2024-2025学年山东省枣庄市高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省枣庄市高一下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数2+4i1−i的虚部为A.1 B.−1 C.3 D.−32.某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是(

)A.抽签法 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.简单随机抽样3.如图所示，在三棱台ABC−A1B1C1中，沿平面A1CA.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱4.有三个命题：①sin15°cos15°=14；A.0 B.1 C.2 D.35.一圆台的上下底面的半径分别为1和2，侧面积为9π，则其体积为(

)A.162π3 B.1426.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为13.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为A.724 B.748 C.5247.已知|a=b=1，c=5，A.a⊥bB.若λa+3b//a+b+c，则8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则下列结论错误的是(

)

A.点P再次进入水中用时20s

B.当水轮转动25s时，点P处于最低点

C.当水轮转动28.75s时，点P距离水面2−1m

D.点P第三次到达距水面二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=1−m2−mA.若z<0，则m=3 B.若z是纯虚数，则m=±1

C.若m=2，则|z|=32 D.10.记事件M中的样本点个数为|M|.对于一个古典概型试验的样本空间Ω和事件E，F，已知E⊆Ω，F⊆Ω，|Ω|=80，|E|=20，A.P(E)=14 B.E与F互不相容 C.E与F相互独立 11.如图，在边长为2的正方形SG1G2G3中，点E，F分别是G1G2，G2G3的中点．若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使GA.GS⊥EF

B.平面SEG⊥平面SFG

C.点G到平面SEF的距离为34

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知AB=1,−1，BC=−1,13.某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生0～9之间的随机整数，当出现随机数0～5，表示“投中”，出现6～9表示“未投中”.以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783

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789.据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为

．14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点M，N分别在棱AA1，A1D1上，满足AM=D1N=1，点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC+c(1)求a，A；(2)求▵ABC的面积及sinB16.(本小题15分某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩(百分制)分成[40,50),[50,60)，…，[90,100]六组，得到频率分布直方图(如下图)，请完成下列问题：(1)求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分(每个区间内的值以该组区间的中点值为代表)；(2)求参加挑战赛的学生成绩的90％(3)已知落在区间[60,70)的样本平均分是63，方差是5；落在区间[70,80)的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分x和方差s2．17.(本小题15分)已知α，β，γ是三个平面，α∩β=a，α∩(1)若a∩b=O，求证：(2)若a//b，判断a与c及b与c18.(本小题17分)在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，∠A(1)求证：MN//平面BC(2)求证：A1M⊥(3)请作出二面角B−AA119.(本小题17分)(1)叙述余弦定理，并用向量法证明；(2)叙述正弦定理，并用向量法证明(仅证明钝角三角形的情形，设A为钝角)；(3)用正弦定理证明余弦定理．

答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】由复数的除法结合虚部的概念可得．【详解】2+4i所以虚部为3．故选：C．2.【答案】C

【解析】【分析】根据样本的年龄特性确定抽样方法．【详解】由于样本中年龄分为三个层次：老年，中年，青年，因此采取分层抽样方法．故选：C．3.【答案】B

【解析】【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案．【详解】截去三棱锥B1−A故选：B4.【答案】D

【解析】【分析】由二倍角的正余弦，正切公式可得．【详解】sin15°cos15cos222.5°−因为2tan所以tan22.5°1−故选：D．5.【答案】B

【解析】【分析】借助圆台体积公式与侧面积公式计算即可得．【详解】设该圆台的高为ℎ，母线长为l，上下底面半径分别为r1圆台的侧面积S=πr1所以高ℎ=V=1故选：B6.【答案】A

【解析】【分析】由在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对的情况下利用独立事件的乘法公式可得．【详解】由题意可得在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对，所以其概率为2×故选：A．7.【答案】B

【解析】【分析】由向量的模，数量积，向量平行的条件，投影向量逐项判断可得．【详解】对于A，a⃗−2b所以c=5所以a⋅b=0，故a对于B，因为a−2b=又λa+3b设λa+3b=k2a−对于C，a+由a−2b=c可得b+对于D，c⋅b=a−2b⋅b=故选：B．8.【答案】D

【解析】【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得．【详解】由题意，角速度ω=2π30又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为π6，点P再次进入水中用时为π当水轮转动25秒时，半径OP0转动了25×π15=5当水轮转动28.75秒时，由于28.75=25+3.75，又ω×3.75=π4，所以距水面高度为逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为1+3m所以第三次到达距水面高度为1+3m时需要转动一周后再逆时针转动π所以点P第三次到达距水面1+3米时用时47.5秒，故故选：D．9.【答案】ACD

【解析】【分析】先由复数的幂求出复数的表达式，然后复数为实数，纯虚数，复数的模，以及共轭复数的概念逐项判断可得．【详解】因为i4=1，所以i11对于A，因为z<0，所以1−m2<对于B，若z是纯虚数，则1−m2=0m2对于C，若m=2，则z=1−m2+m2对于D，若z=z，即2m2−2m−3=0，则m=3故选：ACD10.【答案】ACD

【解析】【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件，相互独立事件概率计算公式即可求解【详解】A：由题可知总样本空间数位||Ω||=80，事件|E|=20，则P(E)=2080B：由|EF|=10，则得E∩F≠∅，故BC：由题可得P(F)=4080=12，P(EF)=1080=1D：P(E+F)=P(E)+P(F)−P(EF)=14+故选：ACD．11.【答案】ABD

