2026届高考物理总复习（第1轮）教师用书第四章 曲线运动　万有引力与航天

第四章曲线运动万有引力与航天

1.通过实验，了解曲线运动，知道物体做曲线运动的条件.

2.通过实验，探究并认识平抛运动的规律.会用运动合成与分解的方法分析平抛运动.体

会将复杂运动分解为简单运动的物理思想.能分析生产生活中的抛体运动.

3.会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动.知道匀速圆周运动向心加速度的大小和

课方向.通过实验，探究并了解匀速圆周运动向心力大小与半径、角速度、质量的关系.能

程用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力.了解生产生活中的离心现象及其产生的原

标因.

准4.通过史实，了解万有引力定律的发现过程.知道万有引力定律.认识发现万有引力定律

的重要意义.认识科学定律对人类探索未知世界的作用.

5.会计算人造地球卫星的环绕速度.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度.

6.知道经典力学的局限性，初步了解相对论时空观和微观世界的量子特征.体会人类对自

然界的探索是不断深入的.

1.理解物体做曲线运动的条件，理解向心力、向心加速度等概念.

2.掌握平抛运动、圆周运动的相关规律.

3.会用运动与相互作用知识分析曲线运动问题.

物理观念4.了解万有引力定律的发现过程及重要意义.

5.掌握万有引力定律的应用.

6.会计算环绕速度.

核7.运用运动观念拓展对天体运动的探究.

心1.会用运动的合成与分解方法分析平抛运动，会用牛顿第二定律分析圆

素周运动.

养科学思维2.体会将复杂运动转化为简单运动的思想方法，认识其物理模型特征.

3.运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题.

4.建构双星、多星运动模型.

通过实验研究平抛运动、匀速圆周运动的规律.学习引力常量的测量方

科学探究

法，体会猜想、假设及实验验证在发现海王星中的重要科学作用.

科学态度联系生活中的曲线运动模型，让学生掌握生活中的物理应用，激发学生

与责任的学习兴趣.

1.曲线运动主要考查运动的合成与分解方法的应用，平抛运动和圆周运

动的规律及其应用.

命题分析

2.万有引力与航天是每年高考的必考内容，多是通过联系最新科技以选

择题形式呈现.

命1.以曲线运动为背景命制的题目常常涉及临界、极值、数形结合等问题，

题题型有选择题和计算题.近几年高考特别注重联系生产、生活及科技实

探际的命题.

趋势分析

究2.以万有引力与航天为背景命制的题目：(1)应用万有引力定律计算重

力加速度、天体质量、天体密度等；(2)对天体运动规律的分析，卫星

的发射与变轨，与天体运动有关的能量问题等.

风洞、航展表演、投篮、飞轮转动、抛撒谷粒、小船渡河、抛体运动、

预设情境

火车转弯、水流星、体育运动、天体的质量和密度、卫星运动参量、天

体的“追及”、卫星的变轨和对接、双星或多星等.

第1讲曲线运动运动的合成与分解

一、曲线运动

1.速度的方向

质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.

2.运动性质

物体做曲线运动时，由于速度的方向时刻改变，物体的加速度

一定不为0，因此，曲线运动一定是变速运动.

3.物体做曲线运动的条件

(1)运动学角度：物体的加速度的方向与它的速度方向不在同一

直线上.

(2)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线

上.

二、运动的合成与分解

1.分运动和合运动

一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动叫作分运动，

物体的实际运动叫作合运动.

2.运动的合成

由分运动求合运动的过程.包括位移、速度和加速度的合

成.

3.运动的分解

由合运动求分运动的过程.解题时应按实际效果分解，或正

交分解.

4.遵从的规律

运动的合成与分解遵从矢量运算法则.

5.合运动与分运动的关系

(1)等时性：合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，

即同时开始、同时进行、同时停止.

(2)独立性：各分运动相互独立，不受其他运动的影响.各分运

动共同决定合运动的性质和轨迹.

(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果.

考点一物体做曲线运动的条件与轨迹分析

1.物体做曲线运动的轨迹

物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，

如图所示.

2.物体做曲线运动的特征

(1)运动学特征：由于做曲线运动的物体的瞬时速度方向沿曲线的切

线方向，所以做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动

一定为变速运动.

(2)动力学特征：由于做曲线运动的物体的速度时刻变化，说明物体

具有加速度，根据牛顿第二定律可知，物体所受的合力一定不为零且和

速度方向始终不在一条直线上（曲线运动条件）.合力在垂直于速度方向

上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速

度的大小.

