2.4 指数运算及指数函数（精练）（题组版）（解析版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

.4指数运算及指数函数（精练题组版）题组一指数的运算1．（2025·河南新乡·二模）（

）A．16 B． C．32 D．【答案】A【解析】由.故选：A2．（24-25江西）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：C3．（24-25山东威海·期末）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，.所以原式.故选：D4．（24-25·江苏·期末）式子的值为（

）A． B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】.故选：C.5.（2024广东广州）计算下列各式．；（2）（3）；（4）

；(51)；(6)；（7）已知，求的值．【答案】(1)75(2)(3)4(4)(5)(6)（7）2【解析】（1）（2）.（3）（4）原式=.（5）.（6）；（7）因为，所以所以，所以故题组二指数函数的图像1．（24-25高三下·天津河西·开学考试）函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，函数定义域为R，且，所以为偶函数，排除A、B；当，则恒成立，排除D.故选：C2．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】当时，∵，∴当时，，故排除A、D；，因为，所以，即，所以函数不可能一直单调递减，故排除C.故选：B.3．（2025江西吉安·阶段练习）函数图像的大致形状为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，，时，图象与在第一象限的图象一样是增函数，时，图象与的图象关于轴对称.故选：B．4.（2024广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，要使图象不经过第一象限，则，解得.故选：B.5．（2024辽宁抚顺）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（

）.A．B．C．D．【答案】B【解析】令，解得，则，即过定点.故选：B6（2025广西南宁）函数且的图象恒过定点，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，令，可得，则，所以，函数且的图象恒过定点坐标为．故选：A7（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则．【答案】1【解析】∵函数的图象经过定点，∴，解得，∴.故答案为：1.题组三指数函数定义域1．（2025安徽·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，有，可得，解得，因此，函数的定义域为.故选：A.2．（2025北京·期末）函数的定义域是．【答案】.【解析】由题意得，解得且，所以函数的定义域为，故答案为：.3．（2025·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则．【答案】【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.4．（2026江西）函数的定义域为．【答案】【解析】由函数解析式，知：，解得且.故答案为：.5．（2025山西晋中·阶段练习）函数的定义域为.【答案】【解析】由题意，要使函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为.故答案为：.题组四指数型函数的值域1．（2025·上海·模拟预测）已知，则的值域是；【答案】【解析】当时,根据指数函数的图象与性质知，当时,.综上:的值域为.故答案为：.2．（2023·宁夏银川·二模）已知函数，，则其值域为．【答案】【解析】令，∵，∴，∴，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.3．（2025·河北）函数的最小值为.【答案】1【解析】函数的定义域为.由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.而.所以,函数的最小值为1.故答案为:1.4．（2025河南）已知二次函数的值域为，则函数的值域为．【答案】【解析】由二次函数的值域为得：解得：或（舍去）所以因为所以函数的值域为：故答案为：.5．（2025·河南）函数在的值域为．【答案】【解析】，设，当时，，所以，所以在的值域为．故答案为：．6．（2026·辽宁）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，解得：.故答案为：7．（2026·辽宁）偶函数的值域为．【答案】【解析】由题设，，故，所以，当且仅当时等号成立，又，所以的值域为.故答案为：.8．（2025·四川）已知函数，则的值域为．【答案】【解析】由题意可知时，，当且仅当时取得等号，时，，当且仅当时取得等号，故.故答案为：.9．（2026·江西）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为．【答案】【解析】因为，当时函数单调递减且，当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，若，，则在处取得最大值，不符题意；若，，则在处取得最大值，且，解得，综上可得的范围是．故答案为：10．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是【答案】【解析】（1）当时，若，则，因为函数在上单调递增，所以，若，则，当且仅当时取等号，因为不存在最小值，所以，所以，（2）当时，若，则，因为函数在上单调递增，所以，若，则，当且仅当时取等号，因为不存在最小值，所以，所以，所以实数的取值范围是，故选：C.11．（2025山东）已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是【答案】【解析】由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得.当时，，，此时函数无最小值；当时，即当时，函数在区间上为减函数，①若函数在上为增函数，则，且有，即，解得，此时；②若函数在上为减函数，则，且，所以，，即，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.12．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是.【答案】或【解析】由题意，令，，，，当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，因为存在最小值，故需，解得，结合，此时；当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，因为存在最小值，故需，即，解得，这与矛盾；当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；则实数的取值范围为或．故答案为：或．题组五指数型函数的单调性1．（24-25重庆）函数的减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，则，∵在上为增函数，在上为减函数，∴的减区间为.故选：B.2．（24-25浙江）已知函数，则（

