长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列各数中，是无理数的是（）A． B． C． D．53．截至2025年5月10日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破元人民币．将数据用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．5．某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（）A．25 B．26 C．27 D．306．如图，已知直线，平分，，则的度数是（）A． B． C． D．7．直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（）A． B． C． D．8．如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（）A． B． C． D．9．从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（）A． B． C． D．10．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（

）A． B．C． D．当时，二、填空题11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．分解因式：．13．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是．14．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为．

15．在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是．16．如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为．

三、解答题17．计算：．18．解不等式组：，并求其整数解．19．为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和．求路况显示牌的高度是多少米？（用含根号的式子表示结果）20．某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，完成下列问题：(1)本次调查的学生人数为___________人；(2)在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度；(3)补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；(4)若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？21．如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的度数．22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元．(1)每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？23．如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)当时，求与的长．24．定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数：(1)根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内：①函数；（）②函数；（）③函数（为全体实数）；（）(2)若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值；(3)若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值．25．如图，已知扇形的半径为，圆心角为直角，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．(1)求的长（用含的代数式表示）；(2)设的长度为，当点沿着劣弧从点开始，顺时针运动到点时，的外心所经过的路径的长度为；求的值：(3)设弦、，连接，分别交、于、，记以线段、、为三边的三角形的外接圆半径为；①试求、、之间的关系式．②当四边形的面积最大时，求的值（用含的代数式表示）．《2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试卷》参考答案1．C解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误；选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误；选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确；选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.2．C解：A、是有理数，不符合题意；B、是有理数，不符合题意；C、是无理数，符合题意；D、5是有理数，不符合题意；故选：C．3．C解：．故选：C．4．B解：A、原式=，错误；B、原式=，正确；C、原式=，错误；D、原式不能合并，错误．故选B．5．B解：在所给数据中，数据出现了三次，次数最多，故众数为．故选：B．6．B解：，，平分，，，，故选：B．7．D解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为，即，故选：D8．B解：根据题意，的长．故选：B．9．A解：从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，抽到的学号为男生的概率是；故选：A．10．C解：∵该函数图象与y轴负半轴相交，∴，故选项A结论错误，不符合题意；∵该函数图象与x轴有两个交点，∴，故选项B结论错误，不符合题意；∵该函数图象开口向上，对称轴为直线，∴，，即，∵当时，，∴，即，故选项C结论正确，符合题意；∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线，∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意；故选：C．11．解：由题意可得，，，故答案为：．12．解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式，故答案为：．13．4解：设该方程的另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根是，可得：，∴；故答案为：4．14．30°解：∵，，∴，，由尺规作图可知垂直平分，∴由中垂线性质可知，∴，，故答案为：30°．15．m＜3解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，∴m-3＜0，即：m＜3．故答案是：m＜3．16．解：如图所示，过点作于点，交于点，则，

∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．∴，在中，∴故答案为：．17．4解：18．，不等式组的整数解为解：，由①得：，解得：，由②得：，解得：，∴不等式组的解集为：．∴不等式组的整数解为．19．解：在中，，，．在中，，，（米，．答：路况显示牌的高度约为．20．(1)100(2)(3)见解析(4)估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人（1）解：（人），故答案为：100；（2）解：，故答案为：；（3）解：（人），补全条形统计图如下：（4）解：（人），答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人．21．(1)见解析(2)（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴22．(1)每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元；(2)共两种购买方案，方案如下．方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆；方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆．（1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元．依题意，得解得答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元；（2）设购进型汽车辆，型汽车辆．依题意，得，所以．因为，均为正整数，所以或所以共两种购买方案，方案如下．方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆．方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆．23．(1)证明见解析(2)，（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：∵，∴设，则：，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，即：，解得：（舍去），∴，∴，∵，∴，∴，∴．24．(1)、、．(2)(3)（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（）②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（）③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（）故答案为：、、．（2）解：∵函数在实数范围内为峰函数，∴，∵经过点和点，∴∴，函数的图象与轴交于、两点，设∴是方程的两个实数根，∴又∵，∴∴即∴∵，，∴解得：（，正值舍去）∴∴∵∴顶点坐标为，即该函数的峰值为；（3）∵函数（）在实数范围内为谷函数，∴，∵函数的图象经过点∴∴又∵∴设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，∴，∴∵方程有实数根，∴设，如图∴当时，∵，即的最小值为∴当取得最小值时，∵要使得的最小值．则同号，∴∴的最小值为．25．(1)(2)(3)①；②（1）解：连接，∵为的中点，∴，∵，，∴，∴；（2）解：连接，如图：由题意得：，∵为的中点，∴由垂径定理得，∴，∴