2024年上海市青浦区三校联考中考三模 数学试题（解析版）

2024学年青浦区三校联考中考备考试卷（九下三模）（满分：150分考试时间：100分钟）考生注意：1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具．2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．3.考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊．4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．5.本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后．一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）1.下列实数中为无理数的是（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：A．，2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B．2.已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（）A. B.且 C. D.且【答案】D【解析】【分析】保留k解方程，得到x的解，再利用解为负数列不等式且分母不为零，求出k的取值范围即可．【详解】解，两边同乘得：，，，，得，检验得分母不为零，且，得且，即且，综上且，故选D．【点睛】本题考查已知分式方程解的范围求分式方程中参数的取值范围，注意计算时保留参数须将参数看成常数，且分式方程的解需要检验确保分母不为零．3.某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】此题可设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得故选：A．【点睛】本题考查的是平均变化率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：．4.设抛物线经过点，且与轴相交于点．若抛物线上横坐标与纵坐标相等的点也在抛物线上，则直线和轴的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能平行，也可能垂直【答案】C【解析】【分析】此题考查了用代入法求函数解析式，抛物线上点的坐标特征．先求得函数关系式是，再求得抛物线满足条件的点的坐标是，．再进行分类讨论求解即可．【详解】解：抛物线经过，两点，，解得．抛物线的解析式是，即，是抛物线解析式的二次项系数，，可得，，方程的解是，，抛物线满足条件的点的坐标是，．①当在抛物线上时，有，解得，这时抛物线的解析式是，它与轴的交点是点，两点的纵坐标相等，直线平行于轴．②当在抛物线上时，由，解得，这时抛物线的解析式为，它与轴的交点是显然、两点的纵坐标不相等，直线与轴相交，综上所述，当在抛物线上时，直线平行轴；当在抛物线上时，直线与轴相交．故选：C5.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A.①②③ B.①③④ C.①③⑤ D.②④⑤【答案】C【解析】【详解】试题解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=-2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选C．考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点．6.如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（）A.①②③④ B.①②③⑤ C.①③④⑤ D.②④⑤【答案】A【解析】【分析】通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤．【详解】解：四边形是正方形，，．∵，≌，，故①正确；由①得，∵，∴，∴，∴，故②正确；四边形是正方形，，即是的角平分线，点G到边与边的距离相等，即中边的高与中边的高相等，又，，故③正确；设正方形的边长为，当E是的中点时，，，由勾股定理得：，，，，∽，，．，，∽，，即，，，，，，当E是的中点时，，故④正确；当时，，，，∽，，中边的高与中边的高相等，，，设，则，，，，，，，，，，故⑤错误．故选A．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形．二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.计算：__________．【答案】##【解析】【分析】根据幂的乘方的运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查幂的乘方，幂的乘方，底数不变，指数相乘．8.随着世界科技的不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000005米的晶体管，该数用科学计数法表示为________米．【答案】【解析】【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．【详解】解：．故答案为【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．9.方程组的解为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解答，即可求解．【详解】解：，由得：，解得：，把代入得：，解得：，∴原方程组的解为．故答案为：10.如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了几何概率的应用,属于简单题,用涂色部分的面积除以图形总面积即可得到答案.【详解】解：涂色部分的面积为，∴飞镖落在涂色部分的概率.故答案为：11.如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为______．【答案】66【解析】【分析】本题考查了新定义和有理数的运算．根据题意求出和，然后相加即可．【详解】解：由题意得：，，∴；故答案为：66．12.如图，在拧开一个边长为的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则边长的长度是______．【答案】【解析】【分析】如图，连接、，过作于．解直角三角形求出即可．【详解】解：如图，连接、，过作于．，，是等边三角形，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键．13.通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________．【答案】【解析】【分析】本题考查树状图求概率，先画出树状图，找到符合条件的情况，再根据概率公式计算即可．【详解】解：树状图如下：由图可得，一共12种等可能的情况，两瓶恰好都变蓝的情况有2种，概率为：，故答案为：．14.如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为________．【答案】##【解析】【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解．【详解】解：如图，连接∵、分别是的两条中线，∴，是的中位线∴，∴∴∴∴，∵，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键．15.已知是多项式的因式，则______．【答案】##0.25【解析】【分析】根据题意，，根据整式的乘法求得，，进而得出的值，根据负整数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：∵是多项式的因式，∴设∵∴∴①，，②，③由①②得④，由③④得，代入解得：，∴，，∴，故答案：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，负整数指数幂的运算，掌握多项式乘以多项式是解题的关键．