2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破思维导图试题）

2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破思维导图试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离是（）A.2√3B.√3C.√2D.12.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=0所成的角为θ，则θ的值为（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.给定三个非零向量a=(1，0，1)，b=(1，1，0)，c=(0，1，1)，则向量a+b+c与向量a-b+c的数量积为（）A.1B.2C.3D.44.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成的角的正弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/35.已知点P（1，2，3）和点Q（3，2，1），则向量PQ在z轴上的投影长为（）A.2B.√2C.√3D.16.给定直线l1：x=1和直线l2：y=1，则两直线所确定的平面的方程为（）A.x+y=2B.x-y=0C.x+y=1D.x-y=17.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为1的正三角形，侧棱AA1=2，则点A1到平面BB1C1C的距离为（）A.√3B.√2C.1D.√3/28.已知平面α和平面β相交于直线l，且平面α的法向量为n1=(1，1，1)，平面β的法向量为n2=(1，-1，0)，则直线l与z轴所成的角的余弦值为（）A.1/√3B.√2/2C.1/√2D.√3/39.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x+y=2，z=0的距离是（）A.√5/2B.√10/2C.√15/2D.√510.给定三个非零向量a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)，则向量a+b+c与向量a-b+c的数量积为（）A.3B.4C.5D.611.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB的中点，点F是棱CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成的角的余弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.112.已知点P（1，2，3）和点Q（3，2，1），则向量PQ与向量QP的数量积为（）A.0B.2C.4D.8二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将答案填在答题卡相应位置。）13.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：2x+y+z=1的距离是________。14.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=0所成的角为θ，则cosθ的值为________。15.给定三个非零向量a=(1，0，1)，b=(1，1，0)，c=(0，1，1)，则向量a+b+c与向量a-b+c的模长之比为________。16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成的角的正弦值为________。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中点。（1）求证：平面ABE⊥平面PAC；（2）求三棱锥P-ABE的体积。18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，AA1=2，点D是棱A1B1的中点。（1）求证：BD⊥A1C1；（2）求直线BD与平面ACC1A1所成角的正弦值。19.（本小题满分12分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，0），点B（3，0，2），点C（0，1，1）。（1）求过点A且与向量AB、AC垂直的平面α的方程；（2）求点B到平面α的距离。20.（本小题满分13分）如图，在五面体P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，PA=2，底面ABCDE是矩形，AB=2，BC=1，点F是棱PC的中点。（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；（2）求三棱锥P-ABC的体积。21.（本小题满分13分）在空间直角坐标系中，点A（1，0，0），点B（0，1，0），点C（0，0，1），点D（1，1，1）。（1）求过点A且与向量AB、AC、AD都平行的平面β的方程；（2）求点D到平面β的距离。22.（本小题满分14分）在六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AA1=AD=2，AB=1，∠BAD=45°，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点。（1）求证：EF⊥平面A1BD；（2）求三棱锥E-A1BD的体积。四、选做题（本大题共2小题，共10分。请根据要求选择一道作答，若两题都作答，则按第23题计分。）23.（本小题满分10分）选修4-4：空间向量与立体几何在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E、F分别是棱PC、PD的中点。（1）求证：平面EBF⊥平面PAC；（2）求三棱锥P-EBF的体积。24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a、b、c是空间中三个非零向量，且a·b=0，b·c=0，c·a=0，|a|=|b|=|c|=1。（1）求证：a+b+c≠0；（2）若向量u=a+b，v=b+c，求|u-v|的最小值。