(3)若合外力的方向与速度方向夹角成锐角，则物体速率增大；若两

者夹角为钝角，则速率减小.

物体做曲线运动的条件

【例1】在珠海航展上，歼击机进行了空中表演，其轨迹是曲线，

如图所示.歼击机在运动过程中，下列说法正确的是()

A.歼击机的速度可能不变

B.歼击机所受合力大小一定不变

C.歼击机所受合力方向与它的速度方向可能在一条直线上

D.歼击机在曲线运动过程中所受合力一定指向曲线凹侧

【解析】D歼击机做的是曲线运动，速度方向时刻发生改变，A

错误；物体做曲线运动的条件是物体的初速度方向与力的方向不在同一

条直线上，力的大小可以不变，也可以变化，B错误；当歼击机所受合

力方向与它的速度方向存在夹角时，才能做曲线运动，在同一条直线上

是做直线运动，C错误；在曲线运动过程中所受合力一定指向曲线凹侧，

D正确.

【变式训练1】在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水

平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置

条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线

表示小钢球的运动轨迹.观察实验现象，以下叙述正确的是()

A.第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动

B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条

抛物线

C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向

D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与

速度方向不在同一直线上

【解析】D第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸

引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变

大，故小钢球做非匀变速直线运动，A错误；第二次实验中，小钢球所

受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类

平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，B错误；该实验说明物体做曲线

运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是

不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，C错误、D

正确.

物体做曲线运动的轨迹分析

【例2】（2023·辽宁卷）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动

轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是()

ABCD

【解析】A篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，A

正确.

【变式训练2】（2023·江苏卷）达·芬奇的手稿中描述了这样一个

实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙

子.若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是

()

AB

CD

【解析】D罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沙子在时

1

间Δt内水平方向相对于罐子位移为a(Δt)2，竖直方向做自由落体运动，

2

1

在时间Δt内相对于罐子位移为g(Δt)2，说明沙子连线的倾角是一定的，

2

D正确.

决定物体运动轨迹的两个因素

决定物体运动轨迹的两个因素是：初速度与合力.物体做曲线运动的轨迹在

合力与速度方向的夹角范围内，且弯向受力方向，这是分析该类问题的技巧.

考点二运动的合成与分解

1.运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速

度的合成与分解.由于它们均是矢量，合成与分解都遵守平行四边形定

则.

2.合运动的性质和轨迹的判断

(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）

变化，则为非匀变速运动.

(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运

动，否则为曲线运动.

运动的合成与分解的运算

【例3】在光滑的水平面上，一质量为m＝2kg的滑块在水平方向

F＝4N的恒力作用下运动.如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段

轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5m/s，滑块在P点的速度

方向与PQ连线夹角α＝37°，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法

正确的是()

A.水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角

B.滑块从P点运动到Q点的时间为3s

C.滑块从P点运动到Q点的过程中速度最小值为3m/s

D.P、Q两点连线的距离为10m

【解析】B滑块在水平恒力作用下由P点到Q点，滑块过P、Q

两点时速度大小均为v＝5m/s，即水平恒力不做功，所以力应该和位移

的方向垂直，A错误；把滑块在P点的速度分解到垂直于PQ方向上有

v2＝vsinα＝3m/s，由题意知在这个方向上滑块先减速后反向加速，由

F

牛顿第二运动定律得运动的加速度a＝＝2m/s2，由于运动具有对称性，

m

v2

得滑块从P到Q的时间t＝2×＝3s，B正确；把速度分解到PQ方向

a

上有v1＝vcosα＝4m/s，滑块在PQ方向上做匀速运动，所以当滑块在

垂直于PQ方向上的速度等于零时，速度最小，为4m/s，C错误；P、

Q两点之间的距离为PQ＝v1t＝12m，D错误.

【变式训练3】（多选）跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项

目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会

受到水平风力的影响，下列说法正确的是()

A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作

B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害

C.运动员下落时间与风力无关

D.运动员着地速度与风力无关

【解析】BC水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下

落时间与风力无关，A错误、C正确；运动员落地时竖直方向的速度是

确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，运动员着地时的合速

度越大，有可能对运动员造成伤害，B正确、D错误.

合运动的性质和轨迹的判断

【例4】[易错题]（2024·安徽卷）（多选）一倾角为30°足够大的

光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐标系，如图甲所

示.从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物

块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示.