【解析】【分析】由线面垂直的判定定理证明出SG⊥平面EFG可判断A，由面面垂直的判定定理证明FG⊥平面ESG可得B正确；将三棱锥S−EFG补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出三棱锥S−EFG外接球的半径，利用球体的表面积可求得结果可判断D；利用等体积法可求得点G到平面SEF的距离可判断【详解】在正方形SG1G2G3中，在三棱锥S−EFG中，则SG⊥EG，EG∩FG=G，EG,FG⊂平面EFG，所以SG又EF⊂平面EFG，所以GS⊥EF且EG⊥FG，又SG⊥FG，又所以FG⊥平面ESG，又FG⊂平面SFG，所以平面SEG⊥平面SFG将三棱锥S−EFG补成长方体SABC−GEDE，所以，三棱锥S−EFG外接球的直径为2R=因此，三棱锥S−EFG外接球的表面积为4πR2S▵EFG=SE=SF=EG2+SG2=SM=SE2设点G到平面SEF的距离为d，由VG−SEF=VS−EFG，可得13故选：ABD．12.【答案】−3【解析】【分析】根据题意利用向量的坐标运算可得AB⋅BC，AB，【详解】因为AB=1,则AB⋅BC=−1−2=−所以cosAB故答案为：−313.【答案】0.65/13【解析】【分析】结合题意，由古典概率可得．【详解】由题意可得062

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符合题意，所以由古典概率可得1320故答案为：0.65．14.【答案】19【解析】【分析】在B1B,B1C1上取点E,F，使得BB1=3EB1,B【详解】在B1B,B1C分别连结EF,BC因为A1D1=3D所以四边形A1FC由BB1=3EB1又由AA1=3AM且A在正方体ABCD−A1B1C因为A1F⊄平面C1NM，且C1N同理可证EF//平面C又因为A1F∩EF=F，且A1F,EF⊂因此点Q的轨迹组成的图形为▵A在等腰三角形A1EF中，可得底边EF上的高为A所以面积为12故答案为：1915.【答案】解：(1)由bcosC+ccos即a2+b由余弦定理，得cosA=又A∈0,π(2)S法1：由S▵ABC=法2：由正弦定理，得sinB=

【解析】【分析】(1)由bcos(2)由三角形的面积公式可得面积；法1：变换面积公式的表达形式可得sinB；法2：由正弦定理可得sin16.【答案】解：(1)由(0.010+0.010+0.020+a+0.025+0.005)×10=1，解得平均分的估计值为0.010×(2)成绩小于90分的占比为1−5％=95％，成绩小于80所以90％分位数一定位于区间[80,90)，而80+10×0.90−0.700.95−0.70=88(3)成绩在[60,70),[70,80)内的人数分别为100×(0.020×x=设学生成绩在区间[60,70)内的数据记为x1，x2，…，x20，学生成绩在[70,80)内的数据记为y1，y2s===

【解析】【分析】(1)利用面积和为1计算可得；由频率分布直方图中平均数的计算可得；(2)由频率分布直方图中百分位数的计算可得；(3)先计算成绩在[60,70),[70,80)内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得．17.【答案】解：(1)证明：因为α∩β=a，所以因为a∩b=O，所以又a⊂β，所以同理可证O∈γ，所以O为β与又β∩γ=c，由基本事实(公理)3，得(2)因为a//b，a⊄由直线与平面平行的判定定理，得a//又a⊂β，由直线与平面平行的性质定理，得a//又a//b，由基本事实(公理)4，得

【解析】【分析】(1)基本事实(公理)3结合点线面间位置关系可得；(2)由平行公理和线面平行的性质定理可得．18.【答案】解：(1)如图，连接BC因为侧面AA1C1C为平行四边形，A又因为M为AB的中点，所以MN为▵ABC1又MN⊄平面BCC1B1所以MN//平面BC(2)连接A1B，MC.在菱形ABB1A所以▵AA1B为等边三角形．又M是解法一：在Rt▵ABC中，因为M是斜边AB的中点，所以MC=在▵A1MC中，A1M=2所以A1M2又A1M⊥AB，MC⊂平面ABC，AB所以A1M⊥解法二：取线段AC的中点D，连接MD，A1D，因为MD是▵ABC的中位线，所以MD又BC⊥AC，所以在▵A1AC中，A1A=A1又A1D∩MD=D，所以AC⊥平面A因为A1M⊂平面A又A1M⊥AB，AC∩所以A1M⊥(3)过点C作CH⊥AB于点H；过H作HK⊥AA由(2)知A1M⊥平面ABC，因为A所以平面A1AB⊥又CH⊂平面ABC，平面A1AB∩平面所以CH⊥平面A因为AA1⊂平面A1AB，HK⊂平面又HK⊥AA1，HK∩所以AA1⊥因为CK⊂平面CHK，所以A所以∠HKC为二面角B−A在Rt▵ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1由S▵得CH=CA由AC2=AH在▵A1AB中，HK在Rt▵CHK中，CH⊥HK即二面角B−AA1−C

【解析】【分析】(1)连接BC1，所以(2)连接A1B，MC，可得解法一：由勾股定理可证得A1M⊥MC，又A