2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(x,4)，b=(3,−3)，且a⊥b，则xA.4 B.−4 C.3 D.−32.已知复数z(1−i)=3i，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.30° B.45° C.60° D.90°4.在△ABC中，设D是AB边上的一点，且AD=2DB，则(

)A.CD=13CA−23CB 5.要得到y=cos(2x−π4)的图象，只要将A.向左平移π8个单位 B.向右平移π8个单位 C.向左平移π4个单 D.6.已知5−2i是关于x的方程x2−mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m的值为(

)A.10 B.−6 C.6 D.−107.棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为15，则球的表面积为(

)A.12π(210π)23 B.36π(8.化简计算12tan40°−2cos50°的值为(

)A.3 B.−32 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了6名同学所知道的景区个数，得到一组样本：1，2，3，2，4，5，则(

)A.这组数据的众数为2 B.这组数据的平均数为3

C.这组数据的极差为4 D.这组数据的60%分位数为310.已知函数f(x)=sin(2x+π3A.f(x)的图象关于点(−2π3,0)对称

B.若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2是π的整数倍

C.f(x)11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且AD=2，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是(

)A..平面PAD与平面PBC的交线平行于直线AD

B.二面角P−BC−D的余弦值为277

C.点B到平面PCD的距离为2

D.四棱锥P−ABCD的外接球的半径为213

三、填空题：本题共312.母线长和底面圆的直径都为4的圆锥的侧面积为______．13.某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5,25](单位：百万元)内，将其分成5组：[5,9)，[9,13)，[13,17)，[17,21)，[21,25]，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为______(百万元)，(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是平面任意一点，满足sinAsinB=ac，B=π3，且PA2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知△ABC内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且a=7，b=5，c=6．

(1)求cosA；

(2)求△ABC的面积．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=4sinxcos(x−π6)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在[−17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E是AD的中点，BD与AC交于点O，A′B与AB′交于点G．

(1)证明：OG//平面BCC′B′；

(2)证明：EG⊥平面A′BC′；

(3)求直线BA′与平面BDD′B′所成角的大小．18.(本小题15分)

统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为N，摧毁某年生产的n架战机编号从小到大为x1，x2，x3，…，xn，最大的编号为xn，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号x1，x2，x3，…，xn，相当于从[1,N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0,N]分成(1+n)个小区间(如图)，可以用前n个区间的平均长度xnn估计所有(1+n)个区间的平均长度Nn+1进而得到N的估计值．

已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题．

(1)根据材料估计敌军生产的战机数量；

(2)已知敌军所有现役战机分为三个等级(四代战机，四代半战机，五代机)，通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为x−，y−，z−．

(ⅰ)根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式；

(ⅱ)若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为A19.(本小题17分)

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若2cosB+1=ca；

(ⅰ)求证：B=2A；

(ⅱ)求sinAsinC的取值范围；

(2)若G是△ABC的重心且AG⊥BG，求cosC答案解析1.【答案】A

【解析】解：向量b=(3,−3)，a=(x,4)，且a⊥b，

由向量垂直的性质可知，3x−12=0，解得x=4．

故选：A．2.【答案】B

【解析】解：由复数z(1−i)=3i，得z=3i1−i=3i(1+i)(1−i)(1+i)=−3+3i2=−32+32i3.【答案】C

【解析】解：由正方体的几何特征可得AD1/​/BC1，

异面直线AD1与DC1所成角为∠BC1D，

设正方体的棱长为a，

则BC1=BD=DC1=2a，

所以△BDC4.【答案】C

【解析】解：由题意CD=CA+AD=CA+23AB=CA+235.【答案】B

【解析】解：将函数y=cos2x的图象向右平移π8个单位得到的函数解析式为：y=cos[2(x−π8)]=cos(2x−π4)，

6.【答案】A

【解析】解：由题意，5+2i是关于x的方程x2−mx+n=0(m,n∈R)的另一个根，

所以由韦达定理有m=5−2i+5+2i=10．

故选：A．

由实系数方程虚根成对以及韦达定理即可求解．7.【答案】D

【解析】解：将棱长为6的正四面体可放置到棱长为32的正方体中，

则该正四面体的体积为(32)3−4×13×12×(32)3=182，

又球的体积与正四面体的体积之比为15，

所以球的体积为1828.【答案】B

【解析】解：原式=sin40°2cos40∘−4cos40°sin40°2cos40∘

=sin40°−2sin80°2cos40∘

=sin40°−2cos(40°−30°)2cos9.【答案】ACD

【解析】解：将样本数据从小到大排列得1，2，2，3，4，5，

对于A，众数为2，故A正确；

对于B，平均数为1+2+2+3+4+56=176，故B错误；

对于C，极差为5−1=4，故C正确；

对于D，因为6×60%=3.6，

所以这组数据的60%分位数是3，故D正确．

故选：ACD．10.【答案】AD

【解析】解：由f(−2π3)=sin[2×(−2π3)+π3]=sin(−π)=0，

可知f(x)的图象关于点(−2π3,0)对称，故A项正确；

取x1=−π6，x2=π3，可得f(x1)=f(x2)=0，此时x1−x2=−π2，故B项错误；

当x∈[−π6,π]时，2x+π3∈[0,7π3]，

结合正弦函数的图象，可知f(x)的零点满足2x+π3=0或π11.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A：因为AD//BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD/​/平面PBC，

