2024-2025学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}为等差数列，a2+A.9 B.12 C.15 D.162.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)

A. B. C. D.3.在等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3A.1 B.−12 C.1或−12 4.函数f(x)=lnx−2x2的单调递增区间是(

)A.(−12,12) B.(0,5.若函数f(x)=ex(x2+a)在[−2,2]A.(−∞,0] B.(−∞,−8) C.(−∞,−8] D.[0,+∞)6.已知数列{an}满足a1=13A.121 B.112 C.12 7.已知数列{an}、{bn}的通项公式分别为an=3n−1和bA.166 B.168 C.169 D.1708.数列{cn}为等比数列，其中c1=2，c8=4，f(x)=x(x−c1A.0 B.26 C.29 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项正确的是(

)A.y=ln2，则y′=12 B.f(x)=1x2，则f′(3)=−227

C.y=10.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)=f′(x0)，则是称A.f(x)=x2 B.f(x)=1x C.11.已知数列{an}满足：a1=2，当n≥2时，anA.a2=7 B.数列{an}为递增数列

C.a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设f(x)=(x−1)ex，则f′(ln2)=______．13.已知等差数列{an}的前n项和是Sn，S18>0，14.试写出一个无穷等比数列{an}，同时满足：(1)a4=1；(2)数列{|an|}单调递减；(3)四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=12，S8=72．

(1)求数列{16.(本小题12分)

已知函数f(x)=13x3−12ax2，a∈R．

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)17.(本小题12分)

已知函数f(x)=aex−blnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e−1)x+1．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)求证：f(x)>218.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+1(n∈N∗).

(1)求证：数列{an+119.(本小题12分)

已知f(x)=ae2x−2xex(其中e=2.71828⋯为自然对数的底数)．

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当a=12时，判断f(x)答案解析1.【答案】A

【解析】解：∵数列{an}为等差数列，

∴a2+a8=2a5=6，

∴a5=32.【答案】C

【解析】解：由图可以看出函数y=f′(x)的图象是一个二次函数的图象，

在(−∞,0)，f′(x)>0，f(x)递增，

在(0,x1)，f′(x)<0，f(x)递减，

在(x1,+∞)，f′(x)>0，f(x)递增，

f(0)是极大值，f(x1)是极小值，

故选：C．

3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式与前n项和，属于基础题．

根据题意，利用等比数列的通项公式，列出方程组，求出公比q的值．【解答】

解：∵在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，

∴a1q2=7a4.【答案】B

【解析】解：函数f(x)=lnx−2x2的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=1x−4x=1−4x2x，

