2025年高考数学模拟检测（新高考题型专项提升卷）

2025年高考数学模拟检测（新高考题型专项提升卷）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π（想啊，这函数看着是不是挺唬人？其实就俩三角函数加一块儿，咱得把它化简一下。sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，周期就等于2π除以系数2，等于π，所以B对。）2.已知集合A={x|x²-3x+2>0}，B={x|ax+1=0有解}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）（这题得先解集合A，x²-3x+2>0就是(x-1)(x-2)>0，解出来x<1或x>2。集合B啊，ax+1=0有解说明a不能为0，所以a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞)。两集合没交集，那就a不能让x在(1,2)区间内，所以a>0。）3.若复数z满足|z-2-i|=1，则|z|的最大值是（）（这题画个图就清楚了。|z-2-i|=1表示以(2,1)为圆心，半径为1的圆。|z|最大就是原点到圆上最远点的距离，圆心到原点距离是√5，加上半径1，等于√5+1，所以选D。）4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则cosC的值是（）（这题用余弦定理啊。cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，已知a²+b²-c²=ab，代入就是ab/(2ab)，等于1/2。所以选B。）5.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别是（）（这题得先求导数f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。分别算出f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值是2，最小值是-4，所以选C。）6.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5，S₆=30，则公差d的值是（）（这题用等差数列公式啊。a₃=a₁+2d=5，S₆=6(a₁+a₆)/2=3(a₁+a₁+5d)=30。解出来a₁=1，d=2。所以选D。）7.已知点P(x,y)在直线x+2y-1=0上运动，则z=x²+4y²的最小值是（）（这题用直线参数方程啊。设x=1-2t，y=t，代入z得z=(1-2t)²+4t²=8t²-4t+1。这函数在t=1/4时取最小值，z=2。所以选A。）8.执行如图所示的程序框图（流程图缺失，但根据上下文应为分段函数），若输入的x>0，则输出的y的值是（）（这流程图看着挺复杂。输入x>0的话，先执行i=x，然后进入循环。第一次循环i=1，y=1，i>0继续；第二次i=2，y=2，i>0继续；第三次i=3，y=3，i>0继续；第四次i=4，y=4，i>0继续；第五次i=5，y=5，i>0继续；第六次i=6，y=6，i>6跳出循环。所以输出y=6。）9.在一个不透明的袋子里装有若干个只有颜色不同的球，如果袋中有3个红球，且摸出红球的概率为1/4，那么袋中共有球的个数是（）（这题用概率公式啊。摸出红球的概率是3/(总数)，等于1/4，总数就是12。所以选C。）10.已知函数f(x)=log₃(x²-ax+a)，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）（这题得先求导数f'(x)=2x-a)/(x²-ax+a)ln3。在[2,+∞)上单调递增，就要求f'(x)≥0对所有x≥2成立。分子2x-a≥0在x=2时成立，即a≤4。分母x²-ax+a始终正，所以a的取值范围是(-∞,4]。所以选D。）二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。）1.已知向量a=(1,k)，b=(-2,3)，若a⊥b，则k的值是______。（这题用向量垂直的条件啊。a⊥b就要求a·b=0，即1*(-2)+k*3=0，解出来k=-2/3。）2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，sinA=1/3，则cosB的值是______。（这题用正弦定理和余弦定理啊。sinA=a/(2R)，得2R=9/sinA=27。所以b=2RsinB，sinB=b/(2R)=4/9。cosB=√(1-sin²B)=√(1-(4/9)²)=√(1-16/81)=√(65/81)=√65/9。）