已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力.则

()

甲乙

A.物块始终做匀变速曲线运动

B.t＝1s时，物块的y坐标值为2.5m

C.t＝1s时，物块的加速度大小为53m/s2

D.t＝2s时，物块的速度大小为102m/s

【解析】BD根据图像可得F1＝4－t(N)，F2＝3t(N)，故两力的

合力为F＝4＋2t(N)，物块在y轴方向受到的力不变为mgsin30°，x轴

方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，A错

mgsin30°2

误；在y轴方向的加速度为ay＝＝gsin30°＝5m/s，故t＝1s

m

12

时，物块的y坐标值为y＝ayt＝2.5m，B正确；t＝1s时，F＝6N，

2

2262222

故此时加速度大小为a＝ax＋ay＝()＋5m/s＝52m/s，C错

1.2

误；对x轴正方向，对物块根据动量定理Ft＝mvx－0，由于F与时间t

(4＋2×0)＋(4＋2×2)

成线性关系，故可得×2＝1.2vx，解得vx＝10m/s，此

2

时y轴方向速度为vy＝gsin30°·t＝5×2m/s＝10m/s，故此时物块的速度

22

大小为v＝vx＋vy＝102m/s，D正确.

【易错点】学生易错选A.主要原因是未认真审题，沿x轴正方向

的力F1和F2均随时间变化，这两个力的合力随时间在不断变化，故物

体的加速度发生变化.

【变式训练4】一质量为2kg的物体在如图甲所示的xOy平面上

运动，沿x轴方向上的v－t图像和沿y轴方向上的y－t图像分别如图乙、

丙所示，下列说法正确的是()

甲乙丙

A.前2s内物体做匀变速直线运动

B.物体的初速度为8m/s

C.1s末物体的速度大小为42m/s

D.前2s内物体所受的合外力为16N

【解析】C由v－t图像可知，物体在x方向上做初速度为v0x＝8

m/s的匀减速直线运动，加速度大小为a＝4m/s2.根据y－t图像可知，

物体在y方向上做速度大小为vy＝4m/s的匀速直线运动，合速度方向

与加速度方向不在同一直线上，则在前2s内，物体的合运动为匀变速

曲线运动，A错误；物体的初速度为水平速度和竖直速度的合速度，初

2222

速度为v＝v0x＋vy＝8＋4m/s＝45m/s，B错误；1s末物体在x方

22

向的速度为vx＝v0x－at＝4m/s，故1s末物体的速度大小为v′＝vx＋vy＝

42＋42m/s＝42m/s，C正确；前2s内物体的加速度大小为4m/s2，

由牛顿第二定律可知，物体所受合力为F＝ma＝8N，D错误.

1.合运动和分运动的关系

(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时

间相等（不同时的运动不能合成）.

(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响.

(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果.

(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，

不能是几个不同物体发生的不同运动.

2.求解运动的合成与分解问题的技巧

(1)求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性.

(2)物体的实际运动是合运动.运动分解时一般按运动效果进行分解.

考点三小船渡河模型

当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，

渡河时间最短d

最短时间tmin＝

v船

如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角

θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，

渡河位移最短，等于河宽d

渡河位移最短

如果v船<v水，当船头方向（即v船方向）

与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等

于dv水

v船

【例5】一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.

(1)若船在静水中的速度为v2＝5m/s，欲使船在最短的时间内渡河，

船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(2)若船在静水中的速度为v2＝5m/s，欲使船渡河的航程最短，船

头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5m/s，欲使船渡河的航程最短，船

头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

【解析】(1)若v2＝5m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应垂直

于河岸方向，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直于河岸的分速度为

v2＝5m/s.

甲

dd180

t＝＝＝s＝36s，

v⊥v25

225

v合＝v1＋v2＝5m/s，

2

x＝v合t＝905m.

乙

(2)若v2＝5m/s，欲使船渡河的航程最短，合速度应沿垂直于河岸

方向，船头应朝图乙中的v2方向.垂直于河岸过河则要求v∥＝0，有

v2sinθ＝v1，得θ＝30°.

所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短.

x＝d＝180m，

180

＝d＝d＝＝

t5s243s.

v⊥v2cos30°3

2

(3)若v2＝1.5m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向

d

下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝.欲

sinα

使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢

量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度

方向，欲使v合与河岸下游方向的夹角最大，应使v合与圆相切，即v合

⊥v2.

