2024年上海市杨浦区中考四模数学试题（解析版）

2024学年度初三年级学习能力测评一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列各数中，无理数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数进行判断即可．【详解】解：，，是有理数，是无理数，故选：C2.下列方程中，有实数根的方程是（）Ax4+16＝0 B.x3+9＝0 C. D.+3＝0【答案】B【解析】【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过算术平方根的概念可对D进行判断．【详解】解：A、x4≥0，x4+16＞0，方程x4+16＝0没有实数解；B、移项得，x3＝﹣9，两边开立方得，x＝，故方程的解为x＝；C、∵分子1≠0，∴，原方程没有实数解；D、∵≥0，∴，原方程没有实数解．故选：B．【点睛】本题考查了乘方的意义、立方根的意义、算术平方根的意义、分式的值为零的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．3.气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（）A.本市明天将有80%的地区降水B.本市明天将有80%的时间降水C.明天肯定下雨D.明天降水的可能性比较大【答案】D【解析】【详解】由概率的意义可知，气象台预报“本市明天降水概率是”，是指明天下雨的可能性比较大.故选D.4.如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图像顶点为，经过点．以下结论正确的是（）A. B.y随x的增大而增大C. D.对于任意实数t，总有【答案】C【解析】【分析】A、由二次函数开口方向、对称轴、与y轴交点分别确定a、b、c与0关系；B、由二次函数开口方向和对称轴确定函数图像的增减性；C、由题可知对称轴，并代入可求出c的值；D、主要考查二次函数最值问题，开口向下，应有最大值．【详解】解：A、二次函数开口向下，；对称轴在y轴右侧，得出，a、b异号，；与y轴交点在y轴正半轴，；因此，故A错误；B、二次函数图像开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小，B错；C、由题可知对称轴，得；代入得；两式联立，解得，C正确；D、由函数图像可知，当时，二次函数取得最大值，即对于任意实数，都有，因此对于任意实数t，，即，D错．故选：C．【点睛】本题考查根据二次函数图像和特殊的点，判断系数a、b、c与0的关系、函数图像的增减性和最值问题，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及图像与系数的关系，解题难点在于补全二次函数取最大值时系数之间的关系式．5.已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（）A.AC=BD=BC B.AB=AD=CD C.OB=OC，AB=CD D.OB=OC，OA=OD【答案】D【解析】【详解】解：如图，A、AC=BD=BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；B、AB=AD=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；C、OB=OC，AB=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；D、∵OB=OC，OA=OD，∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，在△AOB和△DOC中，OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，同理：∠OAB=∠ODC，∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴，∴四边形ABCD是梯形，∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．故选D【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的应用，解此题的关键是求出，题目的综合性较强，难度中等.6.已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（）A.4.5 B.5.5 C.6 D.6.5【答案】C【解析】【分析】把构成梯形的条件转换成构成三角形的条件，通过从上底的一个顶点作一腰的平行线，通过平行四边形的性质结合三角形三边的关系进行求解即可．【详解】解：∵梯形的四条边长分别是4、5、7、8，故梯形不是等腰梯形，分情况：第一种：上底为4，下底为5，腰分别是7和8，如图，显然，1、7、8不能构成三角形，此情况不存在；第二种：上底为4，下底为7，腰分别是5和8，如图，显然，3、5、8不能构成三角形，此情况不存在；第三种：上底为4，下底为8，腰分别是5和7，如图，显然，4、5、7能构成三角形，此时，中位线长为；第四种：上底为5，下底为7，腰分别是4和8，如图，显然，2、4、8不能构成三角形，此情况不存在；第五种：上底为5，下底为8，腰分别是7和4，如图，显然，3、4、7不能构成三角形，此情况不存在；第六种：上底为7，下底为8，腰分别是4和5，如图，显然，1、4、5不能构成三角形，此情况不存在；故选：C．【点睛】此题考查梯形的中位线，三角形三边的关系，注意分情况讨论．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线_____．【答案】【解析】【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝，可以得出结论．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝，∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是x＝．即对称轴是x＝．故答案为：x＝．【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键．8.方程＝0的根是______．【答案】x＝3【解析】【分析】根据题意，得x﹣1＝0或x﹣3＝0，然后根据算术平方根的性质可得答案．【详解】解：依题意得，x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x＝1或x＝3，当x＝1时，x﹣3＜0，∴x＝1不合题意，舍去，∴x＝3，故答案为：x＝3．【点睛】此题考查是无理方程，掌握其非负数的性质是解决此题的关键．9.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．【答案】8【解析】【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．【详解】解：设边数为n，由题意得，180（n－2）=3603，解得n=8．所以这个多边形的边数是8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．10.在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的有____________人．【答案】720【解析】【分析】本题考查了条形统计图的实际应用，属于简单题，会看统计图是解题关键．