16.如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”，关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：①在中，若，，，则是“奇妙互余三角形”；②若是“奇妙互余三角形”，，，则；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，其中，结论正确的有______．（填写序号）【答案】①③##③①【解析】【分析】①由，，而，，，则是“奇妙互余三角形”，可判断①正确；②若是“奇妙互余三角形”，且，则或，而，，所以，，显然与是“奇妙互余三角形”相矛盾，可判断②错误；③三角形为“奇妙互余三角形”的条件是它的两个内角与满足，则，则它的第三个内角一定大于，即“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，可判断③正确．【详解】解：①，，，，，是“奇妙互余三角形”，故①正确；②，，，，，若是“奇妙互余三角形”，只能是或，，，，，，，则作为条件，与是“奇妙互余三角形”相矛盾，故②错误；③三角形为“奇妙互余三角形”，则它的两个内角与满足，，设它的第三个内角为，，一定是钝角，“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，故③正确，故答案为：①③．【点睛】本题重点考查三角形内角和定理及其推论、角平分线的定义、数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键．17.若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】先分析点为圆心、为半径的圆与轴相交，得出横坐标的范围，根据函数对称轴位置确定当取何值时取到最值，得到的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，确定符号即可得出结论．【解答】解：，∴二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线，在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，∴，∵抛物线开口向上，，∴当，时，，当，时，，且此时圆与轴相切，故不可取到．．【点睛】本题考查了二次函数的增减性和直线与圆的位置关系，解答关键是根据数形结合思想讨论的取值范围．18.如图1，含和角两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案．【详解】解：当从到的变化过程中，如图所示，，，当时，点从点开始向方向运动，当时，的移动到最大距离，此时，在中，，，，当时，点开始离开点向点方向运动，当时，点停止运动，在中，，，点返回运动的路径长为，点Q移动的路径长为，故答案为：．三.解答题（满分78分）19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再根据特殊角的三角函数值求得x，最后代入计算即可．【详解】解：，，．当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用分式混合运算法则化简分式是解答本题的关键．20.解不等式组，并写出该不等式组的整数解．【答案】-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组得整数解.【详解】解：，解不等式①得：x≥-1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，∴不等式组的整数解为：-1，0，1.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受同学们喜爱，其规则是：在的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图所示，是两个五子棋爱好者甲和乙对弈图（甲执黑子先行，乙执白子后行），若白棋①的位置是，白棋②的位置是．（1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出黑棋M的位置是______；（2）甲必须在何处落子，才不会让乙在短时间内获胜，直接写出对应的点的位置．【答案】（1）坐标系见解析，（2）或【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形；（1）先根据①②的坐标建立坐标系，再根据坐标系写出点M的坐标即可；（2）根据五子棋获胜规则结合图形可知甲必须堵住3个连成一条线的棋子才不会让乙在短时间内获胜，据此可得答案．【小问1详解】解：根据题意可建立如下坐标系，∴黑棋M的位置是；【小问2详解】解：∵坐标系中黑棋和白棋都有7颗，∴下一步是甲弈子，∵乙已经有3个棋子连成了一条线，∴甲必须堵住这3个棋子才不会让乙在短时间内获胜，∴甲应在或处落子，才不会让乙在短时间内获胜．22.如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，．（1）连接，求证：是切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．（1）证，得出，即可得出结论；（2）根据勾股定理求出，证，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出，最后根据求出即可．【小问1详解】证明：在和中，，，，与相切，，，即，是的半径，是的切线；【小问2详解】解：在中，，，，，，，，，设的半径为，则，解得，在中，，，，，，即的长为：．23.在中，，，点为线段上一动点，连接．（1）如图1，若，，求线段的长．（2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】（1）在中，由，，可得，，即得；（2）取的中点，连接，证明为等边三角形，得，，可得，有，故，在上截取，连接，可证，得，，有，，可得，知，，从而，．【小问1详解】解：在中，，，，，，，；【小问2详解】证明：取的中点，连接，如图：在中，点为斜边的中点，，，为等边三角形，，，，为等边三角形，，，，，，在和中，，，，，，在上截取，连接，点是的中点，，在和中，，，，，，，，又，，，，．【点睛】本题考查三角形综合应用，解直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，涉及全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．24.如图，抛物线过两点，交轴于点，连接．（1）求抛物线解析式．（2）点是线段上的一个动点，当为等腰三角形时，试求点的坐标．（3）①将沿翻折得到，试求点的坐标．②如图，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标．【答案】（1）（2）或或（3）①；②．【解析】【分析】（1）根据抛物线过两点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．（2）根据题意，利用待定系数法可得，线段所在直线的解析式为，设，再分三种情况讨论，、、，然后利用勾股定理可求得点的坐标．（3）①连接交于点，过点作轴于点，得，再根据，得，再结合三角函数值可得得长，从而得出点的坐标．②作关于线段对称的，交抛物线于点，易得直线的解析式为，联列成二元一次方程组，得点的坐标为，设点的坐标为，根据，代入数值解得，故可求出点的坐标．【小问1详解】解：∵抛物线过两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．【小问2详解】把代入中，得到，∴点的坐标为，设线段所在直线的解析式为，则，解得：，∴线段所在直线的解析式为．分三种情况讨论：设，①时，，∴，∴；②时，，∴（舍去），．∴，∴；③时，，∴（舍去）；，∴，∴；综上，当△BOM为等腰三角形时，M点的坐标为或或．【小问3详解】①如图，连接交于点，过点作轴于点，∴，∵，∴，而，∴，∴，，∴点的坐标为