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.A解析：点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离d=|1+2+3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3√3=3，故选A。2.B解析：直线l：x=1与平面α：x+y+z=0的法向量n=(1，1，1)，设直线l与平面α所成的角为θ，则cosθ=|n·(1，0，0)|/|n||(1，0，0)|=1/√3，θ=45°，故选B。3.C解析：a+b+c=(1+1+0，0+1+1，1+0+1)=(2，2，2)，a-b+c=(1-1+0，0-1+1，1-0+1)=(0，0，2)，(a+b+c)·(a-b+c)=2×0+2×0+2×2=4，故选C。4.A解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC中点，F是CC1中点，EF过B，B在平面ABB1A1上，EF与平面ABB1A1所成的角即EF与BB1所成的角。设正方体棱长为1，B（0，1，0），E（0.5，1，0），F（0.5，1，0.5），向量EF=(0，0，0.5)，向量BB1=(0，0，1)，cosθ=|EF·BB1|/|EF||BB1|=0.5，θ=60°，sinθ=√3/2，故选A。5.A解析：向量PQ=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)，在z轴上的投影长为|-2|=2，故选A。6.A解析：直线l1：x=1与l2：y=1相交于点（1，1），所确定的平面的法向量为（1，1，0），方程为x+y=2，故选A。7.C解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，高为√3/2，A1在平面A1BC1上，A1（0，√3/2，2），平面BB1C1C的法向量为（0，1，0），A1到平面的距离为|√3/2|=1，故选C。8.A解析：平面α的法向量n1=(1，1，1)，平面β的法向量n2=(1，-1，0)，直线l的方向向量为n1×n2=(-1，1，-2)，z轴方向向量为（0，0，1），cosθ=|-2|/√5=1/√3，故选A。9.A解析：直线l：x+y=2，z=0的法向量为（1，1，0），点A（1，2，3）到直线的距离为|1+2-2|/√2=√5/2，故选A。10.C解析：a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)，a+b+c=(3，2，2)，a-b+c=(1，1，2)，(a+b+c)·(a-b+c)=3×1+2×1+2×2=9，|a+b+c|=√(3^2+2^2+2^2)=√17，|a-b+c|=√(1^2+1^2+2^2)=√6，数量积为9/√(17×6)=3，故选C。11.A解析：正方体棱长为1，E是AB中点，F是CC1中点，E（0.5，1，0），F（0.5，0，1），EF中点在平面ADD1A1上，EF方向向量为（0，-1，1），平面ADD1A1的法向量为（0，1，0），cosθ=|(-1)|/√2=1/√2，故选A。12.A解析：向量PQ=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)，向量QP=(-2，0，2)，数量积=-2×2+0×0+2×(-2)=0，故选A。二、填空题答案及解析13.√6/3解析：平面α：2x+y+z=1的法向量为（2，1，1），点A（1，2，0）到平面的距离d=|2×1+1×2+1×0-1|/√6=√6/3。14.1/√3解析：直线l：x=1与平面α：x+y+z=0所成的角θ，法向量n=(1，1，1)，方向向量（1，0，0），cosθ=1/√3。15.√3/√2解析：a+b+c=(3，2，2)，a-b+c=(1，1，2)，|a+b+c|=√17，|a-b+c|=√6，模长之比为√17/√6=√(17/6)=√3/√2。16.1/2解析：E（0.5，1，0），F（0.5，0，1），EF中点在平面ABB1A1上，EF方向向量为（0，-1，1），平面ABB1A1的法向量为（0，1，0），cosθ=1/√2，sinθ=1/√2，故sinθ=1/2。三、解答题答案及解析17.（1）证明：ABCD为矩形，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA⊥AB，AD∩AB=A，AD⊥平面ABE，AB⊥平面ABE，PA⊥平面ABE，平面ABE⊥平面PAC。（2）解：三棱锥P-ABE体积V=1/3×S△ABE×PA，S△ABE=1/2×AB×BE=1/2×1×√5=√5/2，V=1/3×√5/2×2=√5/3。18.（1）证明：AC⊥BC，AC⊥BC，AA1⊥平面ABC，AA1⊥BC，BC⊥平面A1AC，BC⊥A1C1，A1C1⊥BD。（2）解：向量BD=(1，-1，-2)，平面ACC1A1的法向量为（0，1，0），直线BD与平面所成的角θ，sinθ=|BD·n|/|BD||n|=1/√6=√6/6。19.（1）解：向量AB=(2，-2，2)，向量AC=(-1，-1，1)，平面法向量为（2，-2，2）×（-1，-1，1）=(0，4，0)，平面方程为4(y-2)=0，即y=2。（2）解：点B到平面距离为|0|=0。20.（1）证明：ABCDE为矩形，BC⊥AB，BC⊥AC，PA⊥平面ABCDE，PA⊥BC，BC⊥平面PAC，BC⊥PA，平面PBC⊥平面PAC。（2）解：三棱锥P-ABC体积V=1/3×S△ABC×PA，S△ABC=1/2×2×1=1，V=1/3×1×2=2/3。21.（1）解：向量AB=(-1，1，0)，向量AC=(-1，0，1)，向量AD=(-1，-1，1)，平面法向量为（-1，1，0）×（-1，0，1）=(1，1，1)，平面方程为x+y+z=1。（2）解：点D到平面距离为|1+1+1-1|/√3=√3。22.（1）证明：六面体中，E、F分别为CC1、BB1中点，EF∥BC，BC⊥平面A1BD，EF⊥平面A1BD。（2）解：三棱锥E-A1BD体积V=1/3×S△A1BD×AE，S△A1BD=1/2×2×√2=√2，AE=√2，V=1/3×√2×√2=2/3。四、选做题答案及解析23.（1）证明：平面EBF的法向量为（1，-1，0