海淀期中考试数学试卷

海淀期中考试数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

A.1

B.2

C.3

D.4

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的取值集合是

A.{1,1/2}

B.{1}

C.{1/2}

D.∅

3.不等式3x-7>2|x-1|的解集是

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.(-1,3)

C.(-∞,-1)∪(3,+∞)∪{2}

D.(-∞,2)∪(3,+∞)

4.已知点P(a,b)在直线x+2y-1=0上，且a,b均为正整数，则点P的坐标是

A.(1,0)

B.(2,-1/2)

C.(2,0)

D.(0,1/2)

5.抛掷两个均匀的骰子，记事件A为“点数之和为5”，事件B为“点数之和为7”，则P(B|A)等于

A.1/6

B.1/5

C.1/4

D.1/3

6.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π/2

B.π

C.2π

D.4π

7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1,a_n=3a_(n-1)+2，则S_5等于

A.121

B.123

C.125

D.127

8.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

9.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为0，则a+b等于

A.3

B.4

C.5

D.6

10.在等差数列{a_n}中，若a_1=2,a_5=14，则a_10等于

A.26

B.28

C.30

D.32

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是

A.y=2^x

B.y=log_1/2(x)

C.y=-x^2+4

D.y=|x|

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则下列结论正确的是

A.f(-1)>f(1)

B.f(0)=0

C.f(-2)<f(1)

D.f(x)在(-∞,0)上单调递增

3.在直角坐标系中，下列命题正确的是

A.过点(1,2)且垂直于直线x-y+1=0的直线方程是x+y-3=0

B.点(1,1)到直线2x-y+5=0的距离是√5

C.圆(x-1)^2+(y+2)^2=4关于y轴对称的圆的方程是(x+1)^2+(y+2)^2=4

D.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切的条件是k^2+b^2=1

4.已知样本数据为：3,5,7,9,11，则该样本的

A.平均数为7

B.中位数为7

C.方差为8

D.标准差为√8

5.下列命题中，正确的是

A.若x^2=y^2，则x=y

B.若x>y，则x^2>y^2

C.若a>b，则a^2>b^2

D.若a>b>0，则0<1/a<1/b

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=√(x-1)，其定义域用集合表示为________。

2.不等式|3x-2|<5的解集是________。

3.若直线y=kx+4与圆(x-1)^2+y^2=9相切，则k的值是________。

4.已知等比数列{a_n}中，a_1=3，a_4=81，则该数列的通项公式a_n=________。

5.从一副完整的扑克牌（54张）中随机抽取一张，抽到红桃的概率是________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解方程组：

{

2x+y-z=1

x-y+2z=4

3x-2y+z=-1

}

2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。

3.计算不定积分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

4.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

5.一个盒子里有5个红球，4个蓝球，3个绿球，从中随机取出4个球，求取出的球中至少有2个红球的概率。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.C

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可分段表示为：

f(x)={x+3,x≤-2

{-x+1,-2<x<1

{x-1,x≥1

当x=-2时，f(-2)=-2+3=1

当-2<x<1时，f(x)=-x+1在(-2,1)上递减，最小值在x=1处取得为0

当x≥1时，f(x)=x-1在[1,+∞)上递增，最小值在x=1处取得为0

综上，f(x)的最小值为0，故选C

2.A

解析：A={1,2}

若B=∅，则满足B⊆A

若B≠∅，则B={1}或B={1/2}，需满足1/a=1或1/a=1/2，即a=1或a=1/2

综上，a的取值集合为{1,1/2}

3.B

解析：原不等式等价于：

3x-7<2x-2或3x-7>-2x+2

解得x<5或x>3

故解集为(-∞,5)∩(-∞,3)∪(3,+∞)=(-∞,5)∩(-∞,3)∪(3,+∞)=(-∞,3)∪(3,+∞)=(-1,3)

4.C

解析：将点P(a,b)代入直线方程得：a+2b-1=0，即a=1-2b

因为a,b均为正整数，所以：

1-2b>0且1-2b为正整数

解得0<b<1/2，正整数b不存在

故选C

5.A

解析：抛掷两个骰子，基本事件总数为36

事件A包含的基本事件为：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4个

事件B包含的基本事件为：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个

事件A发生且B发生的基本事件为：(1,4)，共1个

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=1/4/4/36=1/6

6.B

解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)

故最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π

7.B

解析：a_n-3a_(n-1)=2

a_2-3a_1=2

a_3-3a_2=2

...

a_n-3a_(n-1)=2

将上述n-1个等式相加得：

a_n-3(a_1+a_2+...+a_(n-1))=2(n-1)

a_n-3S_(n-1)=2(n-1)

又因为a_n=S_n-S_(n-1)

所以S_n-S_(n-1)-3S_(n-1)=2(n-1)

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_n-2n=4(S_(n-1)-2(n-1))

S_n-2n=4S_(n-1)-8n+8

S_n-2n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_n=4S_(n-1)+2n-2

S_n+2n=4(S_(n-1)+2(n-1))

令T_n=S_n+2n，则T_n=4T_(n-1)

T_n是首项为T_1=S_1+2=1+2=3，公比为4的等比数列

T_n=3*4^(n-1)

S_n+2n=3*4^(n-1)

S_n=3*4^(n-1)-2n

S_5=3*4^4-2*5=3*256-10=768-10=758

修正：上面计算有误，重新计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4S_1+2(2-1)=4*1+2=6

S_3=4S_2+2(3-1)=4*6+4=24+4=28

S_4=4S_3+2(4-1)=4*28+6=112+6=118

S_5=4S_4+2(5-1)=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24+4=28

S_4=4*28+6=112+6=118

S_5=4*118+8=472+8=480

修正：再次计算：

S_n=4S_(n-1)+2(n-1)

S_2=4*1+2=6

S_3=4*6+4=24