令f′(x)>0，可得0<x<12，

所以f(x)的单调递增区间是(0,12).5.【答案】C

【解析】解：f(x)=ex(x2+a)，

f′(x)=ex(x2+a)+ex⋅2x=ex(x2+2x+a)，

因为函数f(x)=ex(x2+a)在[−2,2]上单调递减，

所以ex(x2+2x+a)≤0在[−2,2]上恒成立，

所以x2+2x+a≤0在[−2,2]上恒成立，

所以a≤−x2−2x在[−2,2]上恒成立，

令g(x)=−x6.【答案】A

【解析】解：∵an−an+1anan+1=2，即1an+1−1an=2，

则数列{1an}是首项为3，公差为27.【答案】C

【解析】解：数列{an}、{bn}的通项公式分别为an=3n−1和bn=4n−3(n∈N∗)，

这两个数列的公共项构成集合A，

依题意，令am=bk,m,k∈N∗，

即3m−1=4k−3，整理得m=(k−1)+k+13，

∴k+1是3的正整数倍，令k+1=3n，n∈N∗，即k=3n−1，

∴数列{an}、{bn}的公共项构成的数列8.【答案】D

【解析】解：因为数列{cn}为等比数列，其中c1=2，c8=4，

所以公比q=217，

由f(x)=x(x−c1)(x−c2)…(x−c8)，

得f′(x)=(x−c1)(x−c2)…(x−9.【答案】BCD

【解析】解：A：y′=(ln2)′=0，错误；

B：f′(x)=−2x3，则f′(3)=−227，正确；

C：y′=(2x)′=2xln2，正确；

D10.【答案】ABC

【解析】解：对于A，f′(x)=2x，令x2=2x，得x=0或x=2，有“巧值点”；

对于B，f′(x)=−1x2，令1x=−1x2，得x=−1，有“巧值点”；

对于C，f′(x)=1x，令lnx=1x，作出y=lnx与y=1x的图象，如图，

结合y=lnx，y=1x的图象，知方程lnx=1x11.【答案】ABC

【解析】解：∵数列{an}满足：a1=2，当n≥2时，an=(an−1+2+1)2−2，

∴an+2=(an−1+2+1)2，

∴an+2=an−112.【答案】2ln2

【解析】解：f′(x)=xex，f′(ln2)=ln2⋅eln2=2ln2．

故答案为：13.【答案】10

【解析】解：等差数列{an}的前n项和是Sn，S18>0，S19<0，

S19=19a10<0，∴a10<0，

S18=9(a10+a9)>0，∴a9>0，a9>−14.【答案】(−12)【解析】解：由题意可设an=a4⋅qn−4=qn−4，

因为数列{|an|}单调递减，数列{an}不具有单调性，

所以q<0，|q|<1，

所以15.【答案】an=2n；

【解析】(1)∵等差数列{an}的前n项和为Sn，

又a6=12，S8=72，

∴a1+5d=128a1+28d=72，

解得a1=d=2，

∴an=2n；

(2)证明：由(1)可得Sn=16.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=13x3−x2，则f′(x)=x2−2x，∴f′(3)=9−6=3，

又f(3)=9−9=0，∴f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为：y=3(x−3)，即3x−y−9=0．

(2)由题意得：f(x)定义域为R，f′(x)=x2−ax=x(x−a)；

当a=0时，f′(x)=x2≥0，∴f(x)在R上单调递增；

当a<0时，若x∈(−∞,a)∪(0,+∞)，则f′(x)>0；

若x∈(a,0)，则f′(x)<0；∴f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；

当a>0时，若x∈(−∞,0)∪(a,+∞)，则f′(x)>0；

若x∈(0,a)，则f′(x)<0；∴f(x)在(−∞,0)，(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减；

综上所述：当a=0时，f(x)在R上单调递增；

当a<0时，f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)【解析】(1)由导数几何意义可求得切线斜率f′(3)，结合f(3)=0可得切线方程；

(2)求导后，分别在a=0、a<0和a>0的情况下，根据f′(x)正负得到函数单调性．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=aex−blnx的导数为f′(x)=aex−bx，

函数f(x)=aex−blnx在点(1,f(1))处的切线斜率为k=ae−b，

由切线方程y=(e−1)x+1，可得ae−b=e−1，

故e=ae，−b=−1，

解得a=1，b=1；

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得f(x)=ex−lnx，

导数为f′(x)=ex−1x，x>0，

由y=ex和y=1x的图象可得它们只有一个交点，

设横坐标为m，即em=1m，

【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，与切线方程比较，解方程可得a，b的值；

(Ⅱ)求得f(x)的导数，设出极值点m，求得最小值，运用基本不等式即可得证．18.【答案】证明：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+1(n∈N∗)，①，

当n≥2时，Sn=4an−1+1，②，

①−②得：an+1=4an−4an−1，

整理得an+1−2an=2(an−2an−1)，

所以an+1−2anan−2an−1=2(常数)．

当n=1时，S2=a1+a2=4a1+1，解得a2=4

故数列{an+1−2an}是以2为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)得：数列{an+1【解析】(1)直接利用关系式的变换求出数列{an+1−2an}是等比数列；

(2)利用(1)的结论，进一步求出数列{an2n19.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−2xex，f′(x)=−2(x+1)ex，

因为f′(1)=−4e，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−4e(x−1)−2e=−4ex+2e；

(2)当a=12时，f(x)=12e2x−2xex，定义域为(−∞,+∞)，

f′(x)=e2x−2(x+1)ex=ex(ex−2x−2)，令F(x)=ex−2x−2，则F′(x)=ex−2，

当x∈(−∞,ln2)，F′(x)<0，函数单调递减，当x∈(ln2,+∞)，F′(x)>0，函数单调递增，

F(x)min=F(ln2)=2−2ln2−2=−2ln2<0，F(−1)=1e>0,F(2)=e2−6>0，

存在x1∈(−1,ln2)使得F(x1)=0，存在x2∈(ln2,2)，使得F(x2)=0，

x∈(−∞,x1)时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；

x∈(x1,x2)时，F(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减；

x∈(x1,+∞)时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；

所以a=12时，f(x)有一个极大值，一个极小值；

(3)f′(x)=2ae2x−2(x+1)ex=2ex(aex−x−1)，

由∀x∈R，f(x)+1a≤0，

因为

f(0)+1a=a+1a=a2+1a≤0，得a<0，

令g(x)=aex−x−1，则g(x