又因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD与平面PBC的交线平行于直线AD，故选项A正确；

对于选项B：若E，F分别为AD，BC的中点，

则PE⊥AD，EF⊥AD，

因为PE∩EF=E，且PE，EF⊂平面PEF，

所以AD⊥平面PEF，则BC⊥平面PEF，

因为EF，PF⊂平面PEF，所以BC⊥PF，EF⊥BC，

所以∠PFE是锐二面角P−BC−D的平面角，

由平面PAD⊥平面ABCD，PE⊥AD，PE⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PE⊥平面ABCD，

则cos∠PFE=EFPF，而EF=2,PE=3，则PF=7，

所以cos∠PFE=277，故选项B正确；

对于选项C：因为VB−PCD=VP−BCD=13×3×12×2×2=233，

由PE⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD，又AD⊥CD，

由PE∩AD=E，且PE，AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，

所以CD⊥PD，故S△PCD=12×2×2=2，

若点B到平面PCD的距离为d，

所以23d=233，则d=3，故选项C错误；

对于选项D：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，四边形ABCD为正方形，

则外接球球心是过正方形ABCD中心且垂直于平面ABCD与过△PAD中心且垂直于平面12.【答案】8π

【解析】解：由题意母线长和底面圆的直径都为4的圆锥，

可得底面圆的半径为r=2，母线l=4，故所求为πrl=π×2×4=8π．

故答案为：8π．

直接由圆锥的侧面积公式计算即可得解．

本题考查了圆锥的侧面积公式，是中档题．13.【答案】14.52

【解析】解：根据频率分布直方图的性质可知，(0.02+a+0.09+0.03+0.03)×4=1，可得a=0.08，

故估计销售员工销售额的平均值为0.08×7+0.32×11+0.36×15+0.12×19+0.12×23=14.52．

故答案为：14.52．

根据频率和为1求得a=0.08，再由频率直方图求平均值即可．

本题考查了频率分布直方图的性质，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：根据题意可知，sinAsinB=ab=ac，∴b=c，又B=π3，a=1，∴三角形ABC是边长为1的等边三角形，

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意A(−12,0),B(12,0),C(0,32)，设P(x,y)，

∴PA2+PB2+PC2=(x+12)2+y2+(x−12)2+y2+x2+(y−15.【答案】cosA=910；

3【解析】(1)因为a=7，b=5，c=6，

所以由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=25+36−72×5×6=910；

(2)因为sin2A+cos2A=1，

由(1)知16.【答案】π；

[1−3【解析】(1)f(x)=4sinx⋅(cosxcosπ6+sinxsinπ6)

=23sincosx+2sin2x

=3sin2x−cos2x+1

=2sin(2x−π6)+1，

可得f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π；

(2)方法1：令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得：−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，

可得f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z，

又x∈[−π12,π2]，

可得f(x)max=f(17.【答案】证明见解析；

证明见解析；

π6．【解析】(1)证明：在正方体ABCD−A′B′C′D′中，连接B′C，因为ABCD为正方形，

所以O为AC中点，同理，G为AB′中点，

所以GO//B′C，因为GO⊄平面BB′C′C，B′C⊂平面BB′C′C，

所以GO//平面BB′C′C；

(2)证明：连接DB′，在△AB′D中，G、E分别为AB′、AD的中点，所以DB′//EG．

在正方形A′B′C′D′中，A′C′⊥B′D′，

又因为ABCD−A′B′C′D′为正方体，

所以BB′⊥平面A′B′C′D′，

因为BB′⊂平面A′B′C′D′，所以BB′⊥A′C′，

因为B′D′∩BB′=B′，B′D′，BB′⊂平面BB′D′D，

所以A′C′⊥平面BB′D′D，

因为B′D⊂平面BB′D′D，所以A′C′⊥B′D，

同理可得：A′B⊥B′D，A′B∩A′C′=A′，

所以B′D⊥平面A′BC′，

所以EG⊥平面A′BC′；

(3)设A′C′∩B′D′=Q，并连接QB，

由(2)可知A′C′⊥平面BB′D′D，

所以直线BA′与平面BB′D′D所成的角为∠QBA′，

设正方体棱长为2a，Rt△A′QB中，A′B=22a，A′Q=2a，所以∠QBA′=π6，

所以直线BA′与平面BB′D′D所成的角的大小为π6．

(1)只需证明GO//B′C，再结合线面平行的判定定理即可得证；

(2)只需证明DB′//EG，B′D⊥平面A′BC′即可得证；

(3)由线面角的定义可得直线18.【答案】24架；

(ⅰ)不能，需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，估计式见解析；

(ⅱ)证明见解析．

【解析】(1)解：∵可用xnn估计Nn+1，

∴217=N8，解得N=24．

∴估计敌军生产的战机数量为24架．

(2)(ⅰ)解：不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度，

需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，

估计式为XX+Y+Zx−+YX+Y+Zy−+ZX+Y+Zz−

或mm+n+lx−+nm+n+ly−+lm