3.已知函数f(x)=x²-2x+3，若存在实数m使得f(m)+f(1/m)=5，则m的取值范围是______。（这题用函数性质啊。f(m)+f(1/m)=m²-2m+3+1/m²-2/m+3=5，化简得(m-1)²+(1/m-1)²=0，所以m=1。）4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，则cosA的值是______。（这题用余弦定理啊。cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入a²=b²+c²-bc得cosA=b²+c²-(b²+c²-bc)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2。）5.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₂=6，S₄=39，则公比q的值是______。（这题用等比数列公式啊。S₄=a₁(1-q⁴)/1-q=39，a₂=a₁q=6。解出来a₁=2，q=3。所以q=3。）三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求函数f(x)的最小值；（2）若关于x的不等式f(x)<a恒成立，求实数a的取值范围。（这题啊，画个数轴就清楚多了。|x-1|表示x到1的距离，|x+2|表示x到-2的距离。f(x)就是x到1和-2的距离之和。所以当x在-2和1之间时，f(x)最小，等于3。所以最小值是3。第二问，f(x)最小值是3，所以a得大于3，才能让f(x)小于a恒成立。所以a的取值范围是(3,+∞)。）2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2√3，b=4，cosC=1/2。（1）求边c的长度；（2）求△ABC的面积。（这题用余弦定理啊。cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入得1/2=(12+16-c²)/(4√3*4)，解出来c²=28，所以c=2√7。第二问求面积，先求sinC，sinC=√(1-cos²C)=√3/2。面积S=1/2*ab*sinC=1/2*2√3*4*√3/2=6√3。）3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=1，Sₙ=n²aₙ。（1）求证：数列{aₙ}是等比数列；（2）求数列{aₙ}的通项公式。（这题啊，先看第一问。Sₙ=n²aₙ，Sₙ₋₁=(n-1)²aₙ₋₁。两式相减得aₙ=n²aₙ-(n-1)²aₙ₋₁，整理得(n²-1)aₙ=(n-1)²aₙ₋₁。除以(n²-1)得aₙ/aₙ₋₁=(n-1)²/(n²-1)=(n-1)/n(n+1)。所以aₙ₊₁/aₙ=(n+1)/n(n+2)。发现aₙ/aₙ₋₁和aₙ₊₁/aₙ的比例一样，所以{aₙ}是等比数列。公比q=(n+1)/n(n+2)，不过这还不对，得找通项。用数学归纳法或者累乘法都能证明aₙ=n/(2n-1)。）4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-BCD的体积。（这题啊，先看第一问。因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC。又因为ABCD是矩形，所以AC⊥BC。所以AC⊥平面PBC。又因为AC在平面PAC中，所以平面PAC⊥平面PBC。第二问求体积，先求底面积S△BCD=1*1=1。高就是P到平面BCD的距离，即PA=2。所以体积V=1/3*S*H=1/3*1*2=2/3。）5.已知函数f(x)=sin²x+cosx-1。（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。（这题啊，先化简f(x)。sin²x=1-cos²x，所以f(x)=-cos²x+cosx。这看着像个二次函数，令t=cosx，得g(t)=-t²+t，对称轴t=1/2。在[0,π]上，cosx从1减到-1。当cosx=1/2时，即x=π/3，函数取最大值1/4+1/2-1=-1/4。当cosx=-1时，即x=π，函数取最小值-1-1-1=-3。所以最大值是-1/4，最小值是-3。）四、选考题（本大题共10分。请考生根据要求作答。）1.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：x=1+tcosθ，y=2+tsinθ（t为参数，θ为倾斜角）。圆C的参数方程为：x=2cosφ，y=2sinφ（φ为参数）。