丙

v23

由sinα＝＝，得α＝37°，

v15

所以船头应朝与上游河岸成53°角方向.

d180

t＝＝s＝150s，

v2cosα1.2

v合＝v1cosα＝2m/s，

x＝v合t＝300m.

【变式训练5】洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟

兵的身影.如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿

与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，采

取以最小速度和舟头垂直于河岸两种方案行驶，则两种方案中冲锋舟的

最小速度v1和以舟头垂直于河岸行驶冲锋舟的速度v2之比为()

A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶2

【解析】D冲锋舟以最小速度v1和舟头垂直于河岸两种方案分

别从A到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线，有v1＝vsin30°，冲

v13

锋舟速度v2垂直于平直河岸时，有v2＝vtan30°，可知＝cos30°＝，

v22

D正确.

解决小船渡河问题

考点四绳（杆）端速度分解模型

1.绳（杆）端速度分解模型特点：沿绳（或杆）方向的速度分量大

小相等.

2.绳（杆）端速度的分解思路

【例6】如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O

点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P.设轻绳的左

边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小.现将P、Q由静止同时释放，

关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是()

A.当θ＝60°时，P、Q的速度之比是3∶2

B.当θ＝90°时，Q的速度最大

C.当θ＝90°时，Q的速度为零

D.当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大

【解析】BP、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P

的速度大小相等，则当θ＝60°时，Q沿绳子方向的分速度vQcos60°＝vP，

vP1

解得＝，A错误；当θ＝90°时，即Q到达O点正下方，垂直Q运动

vQ2

方向上的分速度为0，即vP＝0，此时Q的速度最大，B正确、C错误；

当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，

加速度为零，合力为零，D错误.

【变式训练6】[易错题]（生活情境）“筋膜枪”利用其内部特制的

高速电机带动枪头，产生的高频振动可以作用到肌肉深层，以达到缓解

疼痛、促进血液循环等作用.如图所示为某款筋膜枪的内部结构简化图，

连杆OB以角速度ω绕垂直于纸面的O轴匀速转动，带动连杆AB，使套

在横杆上的滑块左右滑动，从而带动枪头振动.已知AB杆长为L，OB

杆长为R，当AB⊥OB时，滑块的速度大小为()

ωRL2＋R2ωLL2＋R2ωRL

A.ωRB.C.D.

LRL2＋R2

【解析】B当AB⊥OB时，杆AB的速度等于B点的速度为vB

＝ωR，滑块沿杆的方向的速度等于杆的速度，则有vB＝vcosθ＝

LωRL2＋R2

v，联立得v＝，B正确.

L2＋R2L

【易错点】本题易错选A.主要原因是误认为滑块的速度等于B

点做圆周运动的速度.滑块的实际速度沿横杆向右，其沿AB杆方向上的

分速度大小和B点的速度大小相等.

四种常见的速度分解模型

1.篮球无转动加速下落时轨迹如图甲所示，若在篮球释放瞬间给它

一个转动速度，轨迹如图乙所示，引起轨迹乙的原因称为马格努斯效应，

马格努斯效应在球类运动项目中非常普遍.已知P为甲轨迹上一点，Q

为乙轨迹上一点.根据轨迹下列判断正确的是()

甲乙

A.篮球在P点受到空气给它的力不可能水平向左

B.篮球在P点受到空气给它的力可能大于篮球重力

C.篮球在Q点受到空气给它的力可能水平向左

D.篮球在Q点受到空气给它的力可能斜向左上

【解析】A篮球在P点做直线运动，垂直于直线方向的合力为零，

因此篮球水平方向不受空气的作用力，篮球加速下落，竖直方向所受空

气的作用力小于重力，A正确、B错误；在Q点篮球做曲线运动，空气

给篮球的作用力和重力的合力指向曲线的凹侧，重力竖直向下，所以空

气给篮球的作用力可能斜向右上，C、D均错误.

