2024-2025学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={y∈N|y2<4}，集合B={x|lnx<1}，则A∩B=A.⌀ B.{1} C.{0,1} D.{1,2}2.“log3a>log3b”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.已知6m=a，log6b=n，若m+n=−1A.136 B.66 C.4.已知a=1.11.1，b=0.9−1.1，c=ln2，则a，b，cA.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a5.已知等差数列{an}的各项都不相等，它的前3项和为18，且a1，a2，aA.1 B.3 C.6 D.96.已知函数f(x)=ex,x>02x3−6x+a,x≤0的值域为A.[1,+∞) B.(−∞,−3] C.[−3,+∞) D.(−∞,1]7.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=−n2A.32 B.41 C.52 D.658.已知定义在R上的函数y=f(x)，其导函数为f′(x)，当x<0时，f′(x)+f(x)>0，若e2xf(x)+e2xf′(x)+f(−x)+f′(−x)=0，且f(1)=0，则不等式A.(−1,1) B.(−∞,−1)∪(0,1)

C.(−1,0)∪(1,+∞) D.(−∞,−1)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若ca>cbA.|a|<|b| B.a−bc<0 C.abc<0 10.已知函数f(x)=ln1+x1−x+2a(1+x)+bA.函数f(x)的定义域为(−1,1)

B.曲线y=f(x)是中心对称图形

C.当a=0，b=0时，函数f(x)在定义域上单调递减

D.若b=0，且f(x)在定义域上不单调，则a<−111.已知函数f(x)=exx2，g(x)=lnf(x)A.函数f(x)在x=2处取得极小值e24

B.存在唯一实数x，使得f(x)=1

C.若x>0，则g(x)图象上一点与y=−x图象上一点之间的距离可能为1

D.若x>0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合M={x||x+1|<2}，N={x|2x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为______．13.设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x2−x，则f(−514.已知曲线C1：y=ex−2a(a>0)和曲线C2：y=ln(x+b)(b>0)，若曲线C1与曲线C2关于直线y=x对称，则ba四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=x2−6x+1，函数g(x)=f(x)x．

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)若存在x∈[2,8]，使得不等式g(16.(本小题15分)

某项比赛近五年的观众人数(单位：万人)与年份的统计数据如表所示：年份20212022202320242025年份编号x12345观众人数y(万人)1.71.822.22.3(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测2026年的观众人数；

(2)若该比赛的门票有A，B两个等次的票价，某机构随机调查了100位观众的购票情况，得到的部分数据如表所示，请将2×2列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关．购买A等票购买B等票总计男性观众4055女性观众25总计100参考公式及参考数据：回归方程y=bx+a中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为b=P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817.(本小题15分)

已知{an}为等差数列，bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4=16，T18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x+2a)eax，其中a≥0．

(1)若a=1，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)设函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值和最小值分别为M(a)和N(a)，求使得不等式M(a)⋅N(a)≤(2+6a)19.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx−ax2+a，a∈R．

(1)若a=0，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减．

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：ln(n!)−(n+答案解析1.【答案】B

【解析】解：由题意知，集合A={y∈N|y2<4}={−1,0,1}，

集合B={x|lnx<1}={x|0<x<e}，

所以A∩B={1}．

故选：B．

解不等式可求出集合A，B2.【答案】A

【解析】解：由log3a>log3b可得a>b>0，

由3a>3b，可得a>b，但都不一定大于0，

3.【答案】B

【解析】解：∵6m=a，log6b=n，

∴由指数式、对数式互化公式得m=log6a，

∵m+n=−12，

∴log64.【答案】A

【解析】解：因为109>1.1，所以根据幂函数y=x1.1为单调递增可知，b=0．9−1.1=(0．9−1)1.1=(109)1.1>1.11.15.【答案】D

【解析】解：等差数列{an}的各项都不相等，它的前3项和为18，且a1，a2，a4成等比数列，

设等差数列{an}的公差为d，d≠0，

∴a1+a2+a3=18a1⋅a4=a6.【答案】C

【解析】解：函数f(x)=ex,x>02x3−6x+a,x≤0的值域为R，

当x>0时，ex>e0=1，则f(x)=ex的值域为(1,+∞)，

∴(−∞,1]是f(x)=2x3−6x+a(x≤0)的值域的子集，

当x≤0时，f′(x)=6x2−6=6(x+1)(x−1)，

令f′(x)=0，得x=−1或x=1(舍去)，

∴当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当−1<x≤0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

∴当x=−1时，f(x)取得极大值f(−1)=4+a，

∴f(x)=2x3−6x+a(x≤0)的值域为(−∞,4+a]，

∴7.【答案】C

【解析】因为Sn=−n2+8n，

当n=1时，a1=S1=−12+8=7；

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=−n2+8n−[−(n−1)2+8(n−1)]=−2n+9，