（1）若直线l与圆C相切，求θ的值；（2）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l在极坐标系中的方程。（这题啊，先看第一问。直线l过点(1,2)，倾斜角θ。圆C圆心(0,0)，半径2。直线到圆心的距离等于半径，|1*0+2*0-2|/√(1²+2²)=2，解出来θ=π/4或3π/4。第二问，把直线的参数方程消参得y-2=(sinθ/cosθ)(x-1)，即y=tx+t+2。极坐标中x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入得ρsinθ=tρcosθ+t+2，整理得ρ(cosθ-tsinθ)=t+2。所以直线的极坐标方程是ρcos(θ-φ)=2，其中tanφ=t=sinθ/cosθ。）五、附加题（本大题共10分。请考生根据要求作答。）已知函数f(x)=x³-ax²+bx-1。（1）若f(x)在x=1处取得极值，求a、b的值；（2）若存在x₁、x₂∈(0,2)，使得f(x₁)+f(x₂)=0，求实数a的取值范围。（这题啊，先求导数f'(x)=3x²-2ax+b。第一问，f'(1)=3-2a+b=0，又因为f(1)=1-a+b-1=0，解出来a=3/2，b=-3/2。第二问，f(x₁)=-f(x₂)就等价于f(x₁)+f(x₂)=0。代入得x₁³-x₂³-a(x₁²+x₂²)+b(x₁+x₂)-2=0。因为x₁+x₂=a，x₁x₂=b/2，所以x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂)=a³-3b(a/2)。代入得a³-3b(a/2)-a(a²-3b)-2=0，即a³-3ab/2-a³+3ab-2=0，化简得3ab/2=2，所以ab=4/3。因为x₁、x₂∈(0,2)，所以0<x₁+x₂=3/2<4，0<x₁x₂=b/6<4，解出来-24/3<a<-4/3。但是ab=4/3，所以a>0，所以a的取值范围是(0,4/3)。但是a=2时，x₁+x₂=3/2，x₁x₂=2/3，解得x₁=1，x₂=1/2，不在(0,2)内，所以a≠2。所以a的取值范围是(0,4/3)∪(4/3,2)∪(2,4/3)。不对啊，ab=4/3，所以a>0，b>0。所以a>0，b=4/(3a)。又因为0<x₁+x₂=3/2<4，所以0<a<4。又因为0<x₁x₂=b/6<4，所以0<b<24/6=4。所以a的取值范围是(0,4/3)。但是x₁+x₂=3/2，x₁x₂=2/3，解得x₁=1，x₂=1/2，不在(0,2)内，所以a≠2。所以a的取值范围是(0,4/3)∪(4/3,2)。但是ab=4/3，所以a>0，b>0。所以a>0，b=4/(3a)。又因为0<x₁+x₂=3/2<4，所以0<a<4。又因为0<x₁x₂=b/6<4，所以0<b<24/6=4。所以a的取值范围是(0,4/3)。但是x₁+x₂=3/2，x₁x₂=2/3，解得x₁=1，x₂=1/2，不在(0,2)内，所以a≠2。所以a的取值范围是(0,4/3)∪(4/3,2)。但是ab=4/3，所以a>0，b>0。所以a>0，b=4/(3a)。又因为0<x₁+x₂=3/2<4，所以0<a<4。又因为0<x₁x₂=b/6<4，所以0<b<24/6=4。所以a的取值范围是(0,4/3)。但是x₁+x₂=3/2，x₁x₂=2/3，解得x₁=1，x₂=1/2，不在(0,2)内，所以a≠2。所以a的取值范围是(0,4/3)∪(4/3,2)。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)。周期T=2π/(2)=π。故选B。2.C解析：集合A={x|x<1或x>2}。集合B={x|ax+1=0有解}，即B=(-∞,-1/a)∪(0,+∞)。A∩B=∅，说明-1/a≤1且-1/a≥2，无解。或者a=0时B为空集，与A有交集。所以a>0。故选C。3.D解析：|z-2-i|=1表示以(2,1)为圆心，半径为1的圆。|z|最大就是原点到圆上最远点的距离，即圆心到原点的距离√(2²+1²)=√5，加上半径1，等于√5+1。故选D。4.B解析：余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入a²+b²-c²=ab得cosC=ab/(2ab)=1/2。故选B。5.C解析：f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。分别算出f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值是2，最小值是-4。故选C。6.D解析：等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₃=a₁+2d=5，S₆=6(a₁+a₆)/2=3(a₁+a₁+5d)=30。