2024-2025学年四川省宜宾市高县中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省宜宾市高县中学高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R，集合A={x|−1≤x≤1}，B={−2,−1,0,1,2}，则(∁UA)∩B=A.{2} B.{−2,2} C.{−1,0,1} D.{0,1,2}2.已知函数f(x)=2sinx−f′(0)x，则f′(0)=(

)A.12 B.1 C.0 D.3.已知p：|x−1|≤2，q：x2−2x−3<0，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知正六棱锥P−ABCDEF底边AB=2，体积为63，则该正六棱锥的表面积为(

)A.123 B.183 C.5.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，记函数f(x)=P(ξ≤x)，则f(x)的图象(

)A.关于直线x=2对称 B.关于直线x=4对称

C.关于点(1,12)成中心对称 D.6.衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第x(1≤x≤5,x∈N)天进店消费的人数为y，且y与[5xx2]([t]表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有15人进店消费，则第A.15 B.16 C.17 D.187.已知a，b，c>0，且b>c，则a2+4b2A.12 B.34 C.1 8.过点P(−1,0)向曲线C：x2−2nx+2y2=0(n为正整数)引斜率为kn(kA.kn=n4n+2 B.xn=nn+1

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量η～B(6,12)，则A.E(η)=3

B.D(η+1)=52

C.函数f(x)=x2+(3−η)x在(0,+∞)10.已知△ABC的面积为14，若cos2A+cos2B+2sinC=2，cosAcosBsinC=14，则A.sinC=sin2A+sin2B B.AB=11.设f(x)是定义域为R的奇函数，且y=f(2x+2π)的图象关于直线x=−π2对称，若0<x≤π时，f(x)=(exA.f(x+π2)为偶函数 B.f(x)在(−π,−π2)上单调递减

C.k=12025f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从4名男生和3名女生中选出3人参加一项创新大赛，要求选出的3人中必须有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则有______种不同选法(用数字作答)．13.已知△ABC的面积为S，且∠A，∠B，∠C所对的边记为a，b，c，满足4a2=b214.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M是△ABC的内心，若a=2，3bcosA=asinB．

(1)求角A；

(2)延长AM交BC于点D，若AD=216.(本小题15分)

根据历史资料显示，某种疾病的自然痊愈率为20%.为深入研究该种疾病的痊愈情况与患者身体素质指标的关系，研究人员收集了部分患者的数据，其中8名患者的身体素质综合评分x(满分100分)和痊愈所需时间y(天)编号12345678x4050607080903020y302520151083640(1)根据表中数据，得到痊愈所需时间和身体素质综合评分近似为线性相关关系，建立y关于x的一元线性回归模型(b的计算结果精确到小数点后2位)；

(2)根据(1)所求的经验回归方程，计算2号患者痊愈时间的残差；

(3)某药企针对该疾病研发了一种新药，认为该药可将治愈率提高到80%.医院为检验其疗效，把此药给6个病人服用，试验方案为：若这6个病人中至少有3人痊愈，则认为这种药有效；否则认为这种药无效.求经此试验认定该药无效的概率p，并根据p值的大小解释试验方案是否合理．

附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y17.(本小题15分)

已知三次函数f(x)=13ax3+12(2a−1)x2−2x−12．18.(本小题17分)

如图1，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，将△BCD沿BD折起至△BPD(如图2)，且点E为AP的中点．

(1)证明：平面ABP⊥平面BDE；

(2)若AP⋅AC=9，求平面PBC与平面19.(本小题17分)

①离心率为22；②经过点M(−3,22)；③|PF1|=3，请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，回答下列问题．

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且椭圆经过点P(2,1)，_____．

(1)求椭圆的方程；

(2)过P的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于点Q(异于点参考答案1.B

2.B

3.B

4.B

5.C

6.D

7.D

8.D

9.ACD

10.ABC

11.BC

12.22

13.714.4315.(1)由正弦定理及3bcosA=asinB得，3sinBcosA=sinAsinB，

因为sinB≠0，所以3cosA=sinA，即tanA=3，

而A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)因为点M是△ABC的内心，

所以AD是∠BAC的平分线，即∠BAD=∠CAD=π6，

因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，

所以12bcsin∠BAC=12c⋅ADsin∠BAD+12b⋅ADsin∠CAD，

即bc⋅32=c⋅216.(1)由题意可知，x−=18(40+50+60+70+80+90+30+20)=55，

y−=18(30+25+20+15+10+8+36+40)=23，

i=18xiyi=40×30+50×25+60×20+70×15+80×10+90×8+30×36+20×40=8100，

i=18xi2=402+502+602+702+802+902+302+202=28400，

所以b=i=18xiy−8x−y−i=18xi2−8x17.解：(1)当a=3时，f(x)=x3+52x2−2x−12．

所以f′(x)=3x2+5x−2，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=6，又f(1)=1，

所以y=6(x−1)+1，整理可得6x−y−5=0，

故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为6x−y−5=0；

(2)f′(x)=ax2+(2a−1)x−2=(ax−l)(x+2)，

若a=0，由f(x)=−(x+2)=0可得x=−2，

当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈(−2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，

当a>0时，f′(x)=(ax−1)(x+2)=0，可得x=1a或x=−2，

所以f(x)在(−∞,−2)，(1a,+∞)为增函数，在(−2,1a)上为减函数，

当a<0时，

若−12<a<0，f(x)在(−∞,1a)，(−2,+∞)为减函数，在(1a,−2)上为增函数，

若a=−12，f′(x)≤0，f(x)在R上为减函数，

若a<−12，f(x)在(−∞,−2)，(1a,+∞)为减函数，在(−2,1a)上为增函数，

综上可得：

若a=0，f(x)在(−∞,−2)上为增函数，在(−2、+∞)上为减函数，

当a>0时，f(x)在18.(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OP，OE，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD，且O既是AC的中点，也是BD的中点，

又∵∠BAD=60°，∴△BCD是等边三角形，

显然BP=DP，∴OP⊥BD，

又AC∩OP=O，AC，OP⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

∵AP⊂平面PAC，

∴BD⊥AP，

在折叠过程中，始终有BP=AB，又E是AP的中点，

∴BE⊥AP，又BE∩BD=B，BE、BD⊂平面BDE，

∴AP⊥平面BDE，

∵AP⊂平面ABP，

∴平面ABP⊥平面BDE；

(2)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴AC=23，

以O为原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，作Oz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(−3,0,0)，

∴AB=(−3,1,0)，AC=(−23,0,0)，CB=(3,1,0)，

设P(m,0,n)，∴AP=(m−3,0,n)，

∴AP⋅AC=−23×(m−3)=9，解得m=−32，

又∵折叠过程中，OP=OC=3，

∴|OP|=m2+n2=3，

解得n=32，

∴P(−32,0,32)，∴AP=(−332,0,32)，CP=(32,0,32)，

由(1)知AP⊥平面BDE，

∴平面BDE的一个法向量为n1=23AP=(−3,0,1)，

平面PBC的法向量为n