经检验a1=7也适合上式，

所以a8.【答案】D

【解析】解：令g(x)=exf(x)，

∵当x≤0时，f′(x)+f(x)>0，且ex>0，

∴当x≤0时，g′(x)=ex[f(x)+f′(x)]>0，即g(x)在(−∞,0]上单调递增；①

由e2xf(x)+e2xf′(x)+f(−x)+f′(−x)=0，

得ex[f(x)+f′(x)]+e−x[f(−x)+f′(−x)]=0，

即g′(x)+g′(−x)=0⇒g′(−x)=−g′(x)⇒g′(x)是奇函数，

设ℎ(x)=g(−x)−g(x)，

则ℎ(0)=g(0)−g(0)=0，

因为ℎ′(x)=−g′(−x)−g′(x)=−[−g′(x)]−g′(x)=g′(x)−g′(x)=0，

所以ℎ(x)是常数，得ℎ(x)=ℎ(0)=0，

因此g(−x)−g(x)=0，即g(−x)=g(x)，故g(x)是偶函数．

由①知g(x)在(−∞,0]上单调递增，则g(x)在(0,+∞)上单调递减，

又f(1)=0，

∴g(1)=ef(1)=0，g(−1)=g(1)=0，

∴当x<−1时，g(x)<0；当−1<x<1时，g(x)>0；当x>1时，g(x)<0，

又ex>0，所以f(x)<0，即g(x)<0，则x<−1或x>1，

所以不等式f(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．

故选：D．

令g(x)=exf(x)，结合题意可得g′(x)9.【答案】AB

【解析】解：若ca>cb>0，则|ca|>|cb|>0，即|c||a|>|c||b|>0，

显然|c|>0，|a|>0，|b|>0，所以1|a|>1|b|，所以|a|<|b|，故A正确；

若ca>cb>0，则bc>ac，则bc−ac>0，即b−ac>0，可得a−bc<0，故10.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A，由1+x1−x>0，等价于(1+x)(1−x)>0，解得−1<x<1，

因此f(x)的定义域为(−1,1)，因此选项A正确；

对于选项B，

f(−x)=ln1−x1+x+2a(1−x)+b(−x)3=−ln1+x1−x+2a(1−x)−bx3，

那么f(−x)+f(x)=2a(1−x)+2a(1+x)=4a，

因此函数f(x)的图象关于点(0,2a)中心对称，因此选项B正确；

对于选项C，当a=b=0时，函数f(x)=ln1+x1−x=ln(−2x−1−1)，

由于u=−2x−1−1在(−1,1)上单调递增，y=lnu在定义域上单调递增，

因此f(x)在定义域上单调递增，因此选项C错误；

对于选项D，当b=0时，函数f(x)=ln1+x1−x+2a(1+x)，x∈(−1,1)，

所以导函数f′(x)=1+x1−x⋅(1−x1+x)′+2a=21−x2+2a，

由x∈(−1,1)，则x2∈[0,1)，所以21−x11.【答案】ABD

【解析】解：对于A，由题意，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f′(x)=ex⋅x2−ex⋅(2x)x4=(x−2)exx3，

当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减；

当x=2时，f(x)取得极小值f(2)=e24，故A正确；

对于B，令f(x)=exx2=1，得ex−x2=0，且x≠0，

令ℎ(x)=ex−x2，x∈R，则ℎ′(x)=ex−2x，

令φ(x)=ex−2x，则φ′(x)=ex−2，

令φ′(x)=ex−2=0，解得x=ln2，

当x<ln2时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；

当x>ln2时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，

所以φ(x)在x=ln2处取得最小值φ(ln2)=eln2−2ln2=2−2ln2>0，

则φ(x)>0成立，即ℎ′(x)>0，从而ℎ(x)在R上单调递增，

又因为ℎ(0)=e0−02=1>0，ℎ(−1)=e−1−1=1e−1<0，ℎ(0)ℎ(−1)<0，

所以ℎ(x)=ex−x2=0有且仅有一个实数根，且此根在区间(−1,0)上，

即存在唯一实数x(x≠0)，使得f(x)=1，故B正确；

对于C，g(x)=lnf(x)=lnexx2=x−2lnx,(x>0)，

设P(x0,x0−2lnx0)是g(x)图象上一点，

则点P到直线y=−x的距离d=|x0+x0−2lnx0|12+12=|2x0−2lnx0|2，

设m(x)=2x−2lnx，(x>0)，则m′(x)=2−2x=2(x−1)x，

当0<x<1时，m′(x)<0，m(x)单调递减；

当x>1时，m′(x)>0，m(x)单调递增，

所以m(x)min=m(1)=2，

则d=|2x0−2lnx0|2≥22=2>1，

所以g(x)图象上一点与y=−x图象上一点之间的距离不可能为1，故C错误；

对于D，当x>0时，12.【答案】(−∞,−6]

