2024-2025学年天津一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津一中高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合M={x∈N|0<x<3}的子集的个数是(

)A.16 B.8 C.7 D.42.命题：“∀x∈R，∃n∈N∗，使得n≥x2A.∃x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2 B.∃x∈R，∀n∈N∗，使得n<x2

C.3.(1−2x)8展开式中第4项的二项式系数为(

)A.−448 B.1120 C.56 D.704.函数f(x)=3xsinx−x2eA. B.

C. D.5.化简(log62)A.−log62 B.−log636.下列说法中正确的是(

)A.“A与B是对立事件”是“A与B互为互斥事件”的必要不充分条件

B.已知随机变量X服从二项分布B(4,13)，则E(X)=89

C.已知随机变量X服从正态分布N(4,σ2)且P(X≤6)=0.85，则P(2<X≤4)=0.357.《哪吒之魔童闹海》在内地市场的票房突破了154亿大关，成为全球单一电影市场票房的最高纪录.一款哪吒变脸玩具深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为y=−0.6x+时间x12345销售量y/万只54.543.52.5A.由题中数据可知，变量y与x负相关

B.线性回归方程y=−0.6x+a中a=5.7

C.当x=5时，残差为0.2

8.已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x+1)为偶函数，若对于任意不等实数x1，x2∈[1,+∞)，不等式(x1−A.{x|−13<x<1} B.{x|x<−1，或x>13}9.记max{x1,x2,x3}表示x1，x2，x3这3个数中最大的数.已知aA.3 B.2 C.310.若x∈(1,+∞)时，关于x的不等式axa−1lnx−ex≤0A.(−∞,1e] B.(−∞,e] C.(0,二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知函数f(x)=log2x,x>0(1412.函数f(x)=xcosx的图象在x=π处的切线方程为______．13.已知二项式(ax−1x)8(a>0)的展开式中，x514.某同学在高中的10次数学考试中的成绩分别是98，103，105，111，112，112，118，124，126，138，则它的第六十百分位数是______．15.大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核.每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核.若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是12，专业技能考核合格和补考合格的概率都是23，每一次考试是否合格互不影响.则大学生甲不被淘汰的概率是______；若大学生甲不放弃每次考试的机会，X表示他参加补考的次数，则X的数学期望是______．16.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色(其中一种为黄色)对图中四个区域A，B，C，E进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有______种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有______种.三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题11分)

学校将举行以“爱我中华”为主题的辩论赛，高二年级某班准备在5名男辩手和4名女辩手中选出4名同学组成辩论队参赛，在选出的辩论队员中既有男队员又有女队员的条件下，回答下列问题：

(1)女队员甲必须入选的概率是多少？

(2)设辩论队中男队员的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．18.(本小题11分)

如图所示，在三棱锥S−ABC中，SC⊥平面ABC，SC=3，AC⊥BC，CE=2EB=2，AC=32，CD=ED．

(1)求证：DE⊥平面SCD；

(2)求点B到平面SCD的距离；

(3)求平面ASD与平面CSD19.(本小题12分)

已知函数f(x)=x+1，g(x)=x2−1．

(1)若a∈R，求不等式af(x)+g(x)<0的解集；

(2)若b∈R，对∀x1∈[1,2]，∃x20.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx−a2x2+1(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，

(ⅰ)求实数a的取值范围：

(ⅱ)若x1，x参考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.A

6.C

7.C

8.D

9.A

10.B

11.8

12.y=−x

13.70

14.115

15.23

316.144

84

17.(1)记事件A为女队员甲必须入选，由古典概型计算公式可得P(A)=C53+C31C52+C32C51C94−C54−ξ123P111数学期望E(ξ)=1×16+2×12+3×13=136．

18.(1)证明：如图，取CE的中点F，连接DF，

因为CD=ED，所以DF⊥BC，

又AC⊥BC，所以DF/​/AC，

易得△BDF～△BAC，

因为CE=2EB=2，AC=32，

所以DFAC=BFBC=23，解得DF=1，即DF=CF=FE，

所以DE⊥DC，

又SC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以SC⊥DE，

因为DC∩SC=C，DC，SC⊂平面SCD，

所以DE⊥平面SCD．

(2)解：由(1)得DE⊥平面SCD，BC=32CE,ED=2，

所以点B到平面SCD的距离是点E到平面SCD的距离的32倍，即32ED=322．

(3)解：如图，分别以CA,CB,CS为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A(32,0,0),S(0,0,3),D(1,1,0),C(0,0,0),E(0,2,0)，

因为DE⊥平面SCD，

所以DE=(−1,1,0)为平面SCD的一个法向量，

又AS=(−32,0,3),AD=(−19.解：(1)令F(x)=af(x)+g(x)

=x2+ax+a−1=(x+1)(x+a−1)=0，

解得x=−1或1−a，

①当a<2时，则有−1<1−a，

∴不等式的解集为{x|−1<x<1−a}；

②当a=2时，则有−1=1−a，

∴不等式的解集为⌀；

③当a>2时，则有−1>1−a，

∴不等式的解集为{x|1−a<x<−1}，

综上所述：当a<2时，不等式的解集为{x|−1<x<1−a}；

当a=2时，不等式的解集为⌀；

当a>2时，不等式的解集为{x|1−a<x<−1}；

(2)由bf(x1)+f(x2)=g(x1)+b+8，

代入整理得：x2=x12−bx1+6，

令G(x)=x2−bx+6=(x−b2)2+6−b24，

①当b2≤1，即b≤2时，对任意x1∈[1,2]，

G(x1)∈[7−b,10−2b]⊆[4,5]，

∴b≤27−b≥410−2b≤5，即b≤2b≤3b≥52，

∴此时不等式组无解；

②当1<b2≤32，

即2<b≤3时，对任意x1∈[1,2]，

G(x1)∈[6−b20.解：(1)函数f(x)=lnx−a2x2+1的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=1x−ax=1−ax2x，

当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，由f′(x)>0，得x∈(0,1a)，由f′(x)<0，得x∈(1a,+∞)，

即函数f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减，

所以当a≤0时，f(x)的递增区间是(0,+∞)，无递减区间；

当a>0时，f(x)的递增区间是(0,1a)，递减区间是(1a,+∞)．

(2)(ⅰ)由f(x)=0，得a2=lnx+1x2，令φ(x)=lnx+1x2，求导得φ′(x)=−1−2lnxx3，

当x∈(0,1e)时，φ′(x)>0，当x∈(1e,+∞)时，φ′(x)<0，

则函数φ(x)在(0,1e)上单调递增，在(1e,+∞