【《使用拉格朗日插值法求解平面图形面积案例分析》2400字】

-9-使用拉格朗日插值法求解平面图形面积案例分析目录TOC\o"1-3"\h\u30905使用拉格朗日插值法求解平面图形面积案例分析 1191301.1关于平面图形的面积问题 18631.2关于立体图形的体积问题 51.1关于平面图形的面积问题作为规则图形的代表，长方形，三角形这些标准的图形都有对应的面积计算公式，所以咱们不必利用拉格朗日插值公式来求，即使可以求出来，也会有些舍近求远的意味，况且拉格朗日的适用情形本就是求大致的数值，规则图形的面积我们都是可以求出精确的值的，所以也不必去求近似解。所以对于一个规则的平面图形，我们的研究意义并不大，但是假如是一个特殊的平面图形呢？假如我在一面白墙上随手画一个图形，那么它的面积是多少呢？对于不规则的平面图形的面积问题，我们是否可以通过拉格朗日插值公式进行解决。整体的思路并不难：我们先求出对应的函数关系式，再进行积分即可，以此方法我们可以求出很多平面图形的面积。当然，一样只能求出它的近似解，但是也是令人振奋的。第一个困难是我们需要足够多的数据，除了，还要有与之对应的。在实际生活中哪有那么明显的数值给你去测量呢？微积分的证明过程启发了我，我们一样可以将这个图形分成很多小的矩形，如果把它的长设为，宽设为的话。不难求出它的面积应该为（4-1）紧接着便是第二个困难：如何计算这个图形每一个位置的具体长度？因为只有有了“长”，我们才能求出这个矩形的“宽”，进而求出它的面积。数形结合的典范是平面直角坐标系，如果能够将此图形完整的“放”进平面直角坐标系中，我们就可以求出每一个位置对应的“长”，这个点所对应的横坐标的值我在后文中称作“水平长度”。假设这个图形在区间上，我在选择个点来求它们所对应的“长”，进而求出它们所对应的“宽”，在积分之后我们就可以很轻松的将图形的对应函数关系式求出来，进而求出它的近似解。即：（4-2）这个思路对规则图形也同样使用，例，对于一个长为，宽为的长方形，我们如何利用拉格朗日插值公式求其面积这个图形计算起来的好处在于，它每一个点对应的“长”和“宽”都相等，所以对于表示“宽”的函数就是一个定值，即（4-3）再在上求积分，得到面积，（4-4）符合长方形的面积=长×宽。为了增强说服力，我们再举一个规则图形的例子，对于一个平行四边形，我们假定它的底为，高为，并且其中一个夹角为45度，求解其面积。我们用面积公司算出的S为：S=5*3=15接下来再用拉格朗日插值公式去计算：在取得部分数据之后我们填入表内，如下表所示表4-1平行四边形取点（3个）坐标048垂直长度030基函数为（4-5）QUOTEl2=x-0x-8(4QUOTEl3=(x-0)(x-4)(8-0)(8-4)=132x2-1的函数关系式为（4-8）然后再进行积分，可得面积的大小为（4-9）之所以会有偏差，可能是取得数据还不够多，所以精度会比较低，我们接下来试一下取5个点求出的面积表4-2平行四边形取点（5个）X02468QUOTEYiYi02320计算过程此处省略最终得到的函数关系式为，（4-10）进行积分后求得的面积大小为（4-11）这说明数据取得越多，我们解出的近似值会越接近准确的值我们试一下取九个点的情况，数据填入下表表4-3平行四边形取点（9个）X012345678QUOTEYiYi012333210计算过程此处省略最终得到的函数关系式为，（4-12）进行积分后求得的面积大小为（4-13）为什么此时的精度反而降低了呢？说明之前取的9个点中有些点的数据过于离散，必须要取特定范围内的点才能保证求出的近似值和准确值比较接近，我们第一次发现了拉格朗日插值法的缺点：并不是数据越多，求出的值就越接近准确值。带着这样的疑问，我翻阅了很多学者的文献，发现他们也遇到了同样的情况：对于高次函数而言，并不是数据越多，精度越高。但是我也发现了一个普遍的规律，取点的个数只要稳定在6-10之间，得到的结果通常都是比较靠近准确值的。接下来我们讲讲如何用拉格朗日插值法求不规则平面图形的面积假定一个平面图形，我们不知道它的形状，只知道它的水平长度为20。测量得到的相关数据如下表所示。表4平面图形的取点数据X02468101214161820QUOTEYiYi101381711131416101415计算方法和上文一致计算过程此处省略最终得到的函数关系式为，（4-14）进行积分后求得的面积大小为（4-15）上述计算过程说明了，拉格朗日插值公式不仅对规则图形成立，一样也适用于求不规则图形的面积。我们知道，无论是规则还是不规则，都还是属于平面图形的范畴，那能否用拉格朗日插值公式去计算曲面图形的面积呢？我在尝试之后发现在这个领域它的表现并没有它在前两个领域表现的那么突出，求出的面积的精准度非常低，有些甚至差别特别大。对于这方面的文献也比较少，期待之后能够有人涉足这一部分的内容。但总的来说这个方法在解决平面图形的面积这个问题上还是有很大优势的。1.2关于立体图形的体积问题上一节详细说明了拉格朗日插值公式在求平面图形的面积时的表现，作为补充，我会在本节中探讨它在求立体图形的体积时是否也依然有不错的表现。其实如果读者仔细阅读了文章就会发现，咱们之前就求过立体图形的体积，在上文中处理储水问题的时候，我们就已经用拉格朗日插值公式去求过立体图形的体积了。原理和之前一样，我们只需要取得足够多的数据，构造相应的函数关系式，再进行积分，就可以求出相应立体图形的体积了。计算可以参考以下步骤：先测出此立体图形的竖直高度再在一定范围内任意取点，得到与之对应的平面面积取6-10个点之后，建立对应的函数模型函数关系式为，（4-16）其中QUOTElili基函数，关于此立体图形的数值高度，QUOTEyiyi为特定高度所对应的平面面积最后进行积分（4-17）然后就可以求出此立体图形的体积了，当然，一样也是近似值。本节重点探讨了拉格朗日插值法在求图形面积或者体积方面的表现，得出的结论是：拉格朗日插值