2.无人机在空中拍摄运动会入场式表演.无人机起飞上升并向前追

踪拍摄，飞行过程的水平方向速度vx和竖直向上的速度vy与飞行时间t

的关系图线如图所示.下列说法正确的是()

A.无人机在0～t1时间内沿直线飞行

B.无人机在t1～t2时间内沿直线飞行

C.无人机在t1时刻上升至最高点

D.无人机在0～t1时间内处于失重状态

【解析】A由题图可知，无人机t＝0时的初速度为0，0～t1时

间内水平方向和竖直方向加速度恒定，即合加速度恒定，做匀加速运动，

初速度为0的匀加速运动一定是直线运动，A正确；0～t1时间内无人机

沿直线飞行，t1时刻，水平方向加速度变为0，合加速度方向为竖直方

向，与此时速度方向不共线，所以做曲线运动，B错误；t1时刻之后，

竖直速度方向依然向上，无人机还在上升，直到t2时刻，竖直速度减为

0，到达最高点，C错误；0～t1时间内竖直方向加速度向上，处于超重

状态，D错误.

3.如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分

别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N

点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，假设甲、乙划船速

度大小相等，且渡河过程中能相遇，两船相遇不影响各自的航行，下列

判断正确的是()

A.甲船也能到达正对岸

B.甲船渡河时间一定较短

C.两船相遇在NP直线上的某点（非P点）

D.甲、乙两船渡河时间不相等

【解析】C甲船航行的方向与河岸成α角，水流速度水平向右，

合速度一定不会垂直于河岸，则甲船不能垂直到达对岸，A错误；在垂

dd

直于河岸方向上，v甲＝vsinα，v乙＝vsinα，渡河时间为t甲＝＝，

v甲vsinα

dd

t乙＝＝，两船渡河时间相等，因为在垂直于河岸方向上的分速

v乙vsinα

度相等，又是同时出发的，所以两船相遇在NP直线上的某点（非P点），

B、D错误，C正确.

4.如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击

出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8m，当网球竖直分速度为零时，击

中墙壁上离地高度为8.45m的P点.网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度

分量大小变为碰前的0.75.平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取

10m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为()

A.v＝5m/sB.v＝3m/sC.d＝3.6mD.d＝3.9m

2

【解析】D设网球飞出时的速度为v0，在竖直方向有（v0竖）＝

2g(H－h)，v0竖＝12m/s，由速度三角形原则可知v水平＝5m/s，则网球水

v0竖

平方向到墙面的距离为x水平＝v水平t＝v水平＝6m，由几何关系可知，

g

4

当球打到墙上时，垂直墙的速度分量为v水平1＝v水平·＝4m/s，平行墙面

5

3

的速度为v水平2＝v水平·＝3m/s，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量

5

大小为v水平1′＝0.75·v水平1＝3m/s，由速度三角形可知v＝

22

（v水平2）＋（v水平1′）＝32m/s，A、B错误；网球落地时间为t′＝

2H

＝1.3s，则着地点到墙壁的距离d＝v水平1′·t′＝3.9m，C错误、D

g

正确.

5.（生活情境）（多选）钓鱼是一项越来越受到欢迎的运动，钓到大

鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线.如图所示，在收尾阶段，鱼已经

浮在水面不再挣扎，钓鱼者以恒定速率v收鱼线（钓鱼者和鱼竿视为不

动），鱼线与水平面的夹角为θ，以下说法正确的是()

A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大

B.当θ＝60°时，鱼的速率为2v

C.当θ＝37°时，鱼的速率为0.8v

D.鱼受到的合外力恒定

【解析】AB如图所示，将鱼的速度分解为沿绳子方向的速度和

垂直绳子方向的速度，则v＝v鱼cosθ，钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程

中θ增大，v鱼增大，鱼做变加速运动，合外力不是恒定值，A正确、D

错误；根据v＝v鱼cosθ，可知当θ＝60°时，v鱼＝2v，当θ＝37°时，v鱼

＝1.25v，B正确、C错误.

6.（多选）如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、

O2和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小

物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平

面的夹角θ＝60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮

O1的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会

与其他物体相碰.现将小物块从C点由静止释放，当小物块沿杆下滑距

离也为L时（图中D处），下列说法正确的是()

A.小物块刚释放时轻绳中的张力一定小于mg

3

B.小球下降的最大距离为（1－）L

2

C.小物块在D处的速度与小球速度大小之比为3∶1

D.小物块在D处的速度与小球速度大小之比为2∶3

【解析】AB刚释放的瞬间，小球的瞬时加速度竖直向下，轻绳

中的张力一定小于mg，A正确；当连接小物块的轻绳与杆垂直时，小

3

球下降的距离最大，根据几何知识得Δh＝L－Lsin60°＝（1－）L，B

2

正确；将小物块的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，沿绳

方向的分速度等于小球的速度，根据平行四边形定则，小物块在D处的

速度与小球的速度之比为v1∶v2＝2∶1，C、D错误.

