2025年高考数学模拟试卷：立体几何难点突破解析与解题策略

2025年高考数学模拟试卷：立体几何难点突破解析与解题策略考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距离是（）A.1B.C.D.22.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=0所成角的余弦值是（）A.B.C.D.3.若点P在平面α内，点Q在平面α外，且PQ与平面α的距离为d，则下列说法正确的是（）A.过P点有无数条直线与PQ垂直，且这些直线与平面α的距离都为dB.过Q点有无数条直线与PQ垂直，且这些直线与平面α的距离都为dC.过P点只有一条直线与PQ垂直，且这条直线与平面α的距离为dD.过Q点只有一条直线与PQ垂直，且这条直线与平面α的距离为d4.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CC₁的中点，F是CD的中点，则直线EF与平面A₁ABB₁所成角的正弦值是（）A.B.C.D.5.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为1的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=2，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离是（）A.B.C.D.6.已知点A(1,0,0)，点B(0,1,0)，点C(0,0,1)，则向量AB与向量AC的夹角的余弦值是（）A.B.C.D.7.若平面α与平面β所成二面角的平面角为60°，且平面α的法向量为(1,0,0)，平面β的法向量为(0,1,0)，则平面α与平面β所成角的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到直线l：x=1,y=2,z=3+t的distance是（）A.1B.C.D.29.已知直线l₁：x=1与直线l₂：y=2所成角的正弦值是（）A.0B.C.D.110.若点P在直线l上，点Q在直线m上，且l与m所成角的平面角为60°，则点P到直线m的距离是点Q到直线l的距离的（）倍A.1B.C.D.211.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CC₁的中点，F是CD的中点，则直线EF与直线B₁B所成角的余弦值是（）A.B.C.D.12.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为1的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=2，则点A₁到直线BC的距离是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）13.已知点A(1,2,3)，点B(3,2,1)，点C(2,1,3)，则向量AB与向量AC的夹角的余弦值是。14.若平面α与平面β所成二面角的平面角为45°，且平面α的法向量为(1,1,0)，平面β的法向量为(0,1,1)，则平面α与平面β所成角的度数是。15.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到平面π：2x-y+z=1的距离是。16.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CC₁的中点，F是CD的中点，则直线EF与平面A₁ABB₁所成角的正弦值是。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中点。（1）求证：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角A-PBC的余弦值。18.（12分）在空间直角坐标系中，点A(1,0,0)，点B(0,1,0)，点C(0,0,1)，点D(1,1,1)。（1）求向量AB与向量AC的夹角的余弦值；（2）求平面ABC的一个法向量的坐标；（3）求点D到平面ABC的距离。19.（12分）已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CC₁的中点，F是CD的中点。（1）求证：EF⊥平面BCC₁B₁；（2）求直线EF与直线B₁B所成角的余弦值。20.（12分）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为1的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=2。（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁AB；（2）求点A₁到直线BC的距离。21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=a。（1）求证：PC⊥BD；（2）求二面角P-BC-D的余弦值。22.（10分）在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(3,2,1)，点C(2,1,3)，点D(0,0,1)。（1）求向量AB与向量AC的夹角的正弦值；（2）求平面ABC的一个法向量的坐标；（3）求点D到平面ABC的距离。四、证明题（本大题共2小题，共30分。证明题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）23.（15分）已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为a，E是CC₁的中点，F是CD的中点。求证：EF⊥平面BCC₁B₁。24.（15分）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为a的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=2a。求证：平面A₁BC⊥平面A₁AB。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：D解析：点A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距离公式为d=|1*1+2*1+3*1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|5-1|/√3=4/√3=2√3/3，选项D为2。2.答案：C解析：直线l：x=1与平面α：x+y+z=0所成角的余弦值是cosθ=|1*1+0*0+0*0|/√(1^2+0^2+0^2)√(0^2+1^2+1^2)=1/√2*√2=1/2，选项C为√3/2。3.答案：A解析：过P点有无数条直线与PQ垂直，且这些直线与平面α的距离都为d，因为垂直于同一直线的所有直线共面，且距离相等。4.答案：B解析：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CC₁的中点，F是CD的中点，则EF=√(CC₁^2+CF^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√(1+1/4)=√5/2，平面A₁ABB₁的法向量为(0,0,1)，EF与平面A₁ABB₁所成角的正弦值是sinθ=EF_z/EF=1/√5/2=2/√5=√5/5，选项B为√2/2。5.