是，故答案为：；（）∵矩形的长为，宽为，由勾股定理，得矩形的对角线长为，∴最小覆盖圆的半径是，故答案为：；（）如图，如图，作直径，连，如图，【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，正方形和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．54．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．(3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可；（2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可；（3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案．（2）解：假设正方形边长1，∴此时正方形的内切圆半径为，【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键．55．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆．【答案】(1)①120；②18；③0【分析】（1）①根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；②根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；③根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；（2）结合正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形，求解即可．故答案为：120故答案为：18故答案为：0当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．【点睛】此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解此题的关键是注意数形结合思想的应用．A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接，在半圆O中，为直径，故选：C．A．80° B．100° C．120° D．140°【答案】B【分析】本题考查圆的相关性质（圆周角定理、翻折的性质），解题的关键是利用圆内接四边形的性质以及翻折前后的角的关系．利用圆内接四边形对角互补以及翻折后角的等量关系求解．【详解】如解图，故选B．【答案】B∴点O在以B为圆心，的长为半径的圆上，故选：B．【答案】D故选：D．【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键．A．3处 B．5处 C．7处 D．9处【答案】A【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，勾股定理等知识的综合，掌握正多边形，勾股定理的运用是关键．故选：A．6．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（

）A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18【答案】B【详解】解：如图，∴不能形成一个圆环状；综上，的取值可以是，，故选：B．【答案】2【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，即可得出结果．∴可以确定度数的有2个．故答案为：2．【答案】55【分析】本题考查了等边对等角，垂径定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识，正确作出辅助线是关键．∵平分，故答案为：．【答案】3【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，熟练掌握它们的性质是解题的关键；【详解】解：连接、，如图：即正六边形的边长为3，故答案为：3．10．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是．【答案】【详解】解：如图，连接，，连接交于点，故答案为：．12．如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为．【答案】故答案为：．【点睛】本题考查了正六边形的性质，平面镶嵌，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，标出字母，作出辅助线构建直角三角形是解答关键．(2)猜想与之间的关系，并给予证明．【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形的性质．【详解】（1）解：在优弧上取一点，连接、，如图，在优弧上取一点，连接、，【答案】(1)见解析(2)半径长【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理；【详解】（1）证明：∵点，，，均在上，∴半径长(2)（2）解：如图②，连接，【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形