通过统计图求出课不少于6小时的人数占总人数的即可解题．【详解】解：估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是（人）．故答案为：720．11.在四张完全相同的卡片上，分别画有：正三角形、正八边形、圆和矩形．如果从中任意抽取1张卡片，那么这张卡片上所画图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____．【答案】【解析】【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的定义得出符合题意的图形个数，进而得出概率．【详解】正三角形、正八边形、圆和矩形中既是轴对称图形又是中心对称图形是正八边形、圆和矩形．所以这张卡片上所画图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是：．故答案为：．【点睛】考查了概率公式，解题关键是正确判断图形的对称性和熟记概率公式．12.已知两组数据：和，下列有关这两组数据的说法中，错误的是________．①平均数相等；②中位数相等；③众数相等；④方差相等【答案】①②③【解析】【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数、中位数、众数和方差的意义求解即可．【详解】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2，∴这两组数据的平均数、中位数和众数都改变，而波动幅度不变，即方差不改变，∴错误的是①平均数相等；②中位数相等；③众数相等；故答案为：①②③．13.如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式kx+b＞0的解集是______．【答案】x＜2【解析】【分析】一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方时，y＞0，再根据图象写出解集即可．【详解】解：当不等式kx+b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方，∴x＜2．故答案为：x＜2．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题．14.某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米/小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为千米/小时时该轿车每行驶千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油________升．【答案】【解析】【分析】本题考查一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，正确识图并熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据线段的表达式可得出点B坐标，利用待定系数法即可得线段的解析式，根据一次函数的性质可得在省道和高速公路上行驶时耗油量最小时的速度，根据解析式即可得出每行驶100千米的耗油量，进而可得答案．【详解】解：∵线段的表达式为，∴当时，，即．令BC的表达式为，∵点C的坐标为，∴，解得：，∴线段的表达式为．∵在中，，∴y随x的增大而减小，∵省道限速50千米/小时，∴当x＝50时，耗油量最低，即，∵在中，，∴y随x的增大而增大，∵高速公路限速120千米/小时，∴当x=100时，耗油量最低，即，∵有60千米的省道和200千米的高速公路，∴从甲地行驶到乙地至少需要耗油（升）．即至少耗油升．故答案为：15.顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为___________．【答案】##【解析】【分析】根据同意得到一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高，然后利用梯形的面积公式求解即可．【详解】根据同意可得，一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高，∴等腰梯形的面积（上底＋下底）高．故答案为：．【点睛】此题考查了梯形的中位线和梯形的面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点．16.如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则__________【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，得出是梯形的中位线，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．【详解】如图所示，取的中点，连接，则是梯形的中位线，∵，，∴，又，∴，∴.故答案为：．【点睛】本题考查了梯形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．17.如图，正方形边长为4，点在边上一点（点与点、重合），过点作，垂足为，与边相交于点，连接、，如果的面积为，则的长________．【答案】3或1【解析】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程．先证得，再证明全等，由此得出，设，根据割补法列出一元二次方程，据此计算即可得出结论．【小问1详解】解：∵，∴，在与中，，∴，∴，设，∴，∴的面积，∴，解得，，，∴或，故答案为：3或1．18.如图，正方形中，，为边的中点，点在上，过点作，分别交边、于点、．连接，如果是以为底边的等腰三角形，那么________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点A′，过点F作于H，易证，得出；利用勾股定理求出的长，进而得出．利用互余角的三角函数的关系，得出，在和中利用的值列出方程，即可求得结论．【详解】解：延长交于点A′，过点F作于H，∵是正方形，∴，∴．在和中，．∴．∴．∵E为边的中点，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．设，则．∴．在中，，∴．在中，，∴．∴．∴．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：．【答案】．【解析】【分析】直接利用二次根式的性质、负指数幂以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟记二次根式混合运算的顺序和相关计算法则．20.解方程：＝1．【答案】x＝2．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：＝1．去分母得：x﹣1+2＝x2﹣1，整理得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，经检验：x＝﹣1是增根，舍去；x＝2是原方程的根．∴原方程的根是x＝2．【点睛】本题考查了分式方程的解法和一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．21.如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点重合，点在对角线上．