【解析】解：由M={x||x+1|<2}，得M={x|−2<x+1<2}={x|−3<x<1}，

由N={x|2x>a},得N={x|x>a2}，

又因为M⊆N，即{x|−3<x<1}⊆{x|x>a2}，利用数轴可得a2≤−3，所以a≤−6，

所以实数a的取值范围为(−∞,−6]．

故答案为：(−∞,−6]．13.【答案】14【解析】解：由题可得：f(−x)=−f(x)，f(x+2)=f(x)，

故f(−52)=−f(52)=−f(2+12)=−f(14.【答案】2

4

【解析】解：曲线C1：y=ex−2a(a>0)和曲线C2：y=ln(x+b)(b>0)，若曲线C1与曲线C2关于直线y=x对称，

设点(x0,y0)是曲线C2：y=ln(x+b)(b>0)上任意一点，

由曲线C1与曲线C2关于直线y=x对称，得点(y0,x0)在曲线C1：y=ex−2a(a>0)上，

则y0=ln(x0+b)，x0=ey0−b，又x0=ey0−2a，因此b=2a，所以ba=2；

由y=ex−2a，求导得y′=ex，则y′|x=0=e0=1，当x=0时，y=1−2a，

因此曲线C1在x=0处的切线方程为y=x+1−2a，

设直线y=x+1−2a与曲线C2相切的切点为(t,ln(t+b))，

由y=ln(x+b)求导得y′=1x+b，则1t+b=1，解得15.【答案】g(x)=x+1x−2；

【解析】(1)根据题意，函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=x2−6x+1，①，

用−x换x，可得2f(−x)−f(x)=x2+6x+1，②

①×2+②得f(x)=x2−2x+1，

所以g(x)=f(x)x=x2−2x+1x=x+1x−2．

(2)根据题意，若存在x∈[2,8]，使得不等式g(log2x)−klog2x≥0成立，

设t=log2x，

若x∈[2,8]，则t∈[1,3]，

则存在t∈[1,3]，使g(t)−kt≥0，即t+1t−2−kt≥0，变形可得k≤1+1t2−2t=(1t−1)2，

因为16.【答案】y=0.16x+1.52；2.48万人；

填表见解析；有99%的把握认为观看比赛的观众是否购买A【解析】(1)x−=3,y−=2，所以i=15(xi−x−)2=(−2)2+(−1)2+0+12+22=10，

i=15A等票B等票总计男性401555女性202545总计6040100零假设为H0：观看比赛的观众是否购买A等票与性别无关，

χ2=100×(40×25−20×15)260×40×55×45≈8.249>6.635，

根据小概率值k=0.01的独立性检验，可知零假设不成立，

故有99%的把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关．

(1)17.【答案】an=2n−1；

2【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，

由题意可得b1=a1−6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3−6=a1+2d−6，b4=2a4=2a1+6d，

因为S4=16，T4=14，

所以4a1+6d=16(a1−6)+(2a1+2d)+(a1+2d−6)+(2a18.【答案】−e−3．

当a=0时，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，无单调递减区间；

当a>0时，f(x)的单调递增区间为(−2a2+1a,+∞)，

【解析】(1)根据f(x)=(x+2)ex得f′(x)=(x+3)ex，

解不等式f′(x)<0，可得x<−3，所以f(x)在区间(−∞,−3)上单调递减，

解不等式f′(x)>0，可得x>−3，所以f(x)在区间(−3,+∞)上单调递增，

因此函数f(x)的极小值为f(−3)=−e−3．

(2)根据函数f(x)=(x+2a)eax，那么导函数f′(x)=(ax+2a2+1)eax，

当a=0时，函数f(x)=x，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，无单调递减区间；

当a>0时，根据f′(x)<0，得x∈(−∞,−2a2+1a)；

根据f′(x)>0，得x∈(−2a2+1a,+∞)，

因此函数单调递减区间为(−∞,−2a2+1a)，

f(x)的单调递增区间为(−2a2+1a,+∞)，

综上所述，当a=0时，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，无单调递减区间；

当a>0时，f(x)的单调递增区间为(−2a2+1a,+∞)，

单调递减区间为(−∞,−2a2+1a)．

(3)根据第二问知，当a=0时，f(x)在区间[−1,2]单调递增，

当a>0时，−2a2+1a=−(2a+1a)≤−22a⋅1a=−22，

当且仅当2a=1a，即a=22时等号成立，那么f(x)在[−1,2]上单