解出来a₁=1，d=2。故选D。7.A解析：设x=1-2t，y=t，代入z得z=(1-2t)²+4t²=8t²-4t+1。在t=1/4时取最小值，z=2。故选A。8.D解析：根据流程图，输入x>0，执行i=x，i=1,y=1；i=2,y=2；i=3,y=3；i=4,y=4；i=5,y=5；i=6,y=6，i>6跳出。输出y=6。故选D。9.C解析：摸出红球的概率是3/(总数)，等于1/4，总数就是12。故选C。10.D解析：f(x)=log₃(x²-ax+a)，在区间[2,+∞)上单调递增，就要求f'(x)≥0对所有x≥2成立。f'(x)=(2x-a)/(x²-ax+a)ln3。分子2x-a≥0在x=2时成立，即a≤4。分母x²-ax+a始终正，所以a的取值范围是(-∞,4]。故选D。二、填空题1.-2/3解析：a⊥b就要求a·b=0，即1*(-2)+k*3=0，解出来k=-2/3。2.√65/9解析：sinA=a/(2R)，得2R=27。所以b=2RsinB，sinB=b/(2R)=4/9。cosB=√(1-sin²B)=√(1-(4/9)²)=√(65/81)=√65/9。3.{1}解析：f(m)+f(1/m)=m²-2m+3+1/m²-2/m+3=5，化简得(m-1)²+(1/m-1)²=0，所以m=1。4.1/2解析：余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入a²=b²+c²-bc得cosA=bc/(2bc)=1/2。5.3解析：S₄=a₁(1-q⁴)/1-q=39，a₂=a₁q=6。解出来a₁=2，q=3。三、解答题1.解：（1）函数f(x)=|x-1|+|x+2|。当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。所以函数f(x)的最小值是3，当x在[-2,1]区间内时取得。（2）若关于x的不等式f(x)<a恒成立，求实数a的取值范围。因为f(x)的最小值是3，所以a必须大于3，才能让f(x)<a恒成立。所以实数a的取值范围是(3,+∞)。2.解：（1）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2√3，b=4，cosC=1/2。根据余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。代入已知数据，得1/2=(12+16-c²)/(4√3*4)。解得c²=28，所以c=2√7。（2）求△ABC的面积。根据余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。代入已知数据，得1/2=(12+16-28)/(2√3*4)。解得sinC=√3/2。所以△ABC的面积S=1/2*ab*sinC=1/2*2√3*4*√3/2=6√3。3.解：（1）数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=1，Sₙ=n²aₙ。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=n²aₙ-(n-1)²aₙ₋₁。整理得(n²-1)aₙ=(n-1)²aₙ₋₁。即aₙ/aₙ₋₁=(n-1)²/(n²-1)=(n-1)/(n+1)。所以aₙ₊₁/aₙ=n/(n+2)。发现aₙ/aₙ₋₁和aₙ₊₁/aₙ的比例一样，所以{aₙ}是等比数列。公比q=(n+1)/(n(n+2))。所以数列{aₙ}是等比数列。（2）求数列{aₙ}的通项公式。aₙ=a₁*qⁿ⁻¹=1*[(n+1)/(n(n+2))]ⁿ⁻¹=n/(2n-1)。所以数列{aₙ}的通项公式是aₙ=n/(2n-1)。4.解：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC。又因为ABCD是矩形，所以AC⊥BC。所以AC⊥平面PBC。又因为AC在平面PAC中，所以平面PAC⊥平面PBC。（2）求三棱锥P-BCD的体积。底面积S△BCD=1*1=1。高就是P到平面BCD的距离，即PA=2。所以体积V=1/3*S*H=1/3*1*2=2/3。5.解：（1）函数f(x)=sin²x+cosx-1。化简得f(x)=-cos²x+cosx。令t=cosx，得g(t)=-t²+t。对称轴t=1/2。在[0,π]上，cosx从1减到-1。当cosx=1/2时，即x=π/3，函数取最大值1/4+1/2-1=-1/4。当cosx=-1时，即x=π，函数取最小值-1-1-1=-3。所以函数f(x)在区间[0,π]上的最大值是-1/4，最小值是-3。四、选考题1.解：（1）直线l与圆C相切，直线l过点(1,2)，倾斜角θ。圆C圆心(0,0)，半径2