）A．在上单调递增且值域为B．在上单调递减且值域为C．在上单调递增且值域为D．在上单调递减且值域为【答案】B【解析】令，则视为由和构成的复合函数，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，由指数函数性质得在上单调递增，由复合函数性质得在上单调递减，而，故，故B正确.故选：B3．（24-25吉林）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得：函数的单调递减区间是.故选：D.4．（24-25浙江）已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数在定义域上为增函数，则满足，解得，即实数的取值范围为.故选：C.5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数任意，，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方法一：根据任意，知函数在定义域上单调递增，因为当时，递增，而当时，需递增，考虑在两侧变化情况，所以解得．故选：A．方法二：代入选项进行画图检验，如B选项取代入，画函数的图象，如图，可直观判断，所以B，C不正确；取时，易见，递减，所以D不正确．故选：A．6（24-25湖北）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，函数在上单调递增，易知在上单调递减，当时，满足题设，当时，或，综上，.故选：B.7．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，由复合函数的单调性可知当时，在区间上单调递增，所以只需，则，与矛盾；当时，在区间上单调递减，所以，即．故的取值范围是．故选：B8．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，令，则“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，的对称轴为，若在上单调递增，则，解得，若在上单调递减，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：D.9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，故，解得.故选：D.10．（24-25高三上·辽宁大连·期末）已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，设，则，因为，所以在R上单调递增，其中，需满足在上单调递增，在上单调递增，且，由得，根据在上单调递增，得到，故，所以，当，即时，在上单调递增，当，即时，在上单调递增，当，即时，由对勾函数性质得，在上单调递增，故需满足，解得，所以，综上，实数a的取值范围是.故选：D题组六指数型函数的奇偶性1．（24-25广东东莞）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数【答案】B【解析】由，其定义域为R，关于原点对称，，所以是奇函数.又，因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且，所以在R上单调递减，则在R上单调递增，那么在R上单调递增.故单调递增且是奇函数.故选：2．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数【答案】C【解析】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.故选：C3．（2025广西）若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意，是定义在R上的奇函数，，A选项，对于函数，，所以函数不是奇函数.B选项，对于函数，，所以函数不是奇函数.C选项，对于函数，，所以函数是奇函数.D选项，对于函数，，所以函数不是奇函数.故选：C4（2025湖北）已知函数为奇函数，则实数______.【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以，即，所以，因为，所以，即，所以，解得.故答案为：.5．（2025陕西）已知函数是奇函数，则__________.【答案】【解析】因为，故，因为为奇函数，故，即，故.故答案为：.题组七指数型函数性质的应用--比较大小1．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以．故选：A.2．（24-25广东韶关）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是减函数，所以．易得，所以．故选：A.3．（2025·天津·一模）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以.故选：A4．（23-24北京·期中）已知，那么的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在定义域内单调递增，则，即；又因为在定义域内单调递增，则，即；综上所述：.故选：A.5．（24-25高三下·青海海东·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】】因为，，，所以，故选：D．6．（2025·湖南常德·一模）下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，因为函数为减函数，，所以，故A错误；对于B，因为函数是减函数，，所以，故B错误；对于C，因为，而，因为函数在上单调递增，所以，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确.故选：D.7．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知函数和在上单调递增，所以在上单调递增，又，故，即．故选：D题组八指数型函数性质的应用解不等式1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为减函数，由，可得，即，即，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.2．（24-25河南·期末）已知函数则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，则在时无解；当时，在R上单调递增；当时，，则的解集为；当时，，则在时恒成立，综上，不等式的解集为．故选：B3．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，，；当时，，，；且当时，，所以为奇函数，易知为上的递减函数，则，所以原不等式的解集为.故选：A4．（24-25湖南·阶段练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，函数，令，则，由得，∴，即.∵，在上为增函数，在上为减函数，∴在上为增函数，∵定义域为，且，∴是上的奇函数，故.∴由得，，解得或，∴实数的取值范围为.故选：A.5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，都是上的单调增函数，所以是上的单调增函数．令，则，所以为奇函数．又因为是上的单调增函数，所以也是上的单调增函数，则，即，可得，即．故选：A．6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，可得，，所以，．因为，所以为奇函数．当时，为增函数，且为连续函数，则在上单调递增，所以原不等式等价于，即，即，解得．故选：D．7．（2025·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以，即，又也是偶函数，所以，所以，即，因为函数是R上的减函数，也是减函数，所以函数是R上的减函数；令，即，解得，当时，，此时函数在上单调递增，当时，，此时函数在上单调递减，又函数是上的偶函数，所以由，可得，解得，因此，实数的范围是，故选：C.8．（2024·广东深圳·一模）已知，则的解集为．【答案】【解析】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数，函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减，不等式，因此，即，解得或，所以原不等式的解集为.故答案为：题组九指数函数的实际应用1．（23-24江苏）一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知，当时，，即，解得，令，解得.故选：B2．（24-25高三上·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可知，当时，；当时，，解得，那么.因为污染物减少，所以，所以，所以．所以污染物减少大约需要花费．故选：B．3．（24-25四川）为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（

）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，天后，百菌清残留量为，，所以，，，令，即，则，所以，，所以，，故，所以，在该次喷洒农药的天后，百菌消残留量约为.故选：B.4．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（

）A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下D．设小时后，血液中的酒精含量为，则【答案】ACD【解析】设小时后，血液中的酒精含量为，则，D选项正确；当时，由，解得，A选项正确；当时，当时，所以5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下，B选项错误C选项正确.故选：ACD.5．（2025陕西）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤小时．【答案】4【解析】根据题意有，，可得，即设污染物消除至最初的还需要过滤x小时，则，即则，即，则，解之得故答案为：46．（24-25辽宁）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是.（参考数据：，）【答案】【解析】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米，木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，，以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米，由题意可得，可得，所以，，所以，，则，故至少需要天.故答案为：.题组十指数型函数的综合应用1.（2024·上海）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求实数的值，并证明在上单调递增；(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，证明见解析(2)【解析】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，此时，对任意的，，即函数的定义域为，，即函数为奇函数，合乎题意，任取、且，则，所以，，则，所以，函数在上单调递增.（2）解：由（1）可知，函数在上为增函数，对于任意的、，都有，则，，因为，则.当时，则有，解得；当时，则有，此时.综上所述，实数的取值范围是.2．（2025广东）已知（且）是上的奇函数，且．(1)求的解析式；(2)若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合；(3)设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由．【答案】(1