2024-2025学年湖南省多校联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省多校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知x∈R，则“x>2”是“lnx>0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知向量a与b的夹角为π6，且|a|=12A.914 B.912 C.913.已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

)A.若m//α，m⊥n，则n⊥α B.若m⊥α，m⊥n，则n//α

C.若m//α，n⊥α，则m⊥n D.若m//α，n//α，则m//n4.已知一组样本数据x1，x2，…，x7(x1<xA.6x1+1，6x2+1，…，6x7+1的平均数为6x−

B.2x1+1，2x2+1，…，2x7+1的方差为s2

C.45.将函数f(x)=cos(2x+2π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则A.π12 B.π6 C.π36.甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答.已知甲每次答对的概率为34，乙每次答对的概率为14在每次答题中，甲和乙答对与否互不影响.两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；若答错，则继续答题.约定甲先答题，则前4次中甲恰好答题3次的概率为(

)A.14 B.18 C.3327.已知正方形ABCD的边长为4，将△ABC沿对角线AC翻折，使二面角B−AC−D为2π3，则平面BCD截三棱锥B−ACD的外接球所得截面的面积为(

)A.16π3 B.32π5 C.8π 8.定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且f(x+2)为奇函数，已知当0≤x≤1时，f(x)=ex−1，则下列结论错误的是A.f(x+4)=f(x) B.f(x)在区间[9,11]上单调递减

C.f(13)<f(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.若A与B是互斥事件，则A−与B也是互斥事件

B.若事件A、B满足P(A)+P(B)=1，则A与B是对立事件

C.若A与B是互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)

D.若P(A)=0.8，P(B)=0.6，A与B相互独立，则10.已知复数z满足z1+i=3+4i，则下列结论正确的是(

)A.z的虚部为7i

B.|z|=52

C.z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于第三象限

D.若复数ω满足|ω+1|=1，则11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=25，AC=BC=3，点PA.AB⊥PQ

B.存在点Q，使得PQ//平面ABC

C.三棱锥P−ABQ的体积为3

D.PQ+QA的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一个圆台形容器的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，装满水后再全部倒入一个底面半径为2，高为3的圆柱形容器中，则水深为______．13.已知函数f(x)=x2+2x−3,x≤0,log12x,x>0,若关于x的方程[f(x)]14.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱DD1上一点，满足MD=1，F为正方形AA1D四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA−sinB)(a+b)=(sinC−3sinB)c．

(1)求A的大小；

(2)若a=7且△ABC的面积为16.(本小题15分)

2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房(含港澳台和海外票房)已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．

(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值与样本中年龄的第85百分位数．

(Ⅱ)从样本中年龄为[30,40)，[40,50)，[50,60)的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在[40,50)中的观众应抽取多少人？

(Ⅲ)若样本中年龄在[0,10)的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在[50,60)的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数x−和方差s2．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=loga(ax+1)+bx(a>0且a≠1，b∈R)的图象经过点(0,12),(1,log452)．

(Ⅰ18.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，M为棱BC的中点，且PB⊥AM，PD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为45°．

(Ⅰ)证明：AM⊥BD．

(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E，使得直线CE//平面PAM？若存在，写出PEPD的值；若不存在，请说明理由．

(Ⅲ)求直线PB与平面PAM所成角的正切值．19.(本小题17分)

圆内接四边形有诸多良好的性质，其中托勒密定理极其优美，即在圆内接四边形ABCD中，AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD，试利用该定理解决下列问题：

(Ⅰ)设正三角形ABC内接于圆O，点D在劣弧AC上(不与点A，C重合)，证明：BD=AD+CD．

(Ⅱ)在圆内接四边形ABCD中，AB=a，BC=d，CD=b，AD=c，p=a+b+c+d2，证明：

(i)AC2=参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.A

6.D

7.B

8.C

9.CD

10.BCD

11.ABD

12.7413.(−4,−3]

14.[15.(1)根据(sinA−sinB)(a+b)=(sinC−3sinB)c，

由正弦定理得(a−b)(a+b)=(c−3b)c，整理得b2+c2−a2=3bc，

根据余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=32，结合A∈(0,π)16.(Ⅰ)根据频率分布直方图的性质可知，10×(0.010+a+0.022+0.025+0.020+0.005)=1，解得a=0.018，

由频率分布直方图可知[0,40)的频率为0.75，而[40,50)的频率为0.2，

所以第85百分位数在区间[40,50)内，设第85百分位数为m，

则0.75+0.02(m−40)=0.85，解得m=45，

所以第85百分位数为45；

(Ⅱ)由频率分布直方图可知年龄为[30,40)，[40,50)，[50,60)的三组观众频率之比为：5：4：1，

所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在[40,50)中的观众应抽取4人；

(Ⅲ)由频率分布直方图可知[0,10)的频率为0.1，[50,60)的频率为0.05，

所以x−=6×0.10.1+0.0517.(Ⅰ)把点代入f(x)解析式可得：loga2=12,loga(a+1)+b=log452，解得a=4，b=−12，

故f(x)的解析式为log4(4x+1)−12x．

(Ⅱ)函数18.(Ⅰ)证明：由PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PD⊥AM，

又PB⊥AM，PD∩PB=P，PD，PB⊂平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，

所以AM⊥BD；

(Ⅱ)存在点E为PD中点时，CE//平面PAM，即PEPD=12，

证明如下：

取PD的中点E，连接CE，取PA的中点为F，连接EF，FM，

所以EF//AD,EF=12AD，又点M为BC中点，

所以MC//AD,MC=12AD，

所以MC//EF，MC=EF，所以四边形EFMC为平行四边形，

所以MF//CE，又MF⊂平面PAM，CE⊄平面PAM，

所以CE//平面PAM；

(Ⅲ)连接DM，由PD⊥平面ABCD，

所以∠PMD为直线PM与平面ABCD所成的角，

所以∠PMD=45°，

在Rt△PDM中，DM=PD=3，

所以CD2+(12BC)2=9，①

因为AM⊥BD，所以∠MAB=∠DBC，

所以12BCCD=CDBC②，

由①②得CD=6,BC=23，

所以BD=32,PB=33，

设点B到平面PAM的距离为ℎ，

在△PAM中，PA=PD2+AD2=21,AM=3,PM=32，

所以cos∠PAM=PA2+AM2−PM22PA⋅AM=19.证明：(Ⅰ)由托勒密定理可知：AB⋅C