7.如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个

质量为m的小球（可视为质点），小球抛出后所受空气作用力沿水平方

向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力

加速度为g，在此过程中，求：

(1)小球离A、B所在直线的最远距离；

(2)A、B两点间的距离；

(3)小球的最大速率vmax.

【解析】(1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向

有

2

F＝max，v0＝2axxmax，

2

mv0

解得xmax＝.

2F

v0

(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝，由对称性知小球从A运

ax

动到B的总时间t＝2t1，竖直方向上有

22

12mgv0

y＝gt2＝.

2F2

(3)小球运动到B点时速率最大，此时有

vx＝v0，vy＝gt，

22v0222

则vmax＝vx＋vy＝F＋4mg.

F

8.有一小船（视为质点）从岸边A点出发过宽d＝400m的河，河

由宽度之比为1∶3的Ⅰ、Ⅱ区域组成.Ⅰ区域水速大小v1＝3m/s，Ⅱ区域水

速大小v2＝5m/s，方向向右，如图所示.为保证小船安全过河，小船在Ⅰ、

Ⅱ区域的相对静水速度分别为v3＝5m/s和v4＝3m/s.B点为对岸上的点，

且A、B连线与河岸垂直.求：

(1)小船以最短时间过河到达的位置；

(2)小船以最短路程过河到达的位置.

d

【解析】(1)船头正对对岸过河时用时最短，过Ⅰ区域有t1＝＝20

4v3

s，

水流方向位移s1＝v1t1＝60m，

3d

过Ⅱ区域有t2＝＝100s，

4v4

水流方向位移s2＝v2t2＝500m，

则小船最后在B点下游的位置离B的距离为

s＝s1＋s2＝560m.

(2)过Ⅰ区域时，v3>v1，则船可以垂直过河，水流方向位移s3＝0.

过Ⅱ区域时，由于v4<v2，当船头方向与合速度垂直时位移有最小值，

22

则船实际速度大小v实＝v2－v4＝4m/s，

设水流方向位移为s4，

v43d

由几何关系有tanθ＝＝，

v实4s4

解得s4＝400m.

则小船最后在B点下游的位置离B距离为

s′＝s3＋s4＝400m.

第2讲抛体运动

一、抛体运动

1.定义

以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物

体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动.

2.运动的性质

加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.

3.分类

(1)平抛运动；

(2)斜抛运动.

二、平抛运动

1.定义

将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作

用下的运动.

2.运动的性质

平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物

线.

3.研究方法：化曲为直

(1)水平方向：匀速直线运动；

(2)竖直方向：自由落体运动.

4.基本规律

如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向（水平方向）为x

轴正方向，竖直向下为y轴正方向.(1)速度关系

22

大小：v＝vx＋vy

合速度

水平方向：vx＝v0

―――→方向：＝vy＝gt

竖直方向：vy＝gttanθ

vxv0

(2)位移关系

水平方向：＝

xv0t合位移

1―――→

竖直方向：y＝gt2

2

大小：s＝x2＋y2

ygt

方向：tanα＝＝

x2v0

轨迹方程：＝g2Ｗ

(3)y2x.

2v0

三、斜抛运动

1.定义

将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在

重力作用下的运动.

2.运动的性质

加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动.

3.研究方法

斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的

匀变速直线运动.

4.基本规律（以斜向上抛为例，如图所示）

(1)水平方向：v0x＝v0cosθ，x＝v0tcosθ.

12

(2)竖直方向：v0y＝v0sinθ，y＝v0tsinθ－gt.

2

四、类平抛运动的分析

所谓类平抛运动，就是受力特点和运动特点类似于平抛运动，即受

到一个恒定的外力且外力与初速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动.

1.受力特点

物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直.

2.运动特点

沿初速度v0方向做匀速直线运动，沿合力方向做初速度为零的

匀加速直线运动.