答案：C解析：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为1的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=2，点A₁到平面BCC₁B₁的距离是A₁到BC的距离，即A₁C=√(AA₁^2+AC^2)=√(2^2+1^2)=√5，选项C为√3。6.答案：A解析：向量AB=(3,0,-1)，向量AC=(-1,-1,1)，向量AB与向量AC的夹角的余弦值是cosθ=|3*(-1)+0*(-1)+(-1)*1|/√(3^2+0^2+(-1)^2)√((-1)^2+(-1)^2+1^2)=|-4|/√10*√3=-4/√30=-2√30/15，选项A为1/2。7.答案：A解析：平面α与平面β所成二面角的平面角为60°，且平面α的法向量为(1,0,0)，平面β的法向量为(0,1,0)，则平面α与平面β所成角的度数是30°，选项A为30°。8.答案：B解析：点A(1,2,3)到直线l：x=1,y=2,z=3+t的距离是点A到直线上的点(1,2,3)的距离，即√((1-1)^2+(2-2)^2+(3-3)^2)=√0=0，选项B为√2。9.答案：C解析：直线l₁：x=1与直线l₂：y=2所成角的正弦值是sinθ=|0*0+1*1|/√(0^2+1^2)√(0^2+1^2)=1/1=1，选项C为1。10.答案：B解析：l与m所成角的平面角为60°，则点P到直线m的距离是点Q到直线l的距离的cos60°=1/2倍，选项B为√3/2。11.答案：D解析：正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CC₁的中点，F是CD的中点，则EF=√(CC₁^2+CF^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√5/2，直线EF与直线B₁B所成角的余弦值是cosθ=|EF_z-B₁B_z|/EF*|B₁B|=|√5/2-1|/√5/2=√5/2-1/√5/2=√5-2/√5=1/√5=√5/5，选项D为√2/2。12.答案：A解析：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为1的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=2，点A₁到直线BC的距离是A₁到BC的距离，即A₁C=√(AA₁^2+AC^2)=√(2^2+1^2)=√5，选项A为√3。二、填空题答案及解析13.答案：1/2解析：向量AB=(2,0,-2)，向量AC=(1,-1,0)，向量AB与向量AC的夹角的余弦值是cosθ=|2*1+0*(-1)+(-2)*0|/√(2^2+0^2+(-2)^2)√(1^2+(-1)^2+0^2)=2/√8*√2=2/4=1/2。14.答案：45°解析：平面α与平面β所成二面角的平面角为45°，则平面α与平面β所成角的度数是45°。15.答案：7/√6解析：点A(1,2,3)到平面π：2x-y+z=1的距离是d=|2*1-2*1+3*1-1|/√(2^2+(-1)^2+1^2)=|2-2+3-1|/√6=2/√6=√6/3，选项为7/√6。16.答案：√2/2解析：正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CC₁的中点，F是CD的中点，则EF=√(CC₁^2+CF^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√5/2，平面A₁ABB₁的法向量为(0,0,1)，EF与平面A₁ABB₁所成角的正弦值是sinθ=EF_z/EF=1/√5/2=2/√5=√5/5，选项为√2/2。三、解答题答案及解析17.解析：（1）证明：PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD⊥DC，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面ABCD，∴BC⊥AE，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴平面ABE⊥平面PAC；（2）解：过A作AH⊥PC于H，∵平面ABE⊥平面PAC，∴AH⊥平面PAC，∴∠ABH是二面角A-PBC的平面角，∵AB=1，AE=1/2PC=√3/2，∴AH=√(AB^2-AE^2)=√(1-(√3/2)^2)=√(1-3/4)=√1/4=1/2，∴cos∠ABH=AH/AB=1/2/1=1/2。18.解析：（1）向量AB=(1,1,0)，向量AC=(1,-1,1)，向量AB与向量AC的夹角的余弦值是cosθ=|1*1+1*(-1)+0*1|/√(1^2+1^2+0^2)√(1^2+(-1)^2+1^2)=0/√2*√3=0；（2）平面ABC的一个法向量的坐标是(1,1,1)×(1,-1,1)=(1*1-1*1,1*1-1*1,1*(-1)-1*1)=(0,0,-2)，取(0,0,1)为法向量；（3）点D到平面ABC的距离是d=|0*1+0*1+1*(-1)|/√(0^2+0^2+1^2)=|-1|/1=1。19.解析：（1）证明：正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是CC₁的中点，F是CD的中点，则EF=√(CC₁^2+CF^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√5/2，CC₁⊥平面BCC₁B₁，∴CC₁⊥EF，又∵EF⊥BC，∴EF⊥平面BCC₁B₁；（2）解：过E作EH⊥B₁B于H，∵平面BCC₁B₁⊥平面A₁ABB₁，∴EH⊥平面A₁ABB₁，∴∠EBH是直线EF与直线B₁B所成角，∵EH=1/2，B₁B=1，∴sin∠EBH=EH/B₁B=1/2/1=1/2，∴cos∠EBH=√(1-sin^2∠EBH)=√(1-(1/2)^2)=√3/2。20.解析：（1）证明：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为1的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=2，∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面A₁AC，∴AB⊥A₁C，又∵BC⊥AC，∴AC⊥平面BCA₁，∴AC⊥A₁B，∴A₁C⊥平面A₁AB，∴平面A₁BC⊥平面A₁AB；（2）解：过A₁作A₁H⊥BC于H，∵平面A₁BC⊥平面A₁AB，∴A₁H⊥平面A₁AB，∴∠A₁HB是二面角A-A₁B-BC的平面角，∵AB=1，A₁B=√5，∴A₁H=√(A₁B^2-AH^2)=√(5-1^2)=√4=2，∴sin∠A₁HB=A₁H/A₁B=2/√5=√5/5。21.解析：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，AC⊥BD，PA∩AC=A，∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥PB，∵BD⊥AC，PB⊥AC，∴AC⊥平面PBD，∴PC⊥BD；（2）解：过A作AH⊥BC于H，∵平面PBC⊥平面PBD，∴AH⊥平面PBD，∴∠AHD是二面角P-BC-D的平面角，∵AB=AD=a，AH=√3/2a，AD=2a，∴sin∠AHD=AH/AD=√3/2a/2a=√3/4，∴cos∠AHD=√(1-sin^2∠AHD)=√(1-(√3/4)^2)=√(1-3/16)=√13/4。22.解析：（1）向量AB=(2,0,-2)，向量