【问题发现】如图1所示，与的数量关系为________；【类比探究】如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；【拓展延伸】若点为的中点，且在正方形的旋转过程中，有点、、在一条直线上，直接写出此时线段的长度为________【答案】【问题发现】；【类比探究】上述结论还成立，理由见解析；【拓展延伸】或．【解析】【分析】问题发现：证出AB∥EF，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结论；类比探究：证明△ACE∽△BCF，得出，即可的结论；拓展延伸：分两种情况，连接CE交GF于H，由正方形的性质得出AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，GH=HF=HE=HC，得出CF=BC=2，GF=CE=2，HF=HE=HC=，由勾股定理求出AH==，即可得出答案．【详解】问题发现：AE=BF，理由如下：∵四边形和四边形是正方形，∴，，CE=CF，，∴，∴，∴AE=BF；故答案为：AE=BF；类比探究：上述结论还成立，理由如下：连接，如图2所示：∵，∴，在和中，CE=CF，CA=CB，∴，∴，∴，∴AE=BF；拓展延伸：分两种情况：①如图3所示：连接交于，∵四边形和四边形是正方形，∴，AC=AB=4，GF=CE=CF，，∵点为的中点，∴，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，∴∴AG=AH+HG=；②如图4所示：连接交于，同①得：GH=HF=HE=HC=，∴，∴AG=AH-HG=；故答案为：或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．22.食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．（1）求a的值．（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？【答案】（1）4（2）160人（3）6【解析】【分析】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为；每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，余下人数为，建立等式解答即可．（2）设线段的解析式为，根据题意，得，解方程组，得到解析式，后计算当时的函数值即可．（3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；故，解答即可．本题考查了图象信息，待定系数法，不等式的应用，熟练掌握待定系数法，不等式的应用是解题的关键．小问1详解】根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为；每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，余下人数为，根据图象信息，得，解得，故a的值为4．【小问2详解】设线段的解析式为，根据题意，得，解得，故线段的解析式为，当时，，故开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数为160．【小问3详解】设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；故，解得，由x必需是正整数，故至少开放6个窗口．23.如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，联结AC．（1）求证：△AEF∽△DAC；（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得ABCD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根据垂直定义可得∠FAE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得＝，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠FAG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．【小问1详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥AF，∴∠FAE＝90°，∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠D＝∠ABF＝90°，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠D＝∠FAE＝90°，∴△AEF∽△DAC；【小问2详解】如图：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE＝∠CFE，∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，∴△AFE≌△CFE（AAS），∴AF＝CF，AE＝EC，∵FG＝FG，∴△AFG≌△CFG（SAS），∴∠FAG＝∠FCG，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠FCG，∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠BCG＋∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠AED，∴AECG，∵ABCD，∴四边形AGCE是平行四边形，∵AE＝EC，∴四边形AGCE为菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图像来研究方程的根．问题：探究方程的实数根的情况．下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：（1）设函数，这个函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根．（2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：当时，；当时，________________；（3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图像．（4）画直线，由此可知的实数根有________个．（5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是________________．【答案】（1）见解析；（2）2x2-4x；（3）见解析；（4）3；（5）-2＜m＜0【解析】【分析】（1）函数y=x（|x|-2）的图像与直线y=的交点的横坐标就是方程x（|x|-2）=的实数根．

（2）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可，注意x的取值范围；

（3）通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图像即可；

（4）根据两个函数图像交点的个数，找出方程解的个数；

（5）根据两个函数图像相交产生的交点，比较交点横坐标的特征，加以分析即可求得．【详解】解：（1）函数y=2x（|x|-2）的图像与直线y=1的交点的横坐标