特征估计及系统分析

1.3.4自有关函数的预计1.无偏自有关函数的预计(1)预计办法(计算公式)根据各态历经性假设,求的自有关函数,可由的一个取样时间序列的时间平均替代其统计(集合)平均.若为实信号,则有(自有关函数真值)(1.3.23)事实上,能观察到的随机信号只能是一种有限长样本序列,因此,由个取样数据计算得到的,应是其估值,即(1.3.24)式中,为长度为点的矩形窗——,及.由于两个有限长序列与的乘积不为零的区间是,即因此,式(1.3.24)可写成,(1.3.25)这就是自有关函数无偏预计的计算公式.|m|是x(m+n)相对于x(n)左移(或右移)量,是两者不重叠部分,因此重叠的实际长度为N-|m|.参考原教案(88.3)p63(2)预计质量[偏移性]取的数学盼望因的数学盼望等于其真值,因此偏移为零,即可见,是无偏预计.[预计方差]的方差为其中在解决上式计算后,能够得到(1.3.26)上式中,只有当≫,时,预计方差才趋于0,而当时,方差将很大.即使是无偏预计,但不是一致预计,普通状况下,这不是一种好的预计办法.2.有偏自有关函数的预计(1)预计办法(计算公式)无偏预计方差较大的因素,是由于有限长观察数据相称于采用了矩形窗口对无限长数据进行截短,为了减小的预计方差,普通用三角窗对进行加权.令(1.3.27)其中

因此,(1.3.28)称为“取样自有关函数”.这就是对自有关函数进行有偏预计的计算公式.此式即为教材p122,式(4.5)[偏移性]的数学盼望为

——有偏预计及——渐近无偏预计[预计方差]由式(1.3.27),有偏预计的方差为(1.3.29)将式(1.3.26)代入上式,得到(1.3.30)由上式,当时,,并且[结论]是有偏一致预计,预计方差不大于,因此实际中常采用这种办法预计自有关函数.注意:今后有偏自相关函数估计改用表示.§1.4平稳随机序列通过线性系统本节分析平稳随机序列通过线性时不变系统的平稳性,输入-输出数字特性之间的对应关系.已知线性非时变系统如图1.4.1所示,其冲激响为拟定序列.输入:——平稳随机信号的一种样本序列,已知特性量,,,.输出:——由线性系统特性可知,信号形式仍是随机过程的一种样本函数.问题:与否平稳?数字特性:,,,,,=?H(z)h(n)x(n)y(n)图1.4.1随机序列通过线性系统1.4.1系统响应的数字特性及平稳性分析1.统计平均值my系统输出:

根据定义,可得(1.4.1)

拟定序列输入平稳求和成果与否为常数？由于系统频响是的离散傅氏变换:

当时,常数因此常数(1.4.2)以上阐明:与时间无关,也与时间无关.2.自有关函数Ryy(m)先假定是非平稳的,计算的自有关函数:由于是平稳的,因此得到:(1.4.3)上式表明，与时间起点无关,而仅与时间差有关(下小节将进一步解决等于什么)。

[结论]

对于线性非时变系统,若输入平稳,则输出也是平稳的.

1.4.2有关-卷积定理——与的关系已知在第二个求和式内,令,则定义的自有关函数:(1.4.4)根据拟定信号有关函数定义将上式代入体现式,得到:(1.4.5)上式左边:的自有关,因,因此又称卷积的自有关;上式右边:的自有关的自有关,即自有关的卷积.[结论]与卷积[即]的自有关,等于与分别自有关的卷积.[推广]若则互有关即:卷积的有关,等于有关的卷积.这就是有关－卷积定理.“卷积的有关”：一指e(n)是a(n)和b(n)的卷积，f(n)是c(n)和d(n)的卷积；二指两个卷积函数e(n)和f(n)有关。1.4.3系统的输入输出互有关函数

——输入输出互有关定理由定义：即(1.4.6)可见:等于与的卷积,这就是“输入－输出互有关定理”。又已知

另一种证明办法见例题1.4.1将式(1.3.36)代入上式,得到(1.4.7)因此,又可表达为与的卷积.1.4.4的功率谱密度函数已知对上式作Z变换,得令即(1.4.8)

1.4.5白噪声激励白噪声是随机过程,其特点是:常数.本节分析：当输入为白噪声时①？②，以及、与的关系。由以上分析已得：当时，存在z变换，则有或

的傅氏逆变换为当时，对白噪声而言或者表达为(1.4.9)归纳白噪声激励时,有关函数与功率谱的公式以下:a)自有关函数FTb)自功率谱平均功率——均匀分布c)互有关函数d)互功率谱e)输出自功率谱：1.4.6小结

输入-输出关系：有关函数：——有关卷积定理H(z)h(n)平稳x(n)平稳y(n)其中——的自有关——输入-输出互有关定理功率谱：1.4.7例题例1.4.1假设系统的输入为,输出为,单位冲激响应为,试输入-输出互有关函数和输入自有关函数之间的关系.解由于按照有关卷积定理,得到

h(n)x(n)y(n)参见西电硕士系列教材:数字信号解决(丁玉美编),p18-p21.式中将该式代入上式,得到与的关系为

下面再求输出-输入互有关函数与的关系.根据平稳随机信号有关函数的性质,可得例1.4.2按照下图推导两个系统的输出互有关函数和输入互有关函数之间的关系.解由于按照有关卷积定理,得到对于两个实序列与，有H1(z)x1(n)y1(n)H2(z)x2(n)y2(n)例1.4.3设实平稳白噪声的方差是,均值,让通过一种网络,网络的差分方程为其中是实数.求网络输出的功率谱和自有关函数.解先用归纳法求网络输出的自有关函数