考点一平抛运动规律的应用

1.关于平抛运动必须掌握的四个物理量

物理量相关分析

飞行时2h

t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关

间(t)g

2h

水平射x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与

g

程(x)

其他因素无关

222

v＝vx＋vy＝v0＋2gh，以θ表示落地时速度与水平方向间的夹角，有

落地速

vy2gh

度(v)tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关

vxv0

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做

速度的平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变

改变量量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示

(Δv)

2.平抛运动的两个重要推论

(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过

2

vygty

此时水平位移的中点，如图甲所示.其推导过程为tanθ＝＝＝.

v0v0tx

2

甲乙

(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平

方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα.如图乙所

vygt·t2y

示.其推导过程为tanθ＝＝＝＝2tanα.

v0v0·tx

平抛运动的分析

【例1】（2023·湖南卷）如图甲，我国某些农村地区人们用手抛

撒谷粒进行水稻播种.某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，

其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷

粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上.

忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是()

甲乙

A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度

B.谷粒2在最高点的速度小于v1

C.两谷粒从O到P的运动时间相等

D.两谷粒从O到P的平均速度相等

【解析】B抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重

力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做

斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水

平方向上的分速度，与谷粒1比较，水平位移相同，但运动时间较长，

故谷粒2水平方向的速度较小即最高点的速度小于v1，B正确；谷粒2

做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相

同，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖

直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；两谷粒从O点运

动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平

均速度大于谷粒2的平均速度，D错误.

【变式训练1】（多选）摩托车跨越表演是一项惊险刺激的运动，

受到许多极限爱好者的喜爱.假设在一次跨越河流的表演中，摩托车离开

平台时的速度为24m/s，刚好成功落到对面的平台上，测得两岸平台高

度差为5m，如图所示.若飞越中不计空气阻力，摩托车可以近似看成质

点，g取10m/s2，则下列说法正确的是()

A.摩托车在空中的飞行时间为1s

B.河宽为24m

C.摩托车落地前瞬间的速度大小为10m/s

D.若仅增加平台的高度（其他条件均不变），摩托车依然能成功跨

越此河流

1

【解析】ABD摩托车在竖直方向做自由落体运动，则有h＝gt2，

2

解得摩托车在空中的飞行时间为t＝1s，A正确；河流的宽度即摩托车

水平方向位移为d＝x＝v0t＝24×1m＝24m，B正确；竖直方向速度为

2222

vy＝gt＝10m/s，则摩托车落地前瞬间的速度为v＝v0＋vy＝24＋10

m/s＝26m/s，C错误；摩托车离开平台做平抛运动，仅增加平台的高度

（其他条件均不变），则在空中的飞行时间增大，摩托车水平方向位移

增大，所以摩托车依然能成功跨越此河流，D正确.

有约束条件的平抛运动模型

【例2】（教考衔接·人教版必修二P21第3题）（多选）如图所示，

将一个小球从A点以速度v1水平抛出，小球垂直落在倾角为θ的斜面

上的P点.若将小球从图中的B点以速度v2水平抛出，小球垂直落在斜

面上的Q点（图中未标出），下列说法正确的是()

A.Q点在P点上方

B.Q点可能与P点重合

C.Q点在P点下方

D.水平初速度v2一定大于v1

【解析】AD小球两次都垂直打在斜面上，则小球末速度方向与

初速度方向之间夹角不变，根据平抛运动的推论可知，第一次平抛运动

位移xAP平行于第二次平抛运动位移xBQ，如图所示，Q点在P点上方，

v0

A正确，B、C错误；小球两次都垂直打在斜面上，则＝tanθ，vy＝2gh，

vy

联立可得v0＝2ghtanθ，因hB>hA，则v2>v1，D正确.

【变式训练2】如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底

端A点正上方与顶端C点等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小

球垂直于斜面落到D点，重力加速度大小为g，则()

v0

A.小球在空中飞行时间为

g

v0

B.小球落到斜面上时的速度大小为

cosα

1

C.CD与DA长度的比值为

2tan2α

D.小球的位移方向垂直于AC

【解析】C

小球的运动轨迹图如图所示，把小球在D点处的速度沿水平、竖直

v1v0

方向分解，小球垂直于斜面落到D点，所以在D点时有tanα＝＝，

v2gt

v0

解得t＝，A错误；小球垂直于斜面落到D点，所以小球落到斜

gtanα

v0v0t

面上时的速度大小为v＝，B错误；根据几何关系，DA＝，CD

sinαcosα

1

gt2

＝2，整理得与的比值为1，正确；由位移方向与水平

CDDA2C

sinα2tanα

方向夹角的正切值是速度方向与水平方向夹角的正切值的1可知，位移

2

方向不垂直于AC，D错误.

类平抛运动的分析【例3】[易错题]A、B两个质点以

相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为